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1、精品 2016 年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 (3 月 20 日上午 8:30-9:30)一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）(本题共有 6 个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得 7 分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分.)1.用 x表示不超过x的最大整数，把 xx称为x的小数部分.已知123t，a是t的小数部分，b是t的小数部分，则112ba （）.A 12 .B 32 .C 1 .D 3 2.三种图书的单价分别为 10 元、15 元和 20
2、 元，某学校计划恰好用 500 元购买上述图书30 本，那么不同的购书方案有 （）.A 9种 .B 10种 .C11种 .D12种 3(A).如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （）.A6858 .B6860 .C9260 .D 9262 3(B）.已知二次函数21(0)yaxbxa的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当ab为整数时，ab （）.A0 .B14 .C34 .D2 4.已知O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C，连接AO并延
3、长交O于点E,若8,AB 2CD,则BCE的面积为 （）.A12 .B 15 .C 16 .D18 5.如图，在四边形ABCD中，090BACBDC，5ABAC,1CD,对角线的交点为M，则DM ().A32 .B 53.C22 .D12 6.设实数,x y z满足1,xyz 则23Mxyyzxz的最大值为 ()精品 .A 12 .B 23 .C 34 .D1 二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）(本题共有 4 个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B）】已知ABC的顶点A、C在反比例函数3yx（0 x）的图象上，090ACB,030ABC,ABx轴，点B在点A的
4、上方，且6,AB 则点C的坐标为 .1(B).已知ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把BAC三等分，3AD,则AM .2(A).在四边形ABCD中，BCAD,CA平分BCD,O为对角线的交点，,CDAO,BCOD则ABC .3.【3(A)、4(B)】有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的 3 倍，这个六位数是 .3(B).若质数p、q满足：340,111,qppq则pq的最大值为 .4(A).将 5 个 1、5 个 2、5 个 3、5 个 4、5 个 5 共 25 个数填入一个 5 行 5 列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任
5、何两数之差的绝对值不超过 2.考虑每列中各数之和，设这 5个和的最小值为M,则M的最大值为 .第二试 精品 (3 月 20 日上午 9:50 11:20)一、（本题满分 20 分）已知,a b为正整数，求22324Maabb能取到的最小正整数值.二、（本题满分 25 分）(A).如图，点C在以AB为直径的O上，CDAB于点D,点E在BD上，,AEAC四边形DEFM是正方形，AM的延长线与O交于点N.证明:FNDE.(B).已知：5,abc 22215,abc 33347.abc 求222222()()()aabbbbccccaa的值.精品 三、（本题满分 25 分）(A).已知正实数,x y
6、z满足：1xyyzzx,且 222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4xyyzzxxyyzzx.(1)求111xyyzzx的值.(2)证明:9()()()8()xyyz zxxyz xyyzzx.(B).如图，在等腰ABC中,5,ABACD为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E,EB的延长线与AD的延长线交于点,F 求AD AF的值.精品 2016 年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 精品 (3 月 20 日上午 8:30-9:30)一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）(本题共有 6 个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个
7、是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得 7 分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分.)1.用 x表示不超过x的最大整数，把 xx称为x的小数部分.已知123t，a是t的小数部分，b是t的小数部分，则112ba （）.A 12 .B 32 .C 1 .D 3 【答案】A.【解析】123,132,23t 3234,即34,t 331.at 又23,231,t 4233,(4)23,bt 111123311,22222(23)31ba故选A.2.三种图书的单价分别为 10 元、15 元和 20 元，某学校计划恰好用 500 元购买上述图书
8、30 本，那么不同的购书方案有 （）.A 9种 .B 10种 .C11种 .D12种 【答案】C.【解析】设购买三种图书的数量分别为,x y z则30101520500 xyzxyz，即30341002yzxyzx，解得20210yxzx 依题意得，,x y z为自然数（非负整数），故010,xx有11种可能的取值（分别为0,1,2,9,10)，对于每一个x值，y和z都有唯一的值（自然数）相对应.即不同的购书方案共有 11 种，故选C.3(A).如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,2和26均为“和谐数”.那么，不超过201
