《最新08 第八节多元函数的极值.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新08 第八节多元函数的极值.doc（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第八节多元函数的极值在理论征询题中，我们会大批遇到求多元函数的最大年夜值、最小值的征询题.与一元函数的状况类似，多元函数的最大年夜值、最小值与极大年夜值、极小值有着亲热的联系.下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值征询题.分布图示引例二元函数极值的不雅观点(讲义例1、2、3)极值的需求条件极值的充分条件求二元函数极值的一般步伐例4例5求最值的一般步伐例6例7例8例9例10例11条件极值的不雅观点拉格朗日乘数法例12例13例14例15例16数学建模举例线性回归征询题讲义例10线性方案征询题讲义例11、12内容小结课堂练习98前去内容要点一、二元函数极值的不雅观点：极值的定义极值的需求条件与充
2、分条件求的极值的一般步伐为：第一步解方程组求出的所有驻点；第二步求出函数的二阶偏导数，依次判定各驻点处A、B、C的值，并按照的标志判定驻点是否为极值点.最后求出函数在极值点处的极值.二、二元函数的最大年夜值与最小值求函数的最大年夜值跟最小值的一般步伐为：第一步求函数在内所有驻点处的函数值；第二步求在的界线上的最大年夜值跟最小值；第三步将前两步掉掉落的所有函数值停顿比较，其中最大年夜者即为最大年夜值,最小者即为最小值.三、条件极值拉格朗日乘数法在所给条件下,求目标函数的极值.引进拉格朗日函数它将有约束条件的极值征询题化为一般的无条件的极值征询题.四、数学建模举例线性回归征询题线性方案征询题例题选
3、讲二元函数的极值例1(E01)函数在点处有极小值.从多少多何上看,表示一开口向上的椭圆抛物面,点是它的顶点(图881).例2(E02)函数在点处有极大年夜值.从多少多何上看,表示一开口向下的半圆锥面,点是它的顶点.(图882).例3(E03)函数在点处无极值.从多少多何上看,它表示双曲抛物面(马鞍面)(图883).例4(E04)求函数的极值.解先解方程组解得驻点为再求出二阶偏导数在点(1,0)处,又故函数在该点处有极小值在点(1,2)处,处，故函数在这两点处不极值;在点处，又故函数在该点处有极大年夜值例5证明函数有无穷多个极大年夜值而无一极小值.证由又在点处,又因此函数获得极大年夜值;在点处,
4、现在函数无极值.证毕.例6求函数在矩形域上的最大年夜值跟最小值.解先求函数在内驻点.由求得在内部的唯一驻点(1,1),且其次求函数在的界线上的最大年夜值跟最小值.如下列图.地域的界线包含四条直线段在上这是的单调增加函数,故在上的最大年夜值为最小值为异常在跟上也是单调的一元函数,易得最大年夜值、最小值分不为(在上),(在上),而在上易求出在上的最大年夜值最小值将在驻点上的值与上的最大年夜值跟最小值比较,最后掉掉落在上的最大年夜值最小值例7求二元函数在直线轴跟轴所围成的闭地域上的最大年夜值与最小值.解先求函数在内的驻点，解方程组得唯一驻点且再求在界线上得最值，在界线上，即因此由得而因此为最大年夜值
5、，为最小值.例8求函数在地域上的最小值.解先求在内的极值.由解方程组得驻点(0,0),(2,0).由于因此,在点(0,0)处故在(0,0)处有极小值在点(2,0)处故函数在点(2,0)处无极值.再求在界线上的最小值.由于点在圆周上变卦,故可解出代入中，有这时是的一元函数,求得在上的最小值最后比较可得,函数在闭区间上的最小值例9求的最大年夜值跟最小值.解解得驻点跟由于即界线上的值为零.又因此最大年夜值为最小值为例10求两直线与之间的最短距离.解设分不为两直线上的点,那么这两点之间的距离为将代入上式得令即(7/2,4)是唯一可以的极值点.由于两曾经明白直线之间的最短距离肯定存在,故那个可以的极值点
6、的确是最小值点.即事前，有最小值,即.例11(E05)某厂要用铁板做成一个人积为的有盖长方体水箱.征询当长、宽、高各取如何样的尺寸时,才能应用料最省.解设水箱的长为宽为那么其高应为此水箱所用材料的面积此为目标函数.下面求使这函数获得最小值的点令解这方程组,得唯一的驻点按照题意可判定,该驻点即为所求最小值点.因此当水箱的长为、宽为、高为时，水箱所用的材料最省.注:体积肯定的长方体中,以破方体的表面积为最小例12求函数在附加条件(1)下的极值.解作拉格朗日函数由故是函数在条件(1)下唯一驻点.把条件(1)判定的隐函数记作将目标函数看作再应用二元函数极值的充分条件揣摸,知点是函数在条件(1)下的极小
7、值点.而所求极值为条件极值拉格朗日乘数法例13E06求表面积为而体积为最大年夜的长方体的体积.解设长方体的三棱长为那么征询题的确是在条件(1)下,求函数的最大年夜值.作拉格朗日函数由代入(1)式,得唯一可以的极值点:由征询题本身意思知,此点的确是所求最大年夜值点.即,表面积为的长方体中,以棱长为的正方体的体积为最大年夜,最大年夜要积例14证明不等式其中是任意的非负实数.证按照所证不等式的办法,易见取对数后的办法更笨重.将分不视为变量的值,那么题设征询题可归结为:求目标函数在约束条件下的最大年夜值,其中是畸形数.为此作拉格朗日函数其中解方程组得将其代入约束条件中,得唯一可以的极值点由于显然无最小
