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1、三、典范例题剖析例1求通解为的微分方程，此中、是恣意常数剖析所给通解表白式中含两个恣意常数，故所求的方程应当是二阶的解由，解得，将代入收拾得，此即为所求微分方程例2试证是方程的解，但不是它的通解，此中是恣意常数剖析这类题验证所给函数是响应微分方程的通解或解，只要要出函数的各阶导数，代入微分方程，看能否使微分方程成为恒等式证能够写成，记，那么有，将其代入方程得左端右端，因而是方程的解，因为解中只含有一个独破的恣意常数，故它不是该方程的通解注需要弄清晰解、通解的界说，通解中独破常数的个数应与方程的阶数一样例3求以下微分方程的通解：1；2剖析在求解微分方程时，起首要推断方程的范例，而后依照差别范例，
2、断定解题办法解1方程两头同时除以，那么有，积分得，故通解为，令，那么，而是方程的解，假如在上述通解中同意，那么也包括在该通解中，因而，原方程的通解是，此中是恣意常数2令那么有，代入原方程得，即，因而，不离变量得，因而，即有，得通解这里注1假如标题请求是求方程的一切解，此题1中，当用去除方程时，能够招致方程掉掉满意的解，即，因而要对此解进展剖析注2 当方程中呈现等方式的项时，响应地，平日要做如下一些变量交换，等例4解方程，并求满意初始前提时的特解解不离变量得，双方积分那么有，从而可得通解为此中是恣意常数别的，方程另有解，不包括在该通解中，故需补上为了求特解，将代入通解得，故所求的特解为例01研设
3、函数在内延续，且对恣意有，求剖析前提给出了一个积分方程且含有变下限积分，平日是对积分方程双方求导，将积分方程转化为解微分方程解此微分方程，并应用曾经知道前提即可求出函数解在等式两头对于求导，得，令可得，因为，从而有，对上式两头对于求导，得，即，因而，将代入上式，得，故例698研曾经知道函数在恣意点处的增量，且事先，是的高阶无量小，那么即是ABCD剖析由微分界说及原题设可知，解此方程可求得，进而可求得解法1因为，且事先，是的高阶无量小，由微分的界说可知，即，双方积分得即，此中由，那么有因而应选D解法2等式双方除以并令，得，即以下进程同解法1例7求方程的通解剖析原方程可化为齐次方程；也可写成；还可
4、换元令解法1将方程化为齐次方程，令，那么有，代入原方程得，即，因而，积分得，将代入该式，故通解为这里解法2原方程可写成，为时对应的伯努利方程，令，得线性方程，由一阶非齐次线性方程的通解公式可得，此中积分求出并代入得通解，此中取恣意常数解法3令，那么可得即，积分得，即有，此中为恣意常数例8求微分方程的解剖析这是一阶非齐次线性方程，可用常数变易法，也可直截了当应用公式解法1套用公式直截了当求其通解这里，将其代入公式，得原方程的通解为解法2用常数变易法求其通解，其对应的齐次线性方程为，不离变量后求得其通解为，假设是原方程的解，代入原方程得，积分那么有，故原方程的通解为例9求微分方程的解解法1原方程化
5、为，此为齐次方程，令，得，不离变量有，积分得，将代入上式得该方程通解为解法2原方程可变形为，此为一阶线性非齐次方程，此中，由一阶线性非齐次方程的通解公式，可求得通解为例10设曲线积分与途径有关，此中存在一阶延续导数且，且不恒即是零，那么即是ABCD剖析由曲线积分与途径有关的充沛须要前提可知，从而可得对于的微分方程，解此微分方程即可解由题设可得因而联合不恒即是零，即得，解得由得故有，应选B例1100研设对于半空间内恣意润滑有向封锁曲面都有，此中函数在内存在延续的一阶导数，且，求解不掉普通性，假设曲面取外侧，设所围成的平面为，依照高斯公式，有，由的恣意性，知，即，此为一阶线性非齐次方程，解得其通解
6、为又，故，即有，得，因而例12求方程的通解剖析原方程可写成，这是时的伯努利方程解令，得，代入原方程那么有，即，此为一阶线性非齐次方程，应用一阶线性非齐次方程的通解公式求得其通解为，因而得，即为原方程的通解例13推断以下方程能否为全微分方程，并求出其解1；2剖析方程为全微分方程的充要前提是假如不是全微分方程，如今假设存在一个积分因子，使得是全微分方程，那么方程可转化为全微分方程来求解解1这里因为，该方程是全微分方程设那么即为所求的通解，以下用三种办法来求解法1选择积分途径为折线途径：那么解法2方程左端，因而解法3因为，那么，此中为待定的可微函数，上式两头分错误求导，得由得，因而故可取，故由下面的