9、6的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （）.A6858 .B6860 .C9260 .D 9262 【答案】B.【解析】3322(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)kkkkkkkk 22(121)k（其中k为非负整数），由22(121)2016k 得，9k 精品 0,1,2,8,9k，即得所有不超过 2016 的“和谐数”，它们的和为 333333333331(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.故选B.3(B）.已知二次函数21(0)yaxbxa的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当ab为整数时，ab （）.A0 .B14 .C34
10、.D2 【答案】B.【解析】依题意知0,0,10,2baaba 故0,b 且1ba ，(1)21abaaa ，于是10,a 121 1a 又ab为整数，210,a 故1,2ab 14ab，故选B.4.已知O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C，连接AO并延长交O于点E,若8,AB 2CD,则BCE的面积为（）.A12 .B 15 .C 16 .D18 【解析】设,OCx则2,OAODx ODAB于,C14,2ACCBAB 在Rt OAC中，222,OCACOA 即2224(2),xx解得3x，即3OC （第 4 题答案图）OC为ABE的中位线，26.BEOC AE是O的直径，90,B 114
11、612.22BCESCB BE 故选A.5.如图，在四边形ABCD中，090BACBDC，5ABAC,1CD,对角线的交点为M，则DM ().A32 .B 53 .C22 .D12 精品 （第 5 题答案图）【答案】D.【解析】过点A作AHBD于点,H则AMH,CMD,AHAMCDCM1,CD ,AMAHCM设,AMx 则5,5xCMxAHx 在Rt ABM中，2225,BMABAMx 则255AB AMxAHBMx 25,55xxxx显然0 x，化简整理得225 5100 xx 解得5,2x（2 5x 不符合题意，舍去），故 5,2CM 在Rt CDM中，2212DMCMCD,故选D.6.设
12、实数,x y z满足1,xyz 则23Mxyyzxz的最大值为().A 12 .B 23 .C 34 .D1 【答案】C.【解析】22(23)(23)(1)34232Mxyyx zxyyxxyxxyyxy 222211122332222yxyxxxx 222211113322222244yxxxyxx 当且仅当1,02xy时，M取等号，故max34M，故选C.二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）(本题共有 4 个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B）】已知ABC的顶点A、C在反比例函数3yx（0 x）的图象上，090ACB,030ABC,ABx轴，点B在点A的上
13、方，且6,AB 则点C的坐标为 .精品 【答案】3,22.【解析】如图，过点C作CDAB于点D.在Rt ACB中，cos3 3BCABABC 在Rt BCD中，3 3sin,2CDBCB （第 1 题答案图）9cos,2BDBCB32ADABBD,设33,C mA nmn，依题意知0,nm故33,CDnm ADmn，于是 3 323332nmmn 解得322 3mn，故点C的坐标为3,22.1(B).已知ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把BAC三等分，3AD,则AM .【答案】2.【解析】（第1题 答 案 图1）（第 1 题答案图 2）依题意得BADDAMMAC ,090,ADBA
14、DC 故ABCACB.(1)若ABCACB 时，如答案图 1 所示，ADM,ADB1,2BDDMCM 又AM平分,DAC 1,2ADDMACCM在Rt DAC中，即1cos,2DAC 060,DAC 从而0090,30BACACD.在Rt ADC中，tan3 tan603,CDADDAC 1.DM 在Rt ADM中，222AMADDM.(2)若ABCACB 时，如答案图 2 所示.同理可得2AM.综上所述，2AM.精品 2(A).在四边形ABCD中，BCAD,CA平分BCD,O为对角线的交点，,CDAO,BCOD则ABC .【答案】126.【解析】设,OCDADO,CA平分BCD,OCDOCB
15、,BCAD,ADOOBCDAOOCB ,(第 2 题答案图)OCDDAO,ADCD,CDAOADAO,ADOAODBOCOBC ,OCBC,BCOD,OCODODCOCD ,180BOCODCOCDBOCOBCOCB 2,2180,解得36,72，72DBCBCD,BDCDAD18054,2ABDBAD 故126ABCABDDBC.3.【3(A)、4(B)】有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的 3 倍，这个六位数是 .【答案】167334.【解析】设两个三位数分别为,x y，则10003xyxy，31000(31000),yxyxyx故y是x
16、的正整数倍，不妨设ytx（t为正整数），代入得10003,ttx 1000,3txtx是三位数，10001003txt，解得 1000,299t t为正整数，t的可能取值为1,2,3.验证可知，只有2t 符合，此时 167,334.xy 故所求的六位数为167334.3(B).若质数p、q满足：340,111,qppq则pq的最大值为 .【答案】1007.【解析】由340qp得，34,pq2224(34)343,33pqqqqqq 精品 因q为质数，故pq的值随着质数q的增大而增大，当且仅当q取得最大值时，pq取得最大值.又111pq，34111,qq3284q，因q为质数，故q的可能取值为
