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1、|2018 年浙江专升本高数考试真题答案 1、 选择题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。 1、 设 ，则 在 内（ C ） 0 0 , , sin ) ( x x x x x x f ) (x f ) 1 , 1 ( A、有可去间断点 B、连续点 C、有跳跃间断点 D、有第二间断点 解析： 1 sin lim ) ( lim , 0 lim ) ( lim 0 0 0 0 x x x f x x f x x x x ，但是又存在， 是跳跃间断点 ) ( lim ) ( lim 0 0 x f x f x x 0 x 2、 当 时， 是 的（ D ）无穷小 0 x x x x
2、cos sin 2 x A、低阶 B、等阶 C、同阶 D、高阶 解析： 高阶无穷小 0 2 sin lim 2 sin cos cos lim cos sin lim 0 0 2 0 x x x x x x x x x x x x x 3、 设 二阶可导，在 处 ， ，则 在 处（ ) (x f 0 x x 0 ) ( 0 x f 0 ) ( lim 0 0 x x x f x x ) (x f 0 x x B ） A、取得极小值 B、取得极大值 C、不是极值 D、 是拐点 ) ( 0 , 0 x f x 解析： ，则其 ， 0 0 0 0 ) ( ) ( lim ) ( , 0 ) ( li
3、m 0 0 x x x f x f x f x x x f x x x x 0 ) ( , 0 ) ( 0 0 x f x f 为驻点，又 是极大值点。 0 x 0 0 0 ) ( x x x f 4、 已知 在 上连续，则下列说法不正确的是（ B ） ) (x f b a, A、已知 ，则在 上， b a dx x f 0 ) ( 2 b a, 0 ) ( x f B、 ，其中 x x x f x f dt t f dx d 2 ) ( ) 2 ( ) ( b a x x , 2 , C、 ，则 内有 使得 0 ) ( ) ( b f a f b a, 0 ) ( f D、 在 上有最大值
4、和最小值 ，则 ) (x f y b a, M m b a a b M dx x f a b m ) ( ) ( ) ( 解析：A. 由定积分几何意义可知， ， 为 在 上与 轴围成 0 ) ( 2 x f dx x f b a ) ( 2 ) ( 2 x f b a, x 的面积，该面积为 0 ，事实上若 满足 0 ) ( 2 x f ) (x f|) ( 0 ) ( 0 ) ( b x a x f dx x f b a 非负 连续 B. ) ( ) 2 ( 2 ) ( 2 x f x f dx x f dx d x x C. 有零点定理知结论正确 D. 由积分估值定理可知， ， ， b a
5、 x , M x f m ) ( 则 ) ( ) ( ) ( ) ( a b M dx x f a b m Mdx dx x f mdx b a b a b a b a 5、下列级数绝对收敛的是（ C ） A、 B、 C、 D、 1 1 1 ) 1 ( n n n 1 1 ) 1 ln( ) 1 ( n n n 1 3 9 cos n n n 1 1 n n 解析：A. ，由 发散 发散 1 1 1 1 lim n n n 1 1 n n 1 1 n B. ，由 发散 发散 0 1 1 lim ) 1 ln( lim ) 1 ln( 1 1 lim n n n n n n n n 1 1 n
6、n 1 ) 1 ln( 1 n n C. ，而 =1 ，由 收敛 收敛 9 1 9 cos 2 2 n n n 2 3 2 1 9 1 lim n n n 1 2 3 1 n n 9 1 2 n 收敛 9 cos 2 n n D. 发散 1 1 n n 2、 填空题 6、 a x x e x a 1 0 ) sin 1 ( lim 解析： a x a x a x x a x a x x x x e e e e x a x x 1 cos sin 1 1 lim ) sin 1 ln( lim ) sin 1 ln( 1 0 1 0 0 0 lim ) sin 1 ( lim 7、 ，则 3 s
7、in ) 2 3 ( ) 3 ( lim 0 x x f f x 2 3 ) 3 ( f|解析： 3 ) 3 ( 2 2 ) 3 ( ) 2 3 ( lim 2 sin ) 2 3 ( ) 3 ( lim 0 0 f x f x f x x f f x x 8、 若常数 使得 ，则 b a, 5 ) (cos sin lim 2 0 b x a e x x x 9 b 解析： 5 ) (cos lim ) (cos sin lim 2 0 2 0 a e b x x b x a e x x x x x 所以根据洛必达法则可知： 1 , 0 1 a a 2 1 2 cos lim 2 ) (co
8、s lim 0 0 b b x x b x x x x 9 , 5 2 1 b b 9、 设 ，则 t t y t x arctan ) 1 ln( 1 1 t dx dy 解析： ， 2 2 2 1 ) 1 ( 1 1 1 1 1 t t t t t dt dx dt dy dx dy 1 1 t dx dy 10、 是 所确定的隐函数，则 ) (x f y 0 1 2 2 y x 3 2 2 2 2 y x y dx y d 解析：方程两边同时求导，得： ， ， 0 2 2 y y x y x y 方程 同时求导，得： ，将 带入， 0 2 2 y y x 0 ) ( 1 2 y y y