7、恣意一种办法都能够解得此方程的通解为此中C为恣意的常数2，原方程不是全微分方程可思索追求原方程的积分因子解法1原方程可化为，如今，方程的左端有积分因子、等因为右端只要，故取为积分因子，即有，从而可得其通解为别的，亦为原方程的解解法2原方程可写为即，此为齐次方程，令，那么有，即，得其通解为，因而原方程通解为别的，也是原方程的解解法3将当作是认为自变量的函数，原方程可化为线性方程，求得其通解为别的，易见也是原方程的解例14求满意初始前提的解剖析该方程为型可落阶的高阶微分方程，方程的右端仅含有自变量，将作为新的未知函数，原方程那么为新未知函数的一阶微分方程，双方积分得对于的阶微分方程依此法延续积分次
8、可得原方程的含有个恣意常数的通解解两头积分得，又，那么得，故，对其积分得，将代入上式，得，因而，对该式再次积分得，因为，可得，故所求的特解为注在此类标题中，普通假设呈现恣意常数，可依照初始前提逐渐断定，使前面的运算简化假设先求出通解，再由初值前提定特解也能够，只是盘算将会费事一点例1500研微分方程的通解是剖析该方程中不显含，能够当作是型的可落阶微分方程；别的原方程可化为欧拉方程解法1方程属于型的可落阶微分方程令，那么，原方程化为一阶线性方程，即，其通解为，再对其积分得通解为解法2原方程可化为欧拉方程令，那么原方程可化为求得其通解为例1602研微分方程满意初始前提，的特解是剖析该方程中不显含，
9、能够当作是型的可落阶微分方程；别的原方程可化为解法1此微分方程属于型令，那么，因而原方程为，得或前者不满意初始前提，故由后者得，即由初始前提事先，因而，那么有，即积分得由初始前提得故所求特解为解法2由得从而余下解法同解法1例17设线性有关的函数、基本上二阶非齐次线性方程的解，此中是恣意常数，那么该非齐次方程的通解是ABCD解非齐次线性方程通解的构造是对应齐次线性方程的通解加上非齐次线性方程本身的一个特解A项事先，不是方程的解，所以就不会是通解，显然错误；B项写成，与是齐次方程的解，因而不长短齐次方程的通解，也错误；C项将代入方程右边得，因而事先，不是该方程的解，故也不是通解；D项写成，与是齐次
10、方程的两个线性有关的特解，长短齐次方程的特解，故长短齐次方程的通解，从而选D例18求以下常系数齐次线性方程的通解1；2；3解1所给微分方程的特点方程为，解得两特点根为，属于两个不相称特点根的情况，故其通解为，此中与为恣意常数2所给微分方程的特点方程为，其根为一对共轭复根，那么所求通解为，此中与为恣意常数3所给方程的特点方程为，解得二重根，故通解为，此中与为恣意常数例1997研设函数存在二阶延续导数，而满意方程，求剖析先求出与，而后将其代入到方程中即可掉掉一个认为未知函数的微分方程解令，那么有，将与代入方程可得，其特点方程，特点根为，因而，此中与为恣意常数例2001研设为恣意常数为某二阶常系数线
11、性齐次微分方程的通解，那么该方程为剖析曾经知道常系数齐次线性微分方程来求其通解与曾经知道通解来断定其方程互为逆运算曾经知道通解来断定其方程，能够直截了当求导求出恣意常数代入通解中掉掉其方程，也能够借助于特点方程及特点根与方程的关联来断定方程由此题所给通解方式可知，特点方程有一对共轭复根解法1相似例1，可经过求出与消去的办法掉掉所求微分方程，请读者自行实现解法2由通解的方式可知特点方程的两个根是，从而得悉特点方程为故所求微分方程为例21求以下常系数齐次线性方程的通解：1；2解1原方程对应的特点方程为即，得，为三重根，因而方程的通解为，此中、为恣意常数2原方程对应的特点方程为即，特点根是二重共轭复
12、根，故原方程的通解为：，此中为恣意常数例22设，此中为延续函数，求剖析前提给出了一个积分方程且含有变下限积分，平日是对积分方程双方求导，将积分方程转化为解微分方程，然而的被积函数中含有，不克不及直截了当求导，先要将其提到积分号外而后才干求导解因为为延续函数，故为可导函数，对题设等式双方对于求导得，再对上式双方对于求导得，该方程对应的齐次方程的特点方程为，得，那么齐次方程的通解为，此中、为恣意常数下面求非齐次方程的一个特解由因而特点方程的单根，故所求非齐次方程的特解形如，因而将代入该非齐次方程中比拟系数可得，那么该非齐次方程的通解为，此中、为恣意常数由题设等式可知存在隐含初始前提，又由可知，将与
