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1、.四川省南充市 2018届高三第一次高考适应性考试（一诊） 数学理试题 第卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 中元素的个数为（ ） A. 必有1个 B. 1个或2个 C. 至多1个 D. 可能2个以上 【答案】C 【解析】集合A=（x，y）|y=f（x） ，xD，B=（x，y）|x=1， 当1D时，直线x=1与函数y=f（x） ，有一个交点， 当1D 时，直线x=1与函数y=f（x） ，没有交点， 所以AB中元素的个数为1或0 故答案为：C. 2. 已知复数 满足 ，则复数 的虚部是
2、（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由条件知道 ，由虚部的概念得到 。 故答案为C。.3. 已知向量 是互相垂直的单位向量，且 ，则 （ ） A. B. 1 C. 6 D. 【答案】D 【解析】向量 是互相垂直的单位向量，故 , 故答案为：D。 4. 已知变量 与变量 之间具有相关关系，并测得如下一组数据 则变量 与 之间的线性回归方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据表中数据，得； ， ， 且变量y随变量x的增大而减小，是负相关，排除A,D. 验证 时， ,C成立； ，不满足. 即回归直线y=0.7x+10.3过样本中心点( , ). 故选：B.
3、点睛：求解回归方程问题的三个易误点： 易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是 一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴 随关系 回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过 点，可能所有 的样本数据点都不在直线上 利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值) 5. 设 ，其中 都是非零实数，若 ，那么 （ ）.A. 1 B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】函数f（x）=asin（x+）+bcos（x+） ，其中a，b，都是非零实数， f（2017）=1，f（2
4、017）=asin（2017+）+bcos（2017+）=-asin-bcos=- 1， f（2018）=asin（2018+）+bcos（2018+）=asin+bcos=1 故答案为：A。 6. 若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 时， 为减函数，且有 ,则有 ，A 不正确； 时， 为减函数，且有 ，所以 ，B不正确； 时， ，C不正确； 时， 为减函数， ，所以 ，D正确. 故选D. 7. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的 面积为（ ）. A. B. 4 C. 3 D. 【答案】A 【解析】如图所示，正方体ABCD-
5、A 1 B 1 C 1 D 1 中，E，F分别为AB，AD的中点， 则该几何体是正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 截取三棱台AEF-A 1 B 1 D 1 后剩余的部分. 则截面为FEB 1 D 1. ，为等腰梯形，上底FE= ，下底B 1 D 1 = ,腰为 . 得梯形的高为 . 则面积为： . 故选A. 8. 若函数 在区间 内恰有一个极值点，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意, ，.则 ， 即 ， 解得 ， 另外,当 时, 在区间(1,1)恰有一个极值点 ， 当 时,函数 在区间(1,1)没有一个极值点， 实数 的取值范围为 .
6、故选：B. 9. 如图，将 直角三角板和 直角三角板拼在一起，其中 直角三角板的斜边与 直角 三角板的 角所对的直角边重合.若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意得，若设 AD=DC=1，则 AC= ，AB=2 ，BC= ，由题意知， BCD中，由余弦定理得 DB 2 =DC 2 +CB 2 2DCCBcos（45+90）=1+6+21 =7+2 ， ，ADC=90，DB 2 =x 2 +y 2 ，x 2 +y 2 =7+2 如图，作 =x ， =y ，则 = + ，CC=x1，CB=y，.RtCCB中，由勾股定理得 BC 2 =CC 2 +CB 2 ，即 6=
7、（x1） 2 +y 2 ， 由可得 x=1+ ，y= ， 故答案选B 10. 已知 是同一球面上的四个点，其中 是正三角形， 平面 ， ，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意画出几何体的图形如图， 把 扩展为三棱柱， 上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径， ， 是正三角形， 所以 . . 所求球的体积为： 故选A. 点睛：关于球与柱体（椎体）的组合体的问题，是近年高考的常考内容，且常与几何体的体 积、表面积等结合在一起考查。解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到 多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用 11. 已知抛
8、物线 ，直线 ， 为抛物线 的两条切线，切点分别为 ，则 “点 在 上”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件.【答案】C 【解析】设 ，由导数不难知道直线PA，PB的斜率分别为 . 进一步得 . PB: .，由联立可得点 ， (1)因为P在l上，所以 =1，所以 ， 所以PAPB；甲是乙的充分条件 (2)若PAPB， ， 即 ，从而点P在l上.甲是乙的必要条件， 故选C. 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多 少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.
