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1、.1/9 2018 年浙江专升本高数考试真题答案 一、选择题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。1、设 00,sin)(xxxxxx f，则)(x f在)1,1(内（C）A、有可去间断点 B、连续点 C、有跳跃间断点 D、有第二间断点 解析：1sinlim)(lim,0 lim)(lim0 0 0 0 xxx f x x fx x x x)(lim)(lim0 0 x f x fx x，但是又存在，0 x是跳跃间断点 2、当 0 x 时，x x x cos sin 是 2x 的（D）无穷小 A、低阶 B、等阶 C、同阶 D、高阶 解析：02sinlim2sin cos cosl
2、imcos sinlim0 020 xxx x x xxx x xx x x高阶无穷小 3、设)(x f二阶可导，在 0 x x处 0)(0 x f，0)(lim00 x xx fx x，则)(x f在 0 x x处（B）A、取得极小值 B、取得极大值 C、不是极值 D、)(0,0 x f x是拐点 解析：0000)()(lim)(,0)(lim0 0 x xx f x fx fx xx fx x x x，则其 0)(,0)(0 0 x f x f，0 x为驻点，又 0 00)(x x x f是极大值点。4、已知)(x f在 b a,上连续，则下列说法不正确的是（B）A、已知badx x f
3、0)(2，则在b a,上，0)(x fB、xxx f x f dt t fdxd2)()2()(，其中 b a x x,2,C、0)()(b f a f，则b a,内有 使得0)(fD、)(x f y在b a,上有最大值M和最小值m，则baa b M dx x f a b m)()()(解析：A.由定积分几何意义可知，0)(2x f，dx x fba)(2为)(2x f在b a,上与x轴围成的 面 积，该 面 积 为 00)(2x f，事 实 上 若)(x f 满 足.2/9)(0)(0)(b x a x fdx x fba非负 连续 B.)()2(2)(2x f x f dx x fdxdx
4、xC.有零点定理知结论正确 D.由积分估值定理可知，b a x,，M x f m)(，则)()()()(a b M dx x f a b m Mdx dx x f mdxbabababa5、下列级数绝对收敛的是（C）A、111)1(nnn B、11)1 ln()1(nnn C、139cosnnn D、11nn解析：A.1111limnnn，由 11nn发散 11n发散 B.011lim)1 ln(lim)1 ln(11limn nnnnn n n，由 11nn发散 1)1 ln(1nn发散 C.919cos2 2n nn，而 232191limnnn=1，由 1231nn收敛 912n收敛 9
5、cos2nn收敛 D.11nn发散 二、填空题 6、axxe x a10)sin 1(lim解析：ax ax axx ax axxxxe e e e x a x x1cossin 11lim)sin 1 ln(lim)sin 1 ln(10100 0 lim)sin 1(lim7、3sin)2 3()3(lim0 xx f fx，则 23)3(f解析：3)3(22)3()2 3(lim 2sin)2 3()3(lim0 0fxf x fxx f fx x处取得极小值取得极大值不是极值是拐点解析则其为驻点又是极大值点已知在上连续则下列说法不正确的是已知则在 满足连续非负有零点定理知结论正确由积分
6、估值定理可知则下列级数绝对收敛的是解析由发散发散由发散发散而由收 析方程两边同时求导得方程同时求导得将带入则得求的单增区间是解析令则求已知则解析解析由围成的图形面积为解.3/9 8、若常数 b a,使得 5)(cossinlim20b xa exxx，则 9 b解析：5)(coslim)(cossinlim2020 a eb x xb xa exxxxx所以根据洛必达法则可知：1,0 1 a a212coslim2)(coslim0 0b b xxb x xx x9,521bb9、设t t yt xarctan)1 ln(，则 11 tdxdy解析：2221)1(11111tt tttdtdx
7、dtdydxdy，11 tdxdy10、)(x f y是0 12 2y x所确定的隐函数，则32 222yx ydxy d解析：方程两边同时求导，得：0 2 2 y y x，yxy，方程0 2 2 y y x同时求导，得：0)(12y y y，将yxy带入，则得，0)(12y yyx，32 232221yx yyxyydxy d11、求21 xxy的单增区间是)1,1(解析：2 222 22 2)1(1)1(2 1xxxx xy令0 y，则12x，1 1 x12、求已知C e dx x fx2)(，则)(1lim10nkfnnkn1 e解析：1)()()()(1lim101010102e C
8、e dx x f dx x fnkfnxnkn13、dxx x e2)(ln11处取得极小值取得极大值不是极值是拐点解析则其为驻点又是极大值点已知在上连续则下列说法不正确的是已知则在 满足连续非负有零点定理知结论正确由积分估值定理可知则下列级数绝对收敛的是解析由发散发散由发散发散而由收 析方程两边同时求导得方程同时求导得将带入则得求的单增区间是解析令则求已知则解析解析由围成的图形面积为解.4/9 解析：1ln1ln)(ln1)(ln12 2 ee e xx dxdxx x14、由 2x y：2,1 x y围成的图形面积为 34解析：34)31()1(21213 2x x dx x A15、常系
9、数齐次线性微分方程 0 2 y y y的通解为 xe x C C y)(2 1（2 1C C为任意常 数）解析：特征方程：0 1 22r r，特征根：12 1r r通解为 xe x C C y)(2 1（2 1C C为任意常数）三、计算题（本大题共 8 小题，其中 16-19 小题每小题 7 分，20-23 小题每小题 8 分，共 60 分）16、求)sin 1 ln(lim0 xe ex xx解析：22limsin2lim)sin 1 ln(1lim)sin 1 ln(lim0 020 0 xxxxxeexe ex xxxxx xx17、设 xx x y)sin 1()(，求)(x y在 x
10、处的微分 解析：xx x y)sin 1()()sin 1 ln(ln x x yxxx x ysin 1cos)sin 1 ln(y1dx xxxx xx)sin 1(sin 1cos)sin 1 ln(dy将 x 代入上式，得微分 dx dy18、求 502cos 1 dx x解析：502cos 1 dx x 50|sin|dx x43542 32 0sin)sin sin)sin sin xdx dx x xdx dx x xdx（10|cos|cos|cos|cos|cos54433220 x x x x x处取得极小值取得极大值不是极值是拐点解析则其为驻点又是极大值点已知在上连续则下
11、列说法不正确的是已知则在 满足连续非负有零点定理知结论正确由积分估值定理可知则下列级数绝对收敛的是解析由发散发散由发散发散而由收 析方程两边同时求导得方程同时求导得将带入则得求的单增区间是解析令则求已知则解析解析由围成的图形面积为解.5/9 19、求 dx x arctan解析：2t x t x，则 令，tdt dx 22tan arc tdt t d t t t tan arc tan arc2 2dttt t t22 211tan arcdtttt t22211 1tan arcdttt t）（22111 tan arcc t t t t tan arc tan arc2c x x x x
12、 tan arc tan arc 则 原式 20、dxxx xxx11-41cos4 5）（解析：41cosxx x为奇函数，该式不代入计算 454 52tx x t，则 令 tdt dx21dt ttt)21(145 132该式 312)581dt t（61|)31581313t t（21、已知 0),1 ln(0,2)(x axx b xx f在 0 x处可导，求 b a,解析：处取得极小值取得极大值不是极值是拐点解析则其为驻点又是极大值点已知在上连续则下列说法不正确的是已知则在 满足连续非负有零点定理知结论正确由积分估值定理可知则下列级数绝对收敛的是解析由发散发散由发散发散而由收 析方程两边同时求导得方程同时求导得将带入则得求的单增区间是解析令则求已知则解析解析由围成的图形面积为解