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1、第四节有理数函数的积分本节咱们还要引见一些比拟复杂的特别范例函数的不定积分,包含有理函数的积分以及可化为有理函数的积分,如三角函数有理式、复杂在理函数的积分等.散布图示有理函数的积分例1例2例3例4例5例6例7例8例9例10有理函数的原函数三角函数有理式的积分例11例12例13例14 复杂在理函数的积分例15例16例17例18例19例20例21例22内容小结讲堂训练习题4-4 前往内容要点一、有理函数的积分1最简分式的积分以下四类分式称为最简分式,此中为年夜于即是2的正整数.,、均为常数,且.(1)；(2)；(3)；(4).2有理分式化为最简分式的跟二、可化为有理函数的积分1三角函数有理式的积
2、分:由、跟常数经过无限次四那么运算形成的函数称为三角有理函数,记为2复杂在理函数的积分求复杂在理函数的积分,其根本思维是应用恰当的变更将其有理化,转化为有理函数的积分.上面咱们经过例子来阐明.三、总结本章咱们引见了不定积分的观点及盘算办法.必需指出的是：初等函数在它有界说的区间上的不定积分必定存在,但不定积分存在与不定积分是否用初等函数表现出来不是一回事.现实上,有非常多初等函数,它的不定积分是存在的,但它们的不定积分却无奈用初等函数表现出来,如,.同时咱们还应理解,求函数的不定积分与求函数的导数的区不,求一个函数的导数总能够循着必定的规那么跟办法去做,而求一个函数的不定积分并无一致的规那么可
3、循,需求详细咨询题详细剖析,灵敏使用各种积分办法跟技能.例题选讲有理式的剖析例1(E01)剖析有理分式.解设例2剖析有理式解双方同乘以得:令得再将上式双方求导:令得同理，双方同乘以令得因而例3剖析有理分式.解设(*)代入特别值来断定系数取取取并将值代入(*)例4剖析有理分式.解设收拾得即例5将剖析为局部分式.解设去分母，得令得令得因而令得因而因而有理式的积分例6(E02)求不定积分.解依照例3的后果原式例7(E03)求不定积分.解依照例4的后果原式例8求不定积分解依照例5的后果，有例9(E04)求不定积分.解法1解法2比拟同次幂的系数得解得故解法3由，那么有因而例10求不定积分化为局部分式解令
4、原式例11(E05)求不定积分解由全能置换公式原式例12(E06)求不定积分.解一应用全能置换公式原式解二修正全能置换公式,令原式解三不必全能置换公式原式论断：比拟以上三种解法，便知全能置换不必定是最正确办法，故三角有理式的盘算中先思索其余手腕，不得已才用全能置换.例13求不定积分解原式例14求不定积分解一作代换原式解二原式此中复杂在理函数的积分例15求不定积分解先对分母进展有理化原式=例16(E07)求不定积分.解令,即作变量代换,从而,因而不定积分.例17(E08)求不定积分.解令那么从而例18(E09)求不定积分.办法:当被积函数含有两种或两种以上的根式，时,可令(为各根指数的最小公倍数).解令例19求不定积分解令原式例20求不定积分.解令原式例21(E10)求不定积分解令那么原式例22求不定积分.解令那么且因而注:上式最初一步只要将变量回代为变量即可.讲堂训练求以下不定积分