9、定点、定值 问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推 理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 12. 已知函数 （ 是自然对数的底数）.若 ，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由f（m）=2ln f（n）得 f（m）+f（n）=1 f（mn）=1=1 ， 又lnn+lnm+2=（lnn+1）+（lnm+1）（ ）=4+ 4+4=8， lnn+lnm6，f（mn）=1 ，且m、ne，lnn+lnm0，f（mn）=1.1， f（mn）1， 故选：C 点睛：这个题目考查了对数的运算法则和不等式在求范围和最值中的应用；一般解决
10、二元问 题，方法有：不等式的应用；二元化一元的应用；变量集中的应用；都是解决而原问题的常 见方法。其中不等式只能求出一边的范围，求具体范围还是要转化为函数。 第卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 的展开式中有理项系数之和为_. 【答案】32 【解析】 （1+ ） 6 的展开式的通项公式为 T r+1 = ，令 为整数，可得r=0，2，4，6， 故展开式中有理项系数之和为 ， 故答案为：32. 14. 函数 的单调递增区间是_. 【答案】 【解析】化简可得y=sinxcos +cosxsin =sin（x+ ） ， 由2k x+ 2k+ 可得2k x2
11、k+ ，kZ， 当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为 ， ， 又由x0， 可取交集得x0， ， 故答案为：0， 15. 若圆 与圆 相交于 两点，且两圆在点 处的切线 互相垂直，则线段 的长度是_. 【答案】4.【解析】 由题意做出图形分析得： 由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直,且过对方圆心 .则在 中, ，所以 斜边上的高为半弦，用等积法易得： . 故答案为：4. 16. 定义域为 的偶函数 满足对 ，有 ，且当 时，若函数 在 上至多有三个零点，则 的取值范围 是 _. 【答案】 【解析】.f（x+2）=f（x）f（1） ， 且f（x）是定义域为R的偶函数， 令x=1可得f（1
12、+2）=f（1）f（1） ， 又f（1）=f（1） ， f（1）=0 则有f（x+2）=f（x） ， f（x）是最小正周期为2的偶函数 当x2，3时，f（x）=2x 2 +12x18=2（x3） 2 ， 函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线 函数y=f（x）log a （|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点， 令g（x）=log a （|x|+1） ，则f（x）的图象和g（x）的图象至多有3个交点 可以分两种情况：其一是有交点时，其二是一个交点也没有， 当一个交点都没有时，即a1. 当有交点时，f（x）0，g（x）0，可得0a1， 要使函数y=f（x）log a （|x|+1）在
13、（0，+）上至多有三个零点， 则有g（4） ，解得，又0a1， a1， 故答案为： 。 点睛：此题主要考查函数奇偶性、周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法， 同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，正确赋值是迅速解题的关键。其二是考查了函 数的零点问题和图像的交点问题的转化。 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 的前 项和 . （1）证明： 是等比数列，并求其通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 【答案】(1)证明见解析， .(2) .【解析】试题分析：（1）由条件知道 ，两式子做差可得 ，移项得到 。 （2）根
14、据第一问得到 ，由错位相减的方法求和 即可. （1）证明：当 时， ， 由 得 ， 即 ， 所以 ， 所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，于是 . （2）解：令 ， 则 ， 得 ， ，得 所以 . 18. 一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克） ，重量分组区间为 ，由此得到样 本的重量频率分布直方（如 图）.（1）求 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值； （2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在 内的小球个数为 ，求 的分布列和数学 期望.（以频率分布直方图中的频率作为概率） 【答案】(1)答
15、案见解析；(2)答案见解析. 【解析】试题分析：（）由频率分布直方图中所有小矩形面积（频率）之和为1，可计算 出 ,众数取频率最大即矩形最高的那个矩形的中点横坐标，平均值用各矩形中点值乘频率相 加即得；（） 的可能取值为 、 、 、 ，利用样本估计总体，该盒子中小球重量在 内的概率为 ，因此有 ，从而可得分布列，最后由期望公式可计算出期望 试题解析：（）由题意，得 ， 解得 ； 又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克） 而 个样本小球重量的平均值为： （克） 故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为 克； （）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在 内