13、代入上述非齐次方程的通解中解得，故例23求微分方程的通解解原方程对应的齐次方程的特点方程为，其两个根为；而对于非齐次项，为特点方程的单根，故非齐次方程无形如的特解，代入原方程可得故所求通解为，此中、为恣意常数例24求以下各非齐次线性微分方程的通解1；2；3；4解1先求原方程对应的齐次方程的通解，对应齐次方程的特点方程为，解得那么对应的齐次方程的通解为，此中为恣意常数下面再求非齐次线性方程的一个特解属于型，此中，又不是特点根，故原方程无形如的特解，可设，此中为待定常数，将代入原方程，掉掉，比拟系数得，从而，那么原方程的通解为，此中为恣意常数2所给方程对应的齐次方程的特点方程为，即，有二重根，而属
14、于型，对于非齐次项，为二重根故可设非齐次方程的特解为，代入原方程可得，故所求通解为，此中、为恣意常数3解法1因为，属于非齐次项为型的非齐次线性微分方程，此中，其响应的齐次线性微分方程为，特点方程为，求得特点根，故该齐次方程的通解为，由因而特点根，故原方程无形如的特解，这里，即原方程的一个特解可设为：，代入原方程得，比拟方程双方的系数，得，故原方程的特解为：从而原方程的通解为，此中、为恣意常数解法2求其对应的齐次方程的通解同解法1，在求非齐次线性微分方程的一个特解时，可应用单数法求思索方程，即，属于非齐次项为型的非齐次线性微分方程，由因而对应齐次方程的特点根，故可设其一个特解为，将其代入方程可得
15、，得因而特解，取的虚部便可掉掉原方程的一个特解为因而得原方程的通解为，此中、为恣意常数4该方程的非齐次项由形成，依照非齐次线性微分方程解的叠加道理求其特解；原方程对应的齐次方程的特点方程为，其特点根为，故对应的齐次方程的通解为，此中、为恣意常数；a对于非齐次线性微分方程，不是特点方程的根，故可设其特解为，代入该非齐次方程，得，从而其特解为；b对于非齐次方程，是特点方程的单根，故可设其特解为，代入该非齐次方程得，从而其特解为；c对于非齐次线性微分方程，不是特点方程的根，故可设其特解为，代入该非齐次线方程得，从而其特解为；依照解的叠加道理与通解构造定理可得原方程的通解为，即所求通解为，此中、为恣意
16、常数注对于范例的特别情况：与均可用3中的解法2来求特解，此中为实系数多项式例2503研设函数在内存在二阶导数，且，是的反函数1试将所满意的微分方程变更为满意的微分方程2求变更后的微分方程满意初始前提，的解剖析由反函数导数公式，把，用含有及的各阶导数的函数表现，代入题设等式验证即可解1由反函数导数公式知，即，再对该式两头对于求导，得，因而，代入原微分方程可得2方程所对应的齐次方程的通解为设该非齐次方程的特解为，代入可得，故，从而的通解是，此中、为恣意常数由，得，故所求初值咨询题的解为例26求方程的通解剖析此方程为欧拉方程，作变量代换求解解事先，作变更，或，那么有，原方程化为对应的齐次方程为，其通
17、解为，非齐次方程的特解可设为，代入该方程得，故其通解为，此中、为恣意常数即原方程在时的通解为事先，令，相似地，可求出原方程在时的通解为综上所述，原方程的通解为，此中、为恣意常数例27设有衔接点与的一条上凸的曲线弧，对于其上任一点，曲线弧与直线段围成的图形的面积为，求曲线弧的方程剖析如图111所示，应用定积分的几多何意思即可求出曲线弧与直线段围成的图形的面积，应用曾经知道前提，可得一个含有未知函数的积分方程，对其求导得一微分方程，解之即可解设曲线弧的方程为，由题设其上任一点的坐标满意，曲线弧与直线段围成的图形的面积图111，依题意有，即，两头对求导，收拾得，因而所求咨询题转化为初值咨询题，解此微
