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1、第四节三重积分(一)散布图示引例三重积分的界说三重积分的盘算投影法例1例2例3例4例5例6三重积分的盘算截面法例7例8应用对称性化简三重积分盘算例9例10内容小结讲堂训练习题104前往内容要点一、三重积分的观点：,当1时，设积分地区的体积为，那么有，(4.2)那个公式的物理意思是：密度为1的均质平面的品质在数值上即是的体积.二、直角坐标系下三重积分的盘算投影法截面法三、应用对称性化简三重积分盘算普通地,假如积分地区对于平面临称,且被积函数是对于的奇函数,那么三重积分为零;假如被积函数是对于的偶函数,那么三重积分为在平面上方的半个闭地区的三重积分的两倍.当积分地区对于或平面临称时，也有完整相似的
2、后果.例题选讲投影法例1(E01)盘算三重积分此中为三个坐标面及平面所围成的闭地区.解如图(见零碎演示)，将地区向面投影得投影地区为三角形闭地区在内任取一点过此点作平行于轴的直线，该直线由平面穿入，由平面穿出，即有因此例2(E02)化三重积分为三次积分,此中积分地区为由曲面及所围成的闭地区.解留意到题设两曲面的交线为一圆故在面上的投影为圆域或对内任一点有因此例3盘算此中是由曲面与平面所围成.解将往平面投影得投影域是个圆域，而的左界面为，右界面为.故采纳极坐标盘算那个二重积分得注:假设将往面投影，再盘算那么比拟庞杂.例4盘算积分此中由曲面,所围成.解地区介于曲面与平面之间,将投影到平面得投影地区
3、原式例5化三重积分为三次积分,此中积分地区为由曲面,所围成的空间闭地区.解如图(见零碎演示)，积分地区介于平面与扭转抛物面之间,且在面上的投影为因此例6(E03)求由曲面所围平面的体积.解因为曲面仅订交于原点，那么积分地区在平面上的投影地区为下曲面为上曲面为因此例7(E04)盘算三重积分此中为三个坐标面及平面所围成的闭地区.解(1)截面故原式(2)依照例1所断定的积分限,有例8求,此中是由椭球面所成的空间闭地区.解易见，地区在轴上的投影为在此区间内任取作垂直于轴的平面,截得一椭圆截面因此原式应用对称性化简三重积分盘算例9(E05)盘算此中积分地区解如图(见零碎演示)，积分域对于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数，因此例10(E06)盘算,此中是锥面战争面所围空间地区.解如图(见零碎演示)，因为积分地区对于面临称，被积函数中的是变量的奇函数，因此从而有因为被积函数只是的函数，可应用截面法求之.积分地区介于平面与之间，在任取一点作垂至于轴的平面，截地区得截面为该截面得面积为因此讲堂训练1.设由六个平面围成的闭地区,试将化为三次积分.2.盘算此中是由曲面所围成的平面地区.3.盘算三重积分此中为上半球体:.