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1、1定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律 一、刚体对转轴的角动量一、刚体对转轴的角动量 二、刚体对转轴的角动量定理二、刚体对转轴的角动量定理三、刚体对转轴的角动量守恒定律三、刚体对转轴的角动量守恒定律 四、角动量守恒定律的应用四、角动量守恒定律的应用2 设刚体绕设刚体绕z轴作定轴转动，轴作定轴转动，体元体元 mi到到z轴的距离和速度轴的距离和速度分别是分别是 ri 和和 vi，对，对z轴的角动量轴的角动量 lzi=ri mi vi 由于由于 vi=ri,是是角速度角速度 lzi=ri 2 mi 上式对每个体元都适用上式对每个体元都适用整个刚体对转轴的角动量整个刚体对转轴的角动
2、量 Lz等于转动惯量与角速度的乘积。等于转动惯量与角速度的乘积。一、刚体对转轴的角动量一、刚体对转轴的角动量(Angular momentum)riviOiz mi3二、刚体对转轴的角动量定理二、刚体对转轴的角动量定理将转动定理将转动定理 Mz=Ja a 写成下面的形式写成下面的形式:实验表明实验表明,此式更具普遍性。当物体的转动惯量此式更具普遍性。当物体的转动惯量J不不是常量时此式仍然成立是常量时此式仍然成立由上式得到由上式得到 刚体对转轴的角动量定理刚体对转轴的角动量定理 作定轴转动的刚体对转作定轴转动的刚体对转轴的角动量的时间变化率，等于刚体相对于同一转轴轴的角动量的时间变化率，等于刚体
3、相对于同一转轴所受外力的合力矩。所受外力的合力矩。类比类比 4角动量定理角动量定理也也可以写为可以写为 Mzd t 为为冲量矩冲量矩,等于力矩与力矩作用于刚体的时间的乘等于力矩与力矩作用于刚体的时间的乘积积 可见，可见，作定轴转动的刚体所受冲量矩等于刚体作定轴转动的刚体所受冲量矩等于刚体对同一转轴的角动量的增量对同一转轴的角动量的增量若力矩作用时间从若力矩作用时间从 t 1到到 t 2，使刚体的加速度从，使刚体的加速度从1变到变到2，对上式积分得到角动量定理的，对上式积分得到角动量定理的积分形式积分形式 5 刚体对转轴的角动量守恒定律刚体对转轴的角动量守恒定律 当定轴转动的刚当定轴转动的刚体所
4、受外力对转轴的合力矩为零时体所受外力对转轴的合力矩为零时,刚体对同一转刚体对同一转轴的角动量不随时间变化。轴的角动量不随时间变化。刚体对转轴的角动量保持恒定，有两种情形：刚体对转轴的角动量保持恒定，有两种情形：一一.转动惯量转动惯量 和角速度和角速度 的大小均保持不变；的大小均保持不变；二二.转动惯量改变转动惯量改变,角速度的大小也同时改变，但两者的角速度的大小也同时改变，但两者的乘积乘积 保持不变。保持不变。或或 恒量恒量 在定轴转动中在定轴转动中,如果合力矩如果合力矩 Mz=0,则则 三、刚体对转轴的角动量守恒定律三、刚体对转轴的角动量守恒定律 由角动量定理由角动量定理 可知可知 例如例如
5、T5-10.exe6 人手持哑铃在转椅上以一定速度转动，根据对转轴的角人手持哑铃在转椅上以一定速度转动，根据对转轴的角动量守恒定律动量守恒定律Lz=J，双臂伸开时，双臂伸开时,J大，转动角速度大，转动角速度小，小，双臂收拢时，双臂收拢时，J小，转动角速度明显增大。小，转动角速度明显增大。四四.角动量守恒定律的应用角动量守恒定律的应用 1 271 2例例 1:人与转盘的转动惯量人与转盘的转动惯量J0=60kgm2,伸臂时臂伸臂时臂长为长为l1=1m，收臂时臂长为，收臂时臂长为 l2=0.2m。人站在自。人站在自由转动的圆盘中心上，每只手抓有质量由转动的圆盘中心上，每只手抓有质量 m=5kg的的哑
6、铃。伸臂时转动角速度哑铃。伸臂时转动角速度 1=3 s-1,求收臂时的角求收臂时的角速度速度 2 解：解：整个过程合外力矩为整个过程合外力矩为0，角动量守恒，角动量守恒，转动惯量减小，转动惯量减小，角速度增加。角速度增加。8 花样滑冰运动员的花样滑冰运动员的“旋转旋转”动作，当运动员旋转时伸臂动作，当运动员旋转时伸臂时转动惯量较大，转速较慢；收臂时转动惯量减小，转速时转动惯量较大，转速较慢；收臂时转动惯量减小，转速加快。加快。9例例4 回转仪高速旋转时，回转仪高速旋转时，不受任何外力矩的作用不受任何外力矩的作用（轴承及空气阻力矩均可（轴承及空气阻力矩均可忽略），角动量守恒。角忽略），角动量守恒
7、。角动量方向守恒表现为转轴动量方向守恒表现为转轴L方向不变，回转仪无论怎方向不变，回转仪无论怎样摆放，样摆放，L方向始终不变。方向始终不变。利用这一性质，将回转仪利用这一性质，将回转仪安装在飞机、导弹或舰船安装在飞机、导弹或舰船中，以回转仪自转轴线为中，以回转仪自转轴线为标准，可以随时指导方位，标准，可以随时指导方位，以便自动调整，成为自动以便自动调整，成为自动驾驶仪的重要组成部分。驾驶仪的重要组成部分。gyroscope10 例例2:一根长为一根长为l、质量为、质量为m的均匀细直棒，一端有一固定的的均匀细直棒，一端有一固定的光滑水平轴，可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位光滑水平轴，可以
8、在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求由此下摆置，求由此下摆 角时的角加速度和角速度。角时的角加速度和角速度。解解:棒下摆为加速过程，外力棒下摆为加速过程，外力矩为重力对矩为重力对O的力矩。的力矩。重力作重力作用在棒的重心用在棒的重心 ,当棒处在下摆当棒处在下摆 角时角时，重力矩为：重力矩为：xO）mg因为棒绕轴因为棒绕轴O的转动惯量为：的转动惯量为：棒处于棒处于角时的角加速度为：角时的角加速度为：随随 角变化，角变化，非匀加速转动非匀加速转动 求求 需要积分需要积分 l 11作如下变换作如下变换将上式两边积分将上式两边积分角速度为角速度为由角加速度的定义由角加速度的定义xO）mg l 12解二解二：整个过程只有保守力作功机械能守恒：整个过程只有保守力作功机械能守恒x O ）mg设设O点为重力势能零点，点为重力势能零点，此时，此时，系统总机械能系统总机械能 下落至下落至 时系统机械能时系统机械能