16、的概率为 则 . 的可能取值为 、 、 、 ， ， ， ， . 的分布列为：.（或者 ） 考点：频率分布直方图，用样本估计总体，随机变量分布列，数学期望 19. 如图，正方形 与等边三角形 所在的平面互相垂直， 分别是 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）求锐二面角 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) . 【解析】试题分析：（1）由根据平行四边形的规则得到对边平行，可得 平面 ，同理 可证 平面 ，进而得到平面 平面 ，从而得到线面平行；（2）由空间向量法 求面的法向量和线的方向向量，根据空间向量的运算公式求线面角的值. （1）证明：取 中点 ,连结 . 由题意可得 , 因为 平
17、面 , 平面 , 所以 平面 , 同理可证 平面 . 因为 , 所以平面 平面 , 又 平面 , 所以 平面 .（2）解：取 的中点 ,连接 . 由题意可得 两两垂直,以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立 空间直角坐标系. 令 ，则 . 所以 . 设平面 的法向量 则 令 ，则 因为 是平面 的一个法向量 所以 所以锐二面角 的余弦值为 . 20. 已知椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 . （1）若 是椭圆上的任意一点，求 的取值范围； （2）已知直线 与椭圆相交于不同的两点 (均不是长轴的端点） ， ， 垂足为 且 ，求证:直线 恒过定点. 【答案】(1) .(2)证明见解析. 【
18、解析】试题分析：（1）设点的坐标 ，由向量坐标化的方法得 ，根据点在椭圆方程上得到 ，进而得 到范围。 （2）联立直线和椭圆得到二次方程，向量坐标化，根据韦达定理得到 ，进而得到结果。 （1）设 ，又 所以 ，.因为 点在椭圆 上， 所以 ，即 ，且 ，所以 ， 函数 在 单调递增， 当 时， 取最小值为0； 当 时， 取最大值为12. 所以 的取值范围是 . （2）由题意： 联立 得， 由 得 设 ，则 . ， 所以 即 ， 所以 或 均适合. 当 时，直线 过点 ，舍去， 当 时，直线 过定点 . 点睛：这个题目考查了直线和圆锥曲线的应用。用到了二次函数求最值的应用；向量坐标化 的意识；一
19、般圆锥曲线和向量结合的题目，先是采用向量坐标化的方法来确定做题方向，将 向量关系转化为坐标关系，之后就会知道需要联立应用韦达定理。.21. 已知 ，函数 . （1）若函数 在 上为减函数，求实数 的取值范围； （2）令 ，已知函数 ，若对任意 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1) .(2) . 【解析】试题分析：（1）由条件知函数单调递减则则需 在 上恒成立,即 在 上恒成立，转化为求函数最值问题。 （2）若对任意 ，总存 在 .使得 成立，则，函数 在 的值域是 在 的值 域的子集.分别求两个函数的值域，转化为集合间的包含关系即可。 （1）因为 ， 要使 在 为减函数
20、，则需 在 上恒成立. 即 在 上恒成立， 因为 在 为增函数，所以 在 的最小值为 ， 所以 . （2）因为 ，所以 . ， 当 时， ， 在 上为递增， 当 时， ， 在 上为递减， 所以 的最大值为 ， 所以 的值域为 . 若对任意 ，总存在 .使得 成立，则， 函数 在 的值域是 在 的值域的子集. 对于函数 ， 当 时， 的最大值为 ，所以 在 上的值域为 ，.由 得 ； 当 时， 的最大值为 ，所以 在 上的值域为 ， 由 得 或 (舍）. 综上所述， 的取值范围是 . 点睛：这个题目考查了导数在研究函数单调性和函数最值范围问题的应用；均是转化为了函 数恒成立求参的问题。恒成立有解
21、求参的问题一般可以转化为变量分离求最值问题；或者转 化为一个函数在另一个函数的上方。 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数） ，在以原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 . （1）求 的普通方程和 的倾斜角； （2）设点 和 交于 两点，求 . 【答案】(1) 的普通方程为 ，直线 的斜率角为 .(2) . 【解析】试题分析：（1）由参数方程消去参数，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通 过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角 （2）设出直线l的参数方
22、程，代入椭圆方程并化简，设A，B两点对应的参数分别为 t 1 ，t 2 ，利用参数的几何意义求解即可 试题解析： （1）由 消去参数 ，得 即 的普通方程为 由 ，得 将 代入得 所以直线 的斜率角为 .（2）由（1）知，点 在直线 上，可设直线 的参数方程为 ( 为参数) 即 ( 为参数)， 代入 并化简得 设 两点对应的参数分别为 . 则 ，所以 所以 . 23. 已知函数 . （1）求不等式 的解集 ； （2）设 ，证明： . 【答案】(1) 或 ；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个 不等式组的解集，再取并集，即得所求 （2）因为 ，要证 ，只需证 ，即证 ，平方作差即可证得不等式成立 试题解析： （1）解：当 时，原不等式化为 解得 ； 当 时,原不等式化为 解得 ，此时不等式无解； 当 时，原不等式化为 解 . 综上， 或 （2）证明，因为 . 所以要证 ，只需证 ， 即证 ，.即证 ， 即证 ，即证 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 成立. 所以原不等式成立.