17、23,19,17,13,11,7,5,3,2，但23q 时，34655 13pq 不是质数，舍去.当19q 时,3453pq恰为质数.故maxmax19,()53 191007qpq.4(A).将 5 个 1、5 个 2、5 个 3、5 个 4、5 个 5 共 25 个数填入一个 5 行 5 列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 2.考虑每列中各数之和，设这 5个和的最小值为M,则M的最大值为 .【答案】10.【解析】(依据 5 个 1 分布的列数的不同情形进行讨论,确定M的最大值.(1)若 5 个 1 分布在同一列，则5M；(2)若 5 个 1 分布在两列中，
18、则由题意知这两列中出现的最大数至多为 3，故 25 1 5 320M ,故10M;(3)若 5 个 1 分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为 3，故 35 1 5 25 330M ,故10M;(4)若 5 个 1 分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于 3，这与已知矛盾.综上所述，10.M 另一方面，如下表的例子说明M可以取到 10.故M的最大值为10.第二试 (3 月 20 日上午 9:50 11:20)一、（本题满分 20 分）已知,a b为正整数，求22324Maabb能取到的最小正整数值.【解析】解：因,a b为正整数，要使得22324Maabb的值为正整数，则有
19、2a.1 1 1 4 5 1 1 2 4 5 2 2 2 4 5 3 3 2 4 5 3 3 3 4 5 精品 当2a 时，b只能为 1，此时4.M 故M能取到的最小正整数值不超过 4.当3a 时，b只能为 1 或 2.若1,18bM;若2b，则7M.当4a 时，b只能为 1 或 2 或 3.若1,38bM;若2,24bM;若3,b 则2M.(下面考虑：22324Maabb的值能否为 1？)（反证法）假设1M，则223241aabb，即22325aabb，2(3)25aabb 因b为正整数，故25b为奇数，从而a为奇数，b为偶数，不妨设21,2ambn，其中,m n均为正整数，则 22222(
20、3)(21)3(21)(2)4(332)3aabmmnmmmnn 即2(3)aab被4除所得余数为 3，而252(2)141bnn 被 4 除所得余数为 1，故式不可能成立，故1M.因此，M能取到的最小正整数值为 2.二、（本题满分 25 分）(A).如图，点C在以AB为直径的O上，CDAB于点D,点E在BD上，,AEAC四边形DEFM是正方形，AM的延长线与O交于点N.证明:FNDE.(第 2(A)题答案图)【证明】：连接BC、.BNAB为O的直径，CDAB于点D 90ACBANBADC ,CABDACACBADC ,ACBADC,ACABADAC2ACAD AB 由四边形DEFM是正方形及
21、CDAB于点D可知:点M在CD上，DEDMEFMF,NABDAMANBADM ,ANBADM 精品 ,ANABADAM,AD ABAM AN2,ACAM AN,AEAC2AEAM AN 以点F为圆心、FE为半径作,F与直线AM交于另一点P,则F与AB切于点E,即AE是F的切线，直线AMP是F的割线，故由切割线定理得2AEAM AP ANAP,即点N与点P重合，点N在F上，FNFEDE.(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)(B).已知：5,abc 22215,abc 33347.abc 求222222()()()aabbbbccccaa的值.【解析】由已知得22221()()52abbcca
22、abcabc 由恒等式3332223()()abcabcabc abcabbcca得，4735(155),abc 1abc 又22()()()5(5)55(1)aabbabc ababbccacc 同理可得22225(4),5(4)bbcca ccaab 原式=35(4)(4)(4)125 64 16()4()abcabcabbccaabc 125 6416 54 5(1)625.【注：恒等式32()()()()()ta tb tctabc tabbcca tabc】三、（本题满分 25 分）(A).已知正实数,x y z满足：1xyyzzx,且 222222(1)(1)(1)(1)(1)(1
23、)4xyyzzxxyyzzx.(3)求111xyyzzx的值.(4)证明:9()()()8()xyyz zxxyz xyyzzx.【解析】（1）解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4xyyzzxxyyzzx，精品 去分母得222222(1)(1)(1(1)(1)(1)4z xyx yzy zxxyz，222222222222()()()3()0,x y zxy zx yzx yzy zxz xyxyzxyzxyz ()()()()0 xyz xyyzzxxyz xyyzzxxyzxyz，()(1)0 xyzxyzxyyzzx，1,10 xyyzzxxyyzzx ，()0,
24、xyzxyzxyzxyz，原式=1.xyzxyz （2）证明：由（1）得计算过程知xyzxyz，又,x y z为正实数,9()()()8()xyyz zxxyz xyyzzx 9()()()8()()xyyz zxxyz xyyzzx 222222()()()6x yzy zxz xyxyz 222()()()0.x yzy zxz xy 9()()()8()xyyz zxxyz xyyzzx.【注：222222()()()2xyyzzxx yxyy zyzz xzxxyz 222222()()()2x yzy zxz xyxyz 222222()()3xyzxyyzzxx yxyy zyzz
25、 xzxxyz 222222()()()3x yzy zxz xyxyz】(B).如图，在等腰ABC中,5,ABACD为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E,EB的延长线与AD的延长线交于点,F 求AD AF的值.（第 3（B）题答案图）【解析】如图，连接,AE ED CF,则,ABACABDACB 精品 点C关于直线AD的对称点为点E,BEDBCFAEDACDACB ,ABDAED,A E B D四点共圆,BEDBAD(同弧所对得圆周角相等)BADBCF,A B F C四点共圆，AFBACBABD ,AFBABD,ABAFADAB 2255.AD AFAB（注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）