9、y x y 则得， ， 0 ) ( 1 2 y y y x 3 2 2 3 2 2 2 1 y x y y x y y dx y d 11、 求 的单增区间是 2 1 x x y ) 1 , 1 ( 解析： 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 1 x x x x x y 令 ，则 ， 0 y 1 2 x 1 1 x 12、 求已知 ，则 C e dx x f x 2 ) ( ) ( 1 lim 1 0 n k f n n k n 1 e 解析： 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 lim 1 0 1 0 1 0 1 0 2 e C e dx x f dx x f n
10、 k f n x n k n|13、 dx x x e 2 ) (ln 1 1 解析： 1 ln 1 ln ) (ln 1 ) (ln 1 2 2 e e e x x d x dx x x 14、 由 ： 围成的图形面积为 2 x y 2 , 1 x y 3 4 解析： 3 4 ) 3 1 ( ) 1 ( 2 1 2 1 3 2 x x dx x A 15、 常系数齐次线性微分方程 的通解为 （ 为任意常 0 2 y y y x e x C C y ) ( 2 1 2 1 C C 数） 解析：特征方程： ，特征根： 0 1 2 2 r r 1 2 1 r r 通解为 （ 为任意常数） x e
11、x C C y ) ( 2 1 2 1 C C 三、计算题 （本大题共 8 小题，其中 16-19 小题每小题 7 分，20-23 小题每小题 8 分，共 60 分） 16、 求 ) sin 1 ln( lim 0 x e e x x x 解析： 2 2 lim sin 2 lim ) sin 1 ln( 1 lim ) sin 1 ln( lim 0 0 2 0 0 x x x x x e e x e e x x x x x x x x 17、 设 ，求 在 处的微分 x x x y ) sin 1 ( ) ( ) (x y x 解析： x x x y ) sin 1 ( ) ( ) sin
12、 1 ln( ln x x y x x x x y sin 1 cos ) sin 1 ln( y 1 dx x x x x x x ) sin 1 ( sin 1 cos ) sin 1 ln( dy 将 代入上式，得微分 x dx dy 18、 求 5 0 2 cos 1 dx x 解析： 5 0 2 cos 1 dx x 5 0 | sin | dx x| 4 3 5 4 2 3 2 0 sin ) sin sin ) sin sin xdx dx x xdx dx x xdx （ （ 10 | cos | cos | cos | cos | cos 5 4 4 3 3 2 2 0 x
13、x x x x 19、 求 dx x arctan 解析： ， 2 t x t x ，则 令 tdt dx 2 2 tan arc tdt t d t t t tan arc tan arc 2 2 dt t t t t 2 2 2 1 1 tan arc dt t t t t 2 2 2 1 1 1 tan arc dt t t t ） （ 2 2 1 1 1 tan arcc t t t t tan arc tan arc 2 c x x x x tan arc tan arc 则 则 则 20、 dx x x x x x 1 1 - 4 1 cos 4 5 ） （ 解析： 为奇函数， 4
14、 1 cos x x x 该式不 代入 计算 4 5 4 5 2 t x x t ，则 令 tdt dx 2 1 dt t t t ) 2 1 ( 1 4 5 1 3 2 该式 3 1 2 ) 5 8 1 dt t （6 1 | ) 3 1 5 8 1 3 1 3 t t （ 21、 已知 在 处可导，求 0 ), 1 ln( 0 , 2 ) ( x ax x b x x f 0 x b a, 解析：|0 ) ( lim , 0 ) ( lim ) 0 ( ) ( lim ) ( lim 0 ) ( 0 ) ( 0 0 0 0 b b x f x f f x f x f x x f x x f
15、 x x x x 处连续 在 处可导 在 ) ( lim ) ( lim 0 0 x f x f x x a x ax x f x x 0 0 ) 1 ln( lim ) ( lim 0 0 2 0 0 2 lim ) ( lim 0 0 x x x f x x 2 a 22、 求过点 且平行于 又与直线 相交的直线方程。 ) 1 , 2 , 1 ( A 0 7 3 2 z y x t z t y t x 2 3 1 直线过点 ，因为直线平行于平面，所以 ， ， ) 1 , 2 , 1 ( A n S ) 1 , 3 , 2 ( n 设两条直线的交点 ，所以 ， ) 2 , 3 , 1 ( t
