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1、第四节有理函数的不定积分本讲稿第一页，共四十三页一、有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分两个多项式的商表示的函数称为两个多项式的商表示的函数称为有理函数有理函数.其中其中 m、n 都是非负整数都是非负整数;a0,a1,an 及及 b0,b1,bn 都是实数，并且都是实数，并且a0 0,b0 0.n m,R(x)称为称为真分式真分式；n m,R(x)称为称为假分式假分式.利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和个真分式之和.例如例如本讲稿第二页，共四十三页一个真分式总可以分解成若干个部分分式之和一个真分式总可以分解成若干个部分分式之和
2、.其中部分分式的形式为：其中部分分式的形式为：难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.本讲稿第三页，共四十三页（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为本讲稿第四页，共四十三页（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为则分解后为特殊地：特殊地：分解后为分解后为本讲稿第五页，共四十三页真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法例例1 1本讲稿第六页，共四十三页代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取
3、取取并将并将 值代入值代入例例2 2本讲稿第七页，共四十三页例例3 3整理得整理得本讲稿第八页，共四十三页四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:变分子为变分子为 再分项积分再分项积分.本讲稿第九页，共四十三页说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：类情况：多项式；多项式；这三类积分均可积出这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.本讲稿第十页，共四十三页求求 的步骤：的步骤：1.将将 Q(x)在实数范围内分解成一次式和二次质因在实数范围内分解成一
4、次式和二次质因式的乘积式的乘积.2.将将 拆成若干个部分分式之和拆成若干个部分分式之和.(分解后的部分分式必须是最简分式分解后的部分分式必须是最简分式).3.求出各部分分式的原函数求出各部分分式的原函数,即可求得即可求得本讲稿第十一页，共四十三页例例4 4 求积分求积分 解解本讲稿第十二页，共四十三页例例5 5 求积分求积分 解解本讲稿第十三页，共四十三页例例6 6 求积分求积分 解解原式原式本讲稿第十四页，共四十三页例例7 7 求积分求积分 解解原式原式本讲稿第十五页，共四十三页注意注意 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行将有理函数分解为部分分式求积分虽可行,但不一定简便但不一定简便,因此
5、要注意根据被积函数的结构因此要注意根据被积函数的结构特点，灵活处理，寻求简便的方法求解特点，灵活处理，寻求简便的方法求解.例例8 8 求积分求积分 解解原式原式本讲稿第十六页，共四十三页由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为函数称为三角函数有理式三角函数有理式.二、三角函数有理式的不定积分二、三角函数有理式的不定积分一般记为一般记为 R(sin x,cos x).(万能代换公式万能代换公式)化为了化为了 u 的有理函数的积分的有理函数的积分.本讲稿第十七页，共四十三页例例1 1 求积分求积分例例2 2 求积分求积分例例3 3 求积分求积分比较以
6、上三种解法比较以上三种解法,便知万能代换不一定是最佳方便知万能代换不一定是最佳方法法,故故三角有理式的计算中先考虑其它手段三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得不得已才用万能代换已才用万能代换.本讲稿第十八页，共四十三页例例4 4 求积分求积分说明说明:通常求含通常求含的积分时的积分时,往往更方便往往更方便.的有理式的有理式用代换用代换例例5 5 求积分求积分本讲稿第二十二页，共四十三页三、简单无理函数的不定积分三、简单无理函数的不定积分 被积函数为简单根式的有理式被积函数为简单根式的有理式,可通过可通过根式根式代换代换化为有理函数的积分化为有理函数的积分.讨论类型讨论类型(主要三种主要三种)
7、本讲稿第二十四页，共四十三页例例1 1 求积分求积分解解原式原式本讲稿第二十五页，共四十三页例例2 2 求积分求积分解解原式原式本讲稿第二十六页，共四十三页例例3 3 求积分求积分解解原式原式本讲稿第二十七页，共四十三页例例4 4 求积分求积分解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式本讲稿第二十八页，共四十三页1.有理函数分解成部分分式之和的积分有理函数分解成部分分式之和的积分.(注意：必须化成真分式注意：必须化成真分式)四、小结四、小结2.简单无理函数的积分简单无理函数的积分.(用用根式代换根式代换化为有理函数的积分化为有理函数的积分)3.三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分.(
8、万能代换公式万能代换公式)(注意：万能公式并不万能注意：万能公式并不万能)本讲稿第二十九页，共四十三页思考题思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？解答解答分解后的部分分式必须是分解后的部分分式必须是最简最简分式分式.本讲稿第三十页，共四十三页练习题练习题本讲稿第三十一页，共四十三页本讲稿第三十二页，共四十三页本讲稿第三十三页，共四十三页练习题答案练习题答案本讲稿第三十四页，共四十三页本讲稿第三十五页，共四十三页本讲稿第三十六页，共四十三页本讲稿第三十七页，共四十三页有理函数化为部分分式之和的一般方法有理函数化为部分分式之和的一般方法:例例 将下列真分式分解为部分分式将下列真分式分解为部分分式:解解(1)拼凑法拼凑法本讲稿第三十八页，共四十三页(2)赋值法赋值法本讲稿第三十九页，共四十三页(3)待定系数法待定系数法整理得整理得本讲稿第四十页，共四十三页四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:变分子为变分子为 再分项积分再分项积分.本讲稿第四十一页，共四十三页本讲稿第四十二页，共四十三页例例求积分求积分 解解原式原式本讲稿第四十三页，共四十三页