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1、精品名师归纳总结2021 年全国中学数学联合竞赛试题及参考答案第一试一、挑选题此题总分值42 分，每题 7 分1.运算 4 32 24124 2BA 21 B1C 2D 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 满意等式m2 m 22m1的全部实数 m 的和为 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A3B4C5D6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知 AB 是圆 O 的直径，C 为圆 O 上一点，CAB15 ， ABC 的平分线交圆 O 于点 D，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 CD3 ，就 AB=AA2B 6C 2 2D
2、3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 不定方程3x27 xy2 x5 y170 的全部正整数角 x,y的组数为 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1B2C3D45 矩形 ABCD的边长 AD=3，AB=2， E为 AB 的中点， F 在线段 BC上，且 BF： FC=1： 2， AF 分别与 DE， DB 交于点 M， N，就 MN=C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 3 5755B1495C2811 5D28可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6.设 n 为正整数，假设不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数，就称n 为“好数
3、”，那么，全部“好数”之和为BA33B34C2021D2021二、填空题此题总分值28 分，每题 7 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 已知实数x, y, z满意 xy4, z1xy2 y9,就 x2 y3z4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 将一个正方体的外表都染成红色，再切割成n 3 n2 个相同的小正方体，假设只有一面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，就n=83.在 ABC 中，A60,C75 , AB10 ，D，E，F 分别在AB，BC，CA 上，就DEF的周长最小值为5
4、64.假如实数x, y, z满意x2y2z2xyyzzx8 ，用 A 表示 xy , yz , zx 的4 6最大值，就 A 的最大值为3其次试 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、此题总分值 20 分已知实数a, b, c, d 满意2a23c22b23d 22adbc6, 求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2b2c2d 2 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设ma 2b2 , nc2d 2 ，就 2m3n2a22b23c23d212.可
5、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2由于 2m3n22m3n24mn224mn ，即 1224mn ，所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mn6 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于mna2b2c2d 2a2 c2b2d 2a2 d 2b2c2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由1 ，2 可得 mn6. 即 a2b2c2d26可编辑资料 -
6、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：符合条件的实数a, b, c, d 存在且不唯独， a2, b1,c6 , d23就是一组。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结33二、此题总分值 25 分已知点 C 在以 AB 为直径的圆 O 上，过点 B、C 作圆 O 的切线，交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于点 P，连 AC，假设 OP9 AC ，求 PB的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2AC解：连 OC，由于 PC， PB 为圆 O 的切线，所以 POC=POB。又由于 OA=O，C 所以 OCA=OAC。又由于 COB= OCA+ OAC，所以
7、 2 POB=2 OAC，所以 POB= OAC，所以 OP AC。又 POB=OAC，所以BACPOB ，所以 ACAB 。OBOP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 OP9 AC ， AB=2r， OB=rr 为圆 O 的半径，代入可求得2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2OP=3r,AC=r.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtPOB 中， 由勾股定理可求得PBOP2OB22 2r 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 PBAC2 2r2 r33 2 。可编辑资料 -
8、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、此题总分值 25 分已知 t 是一元二次方程 x2x10 的一个根， 假设正整数a,b, m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结使得等式atmbtm31m 成立，求 ab 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于 t 是一元二次方程 x2x10 的一个根，明显 t 是无理数，且t21t 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
9、等式 atmbtm31m即 abt2m ab tm231m ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ab 1tm ab tm231m ，即m abab tabm231m0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 a, b, m是正整数， t 是无理数，所以m abab0,于是可得ab31m,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abm231m0,ab31mm2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此，a, b是关于 x 的一元二次方程 x2m31
10、x31mm20 的两个整数根，该方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的判别式2m314 31mm231m315m0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.又由于 a, b是正整数，所以 ab31m0 ，从而可得 0m31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于判别式是一个完全平方数，验证可知，只有5m6 符合要求。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把 m6 代入可得 ab31mm2150.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次试
11、B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一 、 此 题 总 分 值20分 已 知 t21 ， 假 设 正 整 数a,b, m 使 得 等 式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结atmbtm17m 成立，求 ab 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于 t21 ，所以t 232 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等式 atmbtm17m即 abt2m ab tm217m,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ab322m a
12、b21m217m ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整理得m ab2ab23abm abm217m0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是可得ab2 17m ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab17mm2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此，a, b是关于 x 的一元二次方程 x22m17 x17 mm20 1 的两个整数根，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方程 1 的判
13、别式24 m174 17mm24 17m172m0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于a,b, m是正整数，所以 ab2 17m0 ，从而可得 0m172可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于判别式是一个完全平方数，验证可知，只有m8 符合要求，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把 m8 代入得 ab17mm272 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、此题总分值 25 分在 ABC 中， ABAC， O、I 分别是 ABC 的外心和
14、内心，且满意 AB-AC=2OI。求证：1OIBC。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 SAOCS AOB2S AOI 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明 1作 OM BC于 M， IN BC于 N。设 BC=a ， AC=b ， AB=c 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结易求得 CM= 1 a ， CN= 1abc ，所以 MN=CM-CN= 1cb =OI，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222又 MN 恰好是两条平行线OM，IN 之间的垂线段，所以OI 也是两条平行线 OM， IN 之间的垂线段，所以OI MN，所以
15、OI BC。2由 1知 OMNI 是矩形，连接 BI， CI，设 OM=IN= r 即为ABC 的内切圆半径 ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S AOCS AOBS AOIS COIS AICS AIBS AOIS BOI可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 SSSSS2 S1 OIr1 OIr1AC r1 AB r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AOIBOICOIAICAIBAOI2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 SrOI1 b1 c2S.可编辑资料 - - - 欢迎下
16、载精品名师归纳总结AOIAOI22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、 此题总分值25分假设正数a, b, c满足可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2b 2c2a 22bcc2a2b 222caa 2b 2c2232ab，求代数式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b2c2a 22bcc2a 2b2 2caa 2b2 2abc2的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由于a,b,c 具有轮换对
17、称性，不妨设0abc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1假设 cab ，就cab0,cba0 ，从而得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b2c2a2cb 2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2bc11,2bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c2a2b2ca 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ca11,2ca可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222aba
18、ab 2c211,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2abb 2所以c2a 22bc2ab2c22a 2b2 2ca2a 2b 2c2 2ab3 ，与已知条件冲突。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2假设 cab ，就 0cab,0cba ，从而可得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b2c2a22bcc2a2b22caa2b2 2abc2cb 2a2011,2bcca 2b2011,2caab 2c2011,2ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222abaab 2c211,可编辑资料
19、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结2abb 2所以c2a 22bc2ab2c22a 2b2 2ca2a 2b 2c2 2ab3 ，与已知条件冲突。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综合 12可知：肯定有 cab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 2c2a 2c2a2b2a2b 2c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是可得1,1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2bc2ca2ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b2c2a2所以2bcc2a 2b 22caa 2b2c21.2ab可编辑资料 - - - 欢迎下载