16、 t t P ) 1 2 , 1 , ( t t t PA S 所以 ， ， ，所以 ， 0 1 2 3 3 2 t t t 4 t ) 8 , 7 , 3 ( P ) 7 , 5 , 4 ( PA 所以直线方程为 。 7 1 5 2 4 1 z y x 23、讨论 极值和拐点 1 3 2 3 1 ) ( 2 3 x x x x f 解析： 1 3 2 3 1 ) ( 2 3 x x x x f （1 ） 的极值 ) (x f 3 4 ) ( 2 x x x f 令 ，则 0 ) ( x f 3 , 1 2 1 x x 列表如下： x ） ， （ 1 1 ） ， （ 3 1 3 ） ， （ 3
17、|所以极大值为 ，极小值 3 7 1 3 2 3 1 ) 1 ( f 1 ) 3 ( f （2 ） 的拐点 ) (x f 令 则 4 2 ) ( x x f 0 ) ( x f 2 x 列表如下： 拐点为 。 3 5 , 2 4、 综合题（本大题共 3 大题，每小题 10 分，共 30 分） 24、 利用 ， n n n x x 0 ) 1 ( 1 1 （1 ）将函数 展开成 的幂级数 ) 1 ln( x x （2 ）将函数 展开成 的幂级数 ) 3 ln( x 2 x 解析：（1）令 ， ，当 时， ) 1 ln( ) ( x x f x x f 1 1 ) ( ) 1 , 1 ( x n
18、n n x x 0 ) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 ) 0 ( ) ( ) ( 1 0 0 0 0 0 n x dt t dt t f dt t f x f n n n n x n n x x 当 时，级数发散；当 时，级数收敛，故收敛域为 。 1 x 1 x 1 , 1 （2 ） ) 5 2 1 ln( 5 ln ) 5 2 1 ( 5 ln ) 2 ( 5 ln ) 3 ln( x x x x 0 1 ) 5 2 ( 1 1 ) 1 ( 5 ln n n n x n 0 1 1 ) 1 ( 5 ) 2 ( ) 1 ( 5 ln n n n n n x ) ( x f
19、 + 0 - 0 + ) (x f 极大值 极小值 x ） ， （ 2 2 ） ， （ 2 ) ( x f - 0 + ) (x f 凸 拐点 凹|其中， 。 7 3 1 5 2 1 x x 25、 在 上导函数连续， ，已知曲线 与直线 及 ) (x f ， 1 0 ) ( x f ) (x f ) 1 ( , 1 t t x x =1 （ ）及 轴所围成的去边梯形绕 轴所围成的旋转体体积是该曲边梯形的 倍， x 1 t x x t 求 ) (x f 解析： ， t dx x f S 1 ) ( dx x f V t ) ( 1 2 由题意知， ，求导得，得 t t dx x f t dx
20、x f 1 1 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 t tf dx x f t f t 再求导，得 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 t f t t f t f t f t f 即 ，则 ， ， ， ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 t f t f t f t t f y y y t y 2 2 y t y y ) 2 ( 2 dy dt y t y 2 2 ， ， ， , 1 2 1 t y dy dt y y P 2 1 ) ( 1 ) ( y Q ) 3 2 ( 1 ) ( 2 3 1 2 1 1 2 1 C y y C dy e e t dy y dy
21、y 由 ，带入得 ，故曲线方程为 。 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 f f f 3 1 C y y x 1 2 3 26、 在 连续且 和 的直线与曲线交于 ， ) (x f b a, ） （ ) ( , a f a ） （ ) ( , b f b ) )( ( , b x a c f c （ 证明： （1 ）存在 ) ( ) ( 2 1 f f （2 ）在 存在 ) , ( b a 0 ) ( f 解析： 解法一： （1 ）过 的直线方程可设为： ) ( , ( ), ( , ( b f b a f a ) ( ) ( ) ( ) ( c x a b a f b f c f y
22、 所以可构造函数： x x f x F ) ( ) ( 所以 ) ( ) ( ) ( c F b F a F 又因为 在 连续可导的，则 在 连续可导， ) (x f c a, b c, ) (x F b c c a , , 所以根据罗尔定理可得存在 , ), , ( ), , ( 2 1 b c c a 0 ) ( ) ( 2 1 F F 使 。 ) ( ) ( 2 1 f f |（2 ）由（1 ）知 ，又 二阶可导，存在且连续，故由罗尔定理可知， ) ( ) ( 2 1 f f ) (x f ，使得 。 ) , ( ) , ( 2 1 b a 0 ) ( f 解法二： （1 ）考虑 在 及 上的格拉朗日中值定理有： ) (x f c a, b c, ， ，有 ， ， c a, 1 ) , ( 2 b c ) ( ) ( ) ( 1 f a c a f c f ) ( ) ( ) ( 2 f c b c f b f 由于 共线， ) ( , ( ), ( , ( ), ( , ( c f c C b f b B a f a A 则有 的斜率 与 的斜率 相等， AC c a c f a f k AC ) ( ) ( BC c b c f b f k BC ) ( ) ( 于是有 ) ( ) ( 2 1 f f （2 ）与解法一（2）做法一致。