8、值,故函数在点取到最大年夜值:因此，由约束条件即取即有当至少有一格为0时,不等式显然成破.例15E07设销售收入(单位:万元)与花费在两种广告鼓吹的费用(单位:万元)之间的关系为利润额相当五分之一的销售收入,并要扣除广告费用.曾经明白广告费用总预算金是25万元,试征询怎么样分配两种广告费用使利润最大年夜?解设利润为有,限制条件为这是条件极值征询题.令从又解得按照征询题本身的意思及驻点的唯一性即知,当投入两种广告的费用分不为15万元跟10万元时,可使利润最大年夜.例16设某电视机厂花费一台电视机的本钞票为每台电视机的贩买价钱为,销售量为.假设该厂的花费处于平衡形状,即电视机的花费量等于销售量.按
9、照市场猜想,销售量与贩买价钱之间有下面的关系:(1)其中为市场最大年夜需求量,是价钱系数.同时,花费部分按照抵花费环节的分析,对每台电视机的花费本钞票有如下测算:,(2)其中是只花费一台电视机时的本钞票,是范畴系数.按照上述条件,应怎么样判定电视机的售价,才能使该厂获得最大年夜利润?解设厂家获得的利润为每台电视机售价为每台花费本钞票为销售量为那么因此征询题化为利润函数在附加条件(1)、(2)下的极值征询题.使用拉格朗日乘数法,作拉格朗日函数:令将(1)代入(2),得(3)由(1)及知即(4)由知即将(3)、(4)、(5)代入得由此得由征询题本身可知最优价钱确信存在,故那个的确是电视机的最优价钱
10、.线性回归征询题例17(E08)为测定刀具的磨损速度，按每隔一小时测量一次刀具厚度的办法，掉掉落如下实测数据：试按照这组实测数据树破变量y跟t之间的阅历公式解不雅观看散点图，易觉察所求函数可近似看作线性函数，因此可设其中跟是待定常数，但由于图中各点并不在一致条直线上，因此希望要使倾向都特别小.为了保证每个那个的倾向都特别小，可考虑拔取常数使最小.这种按照倾向的平方跟为最小的条件来选择常数的办法叫做最小二乘法.求解本例：可考虑拔取常数使最小.把看成自变量跟的一个二元函数，那么征询题就可归结为求函数在那些点处获得最小值.令即拾掇得(1)打算，得代入(1)，得因此，所求阅历公式为(2)按照上式算出的
11、与实测的有肯定的倾向，见下表：01234567实测27.026.826.526.326.125.725.324.8打算27.12526.82126.51826.21425.91125.60725.30325.000倾向0.1250.0210.0180.0860.1890.0930.0030.200注：倾向的平方跟其平方根我们把称为均方倾向，它的大小在肯定程度上反响了用阅历公式近似表达原本函数关系的近似程度的好坏.注：本例中实测数据的图形近似为一条直线，因此以为所求函数关系可近似看作线性函数关系，这类征询题的求解比较笨重.有些理论征询题中，阅历公式的典范虽然不是线性函数，但我们可以办法把它转化成
12、线性函数的典范来讨论.线性方案征询题例18(E09)一份简化的食物由粮跟肉两种食物做成,每份粮价值30分,其中含有4单位醣,5单位维生素跟2单位蛋白质;每一份肉价值50分,其中含有1单位醣,4单位维生素跟4单位蛋白质.对一份食物的最低恳求是它至少要由8单位醣,20单位维生素跟10单位蛋白质形成,征询应当选择什么样的食物,才能使价钞票最便宜.解设食物由份粮跟份肉形成，其价钞票为由食物的最低恳求掉掉落三个不等式约束条件，即：为了有充分的醣，应有为了有充分的维生素，应有为了有充分的蛋白质，应有同时尚有上述五个不等式把征询题的解限制在破体上如图的阴影地域中，现在考虑直线族当逐渐增加时，与阴影地域订交的
13、第一条直线是通过顶点的直线，是两条直线跟的交点，因此点对应于的最小值的坐标是即这种食物是由份粮跟份肉形成.代入即掉掉落所恳求的食物的最便宜钱分.例19(E10)一个糖果制造商有500g巧克力,100g核桃跟50g果料.他用这些原料花费三种类型的糖果.A类每盒用3g巧克力,1g核桃跟1g果料,售价10元.B类每盒用4g巧克力跟1g核桃,售价6元.C类每盒是5g巧克力,售价4元.征询每类糖果各应做多少多盒,才能使总收入最大年夜?解设制造商出售三类糖果各为盒，总收入是(元).不等式约束条件由巧克力、核桃跟果料的存货限额给出，依次为因此，由征询题的性质知，跟也是非负的，因此因此，征询题化为：求的称心这些不等式的最大年夜值.上述不等式把赞同的解限制在空间中的一个多面体地域之内(如图).在平行破体中只需一部分破体跟那个地域订交，随着增大年夜，破体离原点越来越远.显然，的最大年夜值肯定出现在如斯的破体上，这种破体恰恰通过赞同值所在多面体地域的一个顶点，所求的解对应于取最大年夜值的那个顶点，打算结果列不才表中.顶点值0500800920780400680600由图可见，的最大年夜值是920元，呼应的点是因此类50盒，类30盒，类30盒时收入最多.课堂练习1.求函数的极值.2.求函数在由x轴,y轴及直线所围成三角形中的最大年夜值.