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1、第八节第八节 多元函数的极值多元函数的极值一、问题的提出一、问题的提出二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值三、条件极值拉格朗日乘数法三、条件极值拉格朗日乘数法实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶卖每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果
2、汁可取得最大收益？取得最大收益？每天的收益为每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值求最大收益即为求二元函数的最大值.一、问题的提出一、问题的提出二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值 1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义极值点必须是函数定义域的极值点必须是函数定义域的内点内点.(1)例例1 1例例例例(2)(2)(3)(3)2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件证证仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的点，均称为函数的驻点驻点.注意：注意：有偏导数有偏导数的函数极值点必为驻点；的函数极值点必为驻
3、点；但驻点未必是极值点但驻点未必是极值点.极值可疑点：驻点或一阶偏导数不存在的点极值可疑点：驻点或一阶偏导数不存在的点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？极值点也可能是一阶偏导不存在的点极值点也可能是一阶偏导不存在的点.定理定理2 2（充分条件充分条件）3 3、多元函数的最值、多元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.设函数设函数 z=f(x,y)在在闭闭区域区域 D 上上连续连续,则则函数函数在在 D 上上必有最大值和最小值必有最大值和最小值.z=f(
4、x,y)的最值既可在的最值既可在 D 的内点处取得的内点处取得,也也可在可在 D 的边界点处取得的边界点处取得.设函数设函数 z=f(x,y)在在闭闭区域区域 D 上上连续、可微连续、可微,且只有有限个极值点且只有有限个极值点,若最值若最值在在 D 内取得内取得,则则最值点必是极值点最值点必是极值点 .求出函数在求出函数在 D 内的所有驻点、不可求偏导内的所有驻点、不可求偏导的点处的函数值和的点处的函数值和在在 D 的边界上的最大值和最的边界上的最大值和最小值小值相互比较，这些值中最大者即为最大值，相互比较，这些值中最大者即为最大值，最小者即为最小值最小者即为最小值.求最值的一般方法求最值的一
5、般方法：解解如图如图,先求函数在先求函数在D内的驻点内的驻点 求实际问题中，由问题的实际意义可知函求实际问题中，由问题的实际意义可知函数数 f(x,y)有最值，且在有最值，且在 D 内只有唯一的驻点，内只有唯一的驻点，则该驻点的函数值就是所求的最大值或最小值则该驻点的函数值就是所求的最大值或最小值.三、条件极值拉格朗日乘数法三、条件极值拉格朗日乘数法无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件并无其他条件.实例：实例：小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音
6、磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的实质：求问题的实质：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个或约束拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个或约束条件有多个的情况：条件有多个的情况：解解则则解解可得可得即即可得可得即即课后练习：课后练习：多元函数的极值多元函数的极值条件极值与拉格朗日乘数法条件极值与拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案