18、分方程，得通解，将初始前提代入得，因而综上所述，曲线弧的方程为：例28在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点处的曲率即是此曲线在该点的法线段长度的倒数是法线与轴的交点，且曲线在点处的切线与轴平行解设所求曲线为，由题意，有，那么上的点处法线方程为，它与轴的交点为，因而，得方程，由题意可知即请求解如下初值咨询题：，方程不显含，令，那么有，因而可化为即，解之得，从而有，又，可得，有因而，由得，因而，即，因而下面两式相加即得所求曲线方程为注对于几多何咨询题，普通是求曲线方程，依照题意，由几多何中的定理、公式树破微分方程并给出能够的初始前提求解下面这些后果常常会用：1表现曲线在点处切线的歪率；2表现曲
19、线在点处的法线歪率；3表现由曲线、直线、及轴所围成的图形的面积；4曲线上横坐标为的点的曲率为；5弧长的微分例29曾经知道某车间的容积为，此中的氛围含的以容积盘算，现以含为的新颖氛围输出，咨询每分钟应输出几多，才干在30分钟后使车间氛围中的含量不超越？假设输出的新颖氛围与原有氛围非常快混杂平均后，以一样的流量排挤解设每分钟应输出新颖氛围，同时设在时辰，车间内含的量为，思索在到的时段内的变更，依照题意那么有的输出的排挤=，故令那么可得如下初值咨询题：不离变量求得其通解为再由初始前提得，故，由咨询题的实践意思可知是减函数，故事先，因而可得注用微元法或称区间法树破微分方程，要从变量在一个巨大区间上的变
20、更量动手，树破起变量在区间上的变更量与区间的长度之间的关联，即：，令，经过取极限并应用导数的界说即可得微分方程例3097研在某一团体群中推行新技巧是经过此中已控制技巧的人进展的设该人群的总人数为，在时辰已控制新技巧的人数为，在恣意时辰已控制新技巧的人数为将视为延续可微变量，其变更率与已控制新技巧人数跟未控制新技巧人数之积成反比，比例常数，求剖析导数的本质即为函数的变更率，因而，的变更率为，据此咨询题不难求解解由题意可知原咨询题等价于求解如下微分方程的初值咨询题：，不离变量得，即，可得，此中，由可得，因而，即例3101研设有一高度为为时辰的雪堆在消融进程中，其正面满意方程设长度单元为厘米，时辰单
21、元为小时，曾经知道体积增加的速度与正面积成反比比例系数，咨询高度为厘米的雪堆全体消融需几多小时？剖析这是一道数学综合使用题，需准确了解题意请求能用三重积分求出体积，用二重积分求出正面积，并依照题意树破数学模子，解出，最初求出时的值。解记为雪堆体积，为雪堆正面积，那么，,此中.由题意知，因而，因而，由得令得小时.因而高度为厘米的雪堆全体消融所需时辰为小时。例3204研某种飞机在机场落落时，为了增加滑行间隔，在触地的霎时飞机尾部伸开减速伞，以添加阻力使飞机敏捷减速并停下现有一品质为的飞机，着陆时的程度速度为经测试可知，减速伞在翻开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成反比此中比例系数咨询从着陆点算起，飞
22、机滑行的最长间隔是几多？注：表现千克，表现千米小时剖析从飞机打仗跑道开场计时，设时辰飞机的滑行间隔为，速度为，飞机的品质为那么由牛顿第二定律咨询题不难求解解法1由牛顿第二定律得又，由以上二式知，即，由，得，从而，事先，因而飞机滑行的最长间隔为解法2由牛顿第二定律得，因而，两头积分得通解，由初始前提得，故，飞机滑行的最长间隔为解法3由牛顿第二定律得，其特点方程为，得，故由，得，因而，事先，因而飞机滑行的最长间隔为注对于力学咨询题，依照物理法则，对研讨的工具进展受力剖析，依照牛顿第二定律，列出微分方程，这里是所研讨工具的品质，是减速度，它是速度对时辰的导数，即，而速度是位移对时辰的导数，故有，例3
23、3一物资A经化学反响，全体天生另一物资B，设A的初始品质为kg，在小时内天生B物资kg，试求：1经过小时后，A物资起反响的量是几多？2经过几多小时后，A物资中的量曾经起反响了？剖析化学反响的咨询题遵照化学反响的定律：化学反响的速度跟事先还不起反响的无效物资的品质或浓度成反比解设在时辰，天生B物资的品质为，那么是时辰A物资参加反响的无效品质，由化学反响的定律得为比例系数，因为增加故有，因而系数用由题意可知咨询题等价于求解下面的初值咨询题：，求得其通解为，由初始前提：时得，再由前提时，得比例系数满意，即从而能够求出咨询题1与2的解1即为A物资起反响的量；2的A物资即kg起反响天生B物资，即有等式，求得小时