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1、第八节 多元函数的极值第1页，共45页，编辑于2022年，星期三二元函数极值的定义二元函数极值的定义一、多元函数的极值第2页，共45页，编辑于2022年，星期三(1(1)(2(2)(3(3)例例1 1 函数函数处有极小值处有极小值在在例例函数函数处有极大值处有极大值在在处有极大值处有极大值在在例例处无极值处无极值在在函数函数第3页，共45页，编辑于2022年，星期三回忆：一元函数极值的必要条件回忆：一元函数极值的必要条件费马定理费马定理定义定义第4页，共45页，编辑于2022年，星期三多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件证证第5页，共45页，编辑于2022年，星期三第6页，共45页，编
2、辑于2022年，星期三 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：第7页，共45页，编辑于2022年，星期三第8页，共45页，编辑于2022年，星期三例例4 4求函数的极值求函数的极值解解求得驻点求得驻点，在点处在点处第9页，共45页，编辑于2022年，星期三所以，在处函数没有极值所以，在处函数没有极值在点处在点处又又所以，在处函数有极大值且所以，在处函数有极大值且第10页，共45页，编辑于2022年，星期三解解
3、第11页，共45页，编辑于2022年，星期三第12页，共45页，编辑于2022年，星期三第13页，共45页，编辑于2022年，星期三但在但在（0,0）点取得极小值）点取得极小值注：函数的极值点也可能是偏导数不存在的点注：函数的极值点也可能是偏导数不存在的点.例例综上讨论可知，函数的极值点的存在范围综上讨论可知，函数的极值点的存在范围：驻点、偏导数不存在的点驻点、偏导数不存在的点第14页，共45页，编辑于2022年，星期三二、有界闭区域上函数的最值对于该区域内任一点对于该区域内任一点,若恒有不等式若恒有不等式则称则称 为函数在为函数在 D内的内的最大值最大值最大值与最小值统称为最值最大值与最小值
4、统称为最值.在平面区域在平面区域内有定义内有定义,设函数设函数使函数取得最值的点使函数取得最值的点(x0,y0)称为最值点称为最值点.则称则称 为函数在为函数在 D内的内的最小值最小值第15页，共45页，编辑于2022年，星期三求最值的一般方法求最值的一般方法：如何求连续函数如何求连续函数z=f(x,y)在闭区域在闭区域D上的最大上的最大值、最小值呢？如果值、最小值呢？如果f(x,y)在在D上可微，可先求出上可微，可先求出函数在该区域内的一切驻点处的函数值及函数在区域函数在该区域内的一切驻点处的函数值及函数在区域边界上的最大值与最小值边界上的最大值与最小值.在这些函数值中的最大的就在这些函数值
5、中的最大的就是函数在是函数在D上的最大值，最小的就是函数在上的最大值，最小的就是函数在D上的最小上的最小值值.第16页，共45页，编辑于2022年，星期三解解如图如图,第17页，共45页，编辑于2022年，星期三第18页，共45页，编辑于2022年，星期三第19页，共45页，编辑于2022年，星期三解解由由第20页，共45页，编辑于2022年，星期三第21页，共45页，编辑于2022年，星期三 在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域区域 D 内部取到最值，而函数在内部取到最值，而函数在 D 内又只有内又只有唯一唯一的驻点的驻点，则可判定函数在该驻点
6、即取得最值，则可判定函数在该驻点即取得最值.第22页，共45页，编辑于2022年，星期三例例9 某厂要用铁板做成一个体积为某厂要用铁板做成一个体积为2的有盖长方的有盖长方体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？使用料最省？此水箱的用料面积此水箱的用料面积解解：设水箱的长为：设水箱的长为x,x,宽为宽为y,y,则其高为则其高为第23页，共45页，编辑于2022年，星期三时，时，A A取得最小值，取得最小值，根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存在，根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存在，并在开区域并在开区域D(x0,y0)D(x0
7、,y0)内取得内取得.又函数在又函数在D D内只有唯一的驻内只有唯一的驻点，因此可断定当点，因此可断定当就是说，当水箱的长、宽、高均为就是说，当水箱的长、宽、高均为时，时，水箱所用的材料最省。水箱所用的材料最省。第24页，共45页，编辑于2022年，星期三实例：实例：小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达
8、到最佳效果元以达到最佳效果问题的实质：求问题的实质：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点二、条件极值、拉格朗日乘数法1.条件极值条件极值第25页，共45页，编辑于2022年，星期三条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值无条件极值无条件极值：对自变量除有定义域限制外，无对自变量除有定义域限制外，无任何其它条件限制的极值任何其它条件限制的极值第26页，共45页，编辑于2022年，星期三求求如如 k=1,求求 如如 k=2,求求 下的极值。下的极值。”条件极值在数学上的提法条件极值在数学上的提法第27页，共45页，编辑于2022年，星期三l 从理论上讲，条件极值都可化
9、为无条件极值从理论上讲，条件极值都可化为无条件极值 求解求解.其其思路思路是，将其转化为无条件极值是，将其转化为无条件极值.但但 是当条件为方程是当条件为方程(组组)给的隐函数时，转化有给的隐函数时，转化有 困难，从而产生了下述方法困难，从而产生了下述方法 Lagrange乘乘 数法数法。以下先分析以下先分析 Lagrange 乘数法的原理，从乘数法的原理，从 而得出条件极值的必要条件而得出条件极值的必要条件,然后讲然后讲乘数法乘数法 的具体作法。的具体作法。2.拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法第28页，共45页，编辑于2022年，星期三则应有则应有第29页，共45页，编辑于2022年，星期三于是
10、问题转化为求于是问题转化为求 的无条件极值的无条件极值则则而由方程而由方程两边求导，得两边求导，得第30页，共45页，编辑于2022年，星期三第31页，共45页，编辑于2022年，星期三于是得到于是得到下的极值的必要条件下的极值的必要条件第32页，共45页，编辑于2022年，星期三此结果相当于一个三元函数：此结果相当于一个三元函数：取得无条件极值的必要条件取得无条件极值的必要条件,函数，函数，F 称为称为Lagrange称为称为 乘数，乘数，称为称为Lagrange 乘数法乘数法.而把而把 作为取条件极值的必要条件的方法作为取条件极值的必要条件的方法第33页，共45页，编辑于2022年，星期三
11、第34页，共45页，编辑于2022年，星期三第35页，共45页，编辑于2022年，星期三解解则则第36页，共45页，编辑于2022年，星期三解解第37页，共45页，编辑于2022年，星期三第38页，共45页，编辑于2022年，星期三第39页，共45页，编辑于2022年，星期三可得可得即即第40页，共45页，编辑于2022年，星期三例例8 8截旋转抛物面截旋转抛物面其截口是一个椭圆其截口是一个椭圆,求截口椭圆上的最高求截口椭圆上的最高点和最底点。点和最底点。解解 求最高点和最底点的目标函数是求最高点和最底点的目标函数是第41页，共45页，编辑于2022年，星期三但这个极值问题受限于两个约束条件，
12、但这个极值问题受限于两个约束条件，是条件极值问题，设其是条件极值问题，设其Lagrange函数函数为为利用条件极值取得极值的必要条件利用条件极值取得极值的必要条件第42页，共45页，编辑于2022年，星期三令令 从从可知若可知若矛盾矛盾 所以所以 因而得到：因而得到：再代入再代入,得得 然后由然后由第43页，共45页，编辑于2022年，星期三即得即得于是因于是因而求得最高点为而求得最高点为最底点为最底点为第44页，共45页，编辑于2022年，星期三多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值小结第45页，共45页，编辑于2022年，星期三