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1、七年级数学下期期末复习提纲第六章 一元一次方程一、基本概念（一）方程的变形法则法则1：方程两边都 或 同一个数或同一个 ，方程的解不变。例如：在方程7-3x=4左右两边都减去7，得到新方程：-3x+3=4-7。在方程6x=-2x-6左右两边都加上4x，得到新方程：8x=-6。移项：将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移动到另一边，这样的变形叫做移项，注意移项要变号。例如：(1)将方程x57移项得：x7+5 即 x12(2)将方程4x3x4移项得：4x3x4即 x4 法则2：方程两边都除以或 同一个 的数，方程的解不变。例如： (1)将方程5x2两边都除以-5得：x=-(2)将方程x两边都乘
2、以得：x=这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。 注意：（1）如遇未知数的系数为整数，“系数化为1”时，就要除以这个整数；如遇到未知数的系数为分数，“系数化为1”时，就要乘以这个分数的倒数。（2）不论上一乘以或除以数时，都要注意结果的符号。 方程的解的概念：能够使方程左右两边都相等的未知数的值，叫做方程的解。求不方程的解的过程，叫做解方程。（二）一元一次方程的概念及其解法1定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是 ，未知数的次数是 ，这样的方程叫做一元一次方程。例如：方程7-3x=4、6x=-2x-6都是一元一次方程。而这些方程5x23x+10、2x+yl3y、5就不是一元一次方
3、程。2一元一次方程的一般式为：ax+b=0（其中a、b为常数，且a0）一元一次方程的一般式为：ax=b（其中a、b为常数，且a0）3解一元一次方程的一般步骤步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。注意：（1）方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。（2）“去分母”指去掉方程两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉分母后，注意添括号。去分母时，不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数（即公分母）（三）一元一次方程的应用1纯数学上的应用：（1）一元一次方程定义的应用；（2）方程解的
4、概念的应用；（3）代数中的应用；（4）公式变形等。2实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）面积问题等。3探索性应用：这类问题及上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。二、练习 1下列各式哪些是一元一次方程。 (1) +1=3x4 (2) = (3)x=o (4) 一2x=0 (5)3x一y=l十2y (1)、(2)、(3)都是一元一次方程，(4)、(5)不是一元一次方程) 2解下列方程。(1)(x一3)2一(x一3) (2) (x一3)=1x 注意认真审题，方程的结构特点。选用简便方法。第(1)小题，可
5、以先去括号，也可以先去分母，还可以把x一3看成一个整体，解关于x一3的方程。方法：去括号，得 x=2x+ 移项，得 x+x=2 合并同类项，得 x=5 方法二：去分母，得 x一34一x+3 (强调等号右边的“2”也要乘以2，而且不要弄错符号) 移项，得 x+x4+3十3 合并同类项，得 2x10 系数化为1，得 x=5 方法三：移项 (x一3)+(x一3)2 即 x一3= 2 x5第(2)小题有双重括号，一般情况是先去小括号，再去中括号，但本题结构特殊，应先去中括号简便，注意去中括号时，要把小括号看作一个整体，中括号里先看成2项。 解：去中括号，得(x一3)一1一x 即 x一3一1一x 移项，
6、得 x+x1+3+ 合并同类项，得x 系数化为1，得 x= 也可以让学生先去小括号，让他们对两种解法进行比较。 3解方程。 (l) =l+ (2)x=+l 解：(1)去分母，得 3x一(5x十11)6+2(2x一4) 去括号，得 315x116+4x一8 移项，得 3x一5x4x68十1l 合并同类项，得 一6x9 系数化为l，得 x一 点拨：去分母时注意事项，右边的“1”别忘了乘以6，分数线有两层含义，去掉分数线时，要添上括号。 (2)先利用分数的基本性质，将分母化为整数。 原方程化为 一xx十l 去分母，得 2(105x)一4x90x+6 去括号，得 20一l0x一4x=90x+6 移项，
7、得 一l0x一4x一90x620 合并同类项，得 一104x=一14 系数化为1，得 x 点拨：“将分母化为整数”及“去分母”的区别。本题去分母之前，也可以先将方程右边的约分后再去分母。4解方程。 (1)5x一23 (2)=1 分析：(1)把5x一2看作一个数a，那么方程可看作a3，根据绝对值的意义得a3或a一3 (2)把看作一个数，或把化成 解：(1)根据绝对值的意义，原方程化为： 5x一23 或5x一2一3 解方程 5x一23 得 x=l 解方程 5x一2=一3 得 x= 所以原方程解为：x1或x (2)根据绝对值的意义，原方程可化为 =1或 =1 解方程=1 得x=一1 解方程1 得x2
8、 所以原方程的解为x一1或x=2 5已知，a一3+(b十1)2 =o，代数式的值比b一a十m多1，求m的值。 解：因为a一30 (b+1)20 又a一3+(b十1)2 =0 a一30 且(b+1)2 =0 a3=0 b十l=0 即a3 b= 1 把a=3，b=一1分别代人代数式 , ba+m 得= (一1)一3+m=一3+m 根据题意，得 一(3十m)l 去括号 得 +3一m1 即 一ml -十l1 -=0 m06m为何值时，关于x的方程4x一2m3x+1的解是x2x一 3m的2倍。 解：关于；的方程4x一2m3x+1，得x2m+1 解关于x的方程 x2x一3m 得x3m 根据题意，得 2m+
9、l=23m 解之，得 m7为了准备小勇6年后上大学的学费5000元，他的父母现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式。 (1)直接存一个6年期，年利率是2.88； (2)先存一个3年期的，3年后将本利和自动转存一个3年期。3年期的年利率是2.7。 你认为哪种储蓄方式开始存人的本金比较少? 分析：要解决“哪种储蓄方式开始存入的本金较少”，只要分别求出这两种储蓄方式开始存人多少元，然后再比较。 设开始存入x元。 如果按照第一种储蓄方式，那么列方程： x(1十2.886)5000 解得 x4263(元) 如果按照第二种蓄储方式， 可鼓励学生自己填上表，适当时对学生加以引导，对有困难的学生复习：本利和
10、本金十利息 利息：本金X利率X期数 等量关系是：第二个3午后本利和5000 所以列方程 1.081x(1十2.73)5000 解得 x4279 这就是说，大约4280元，3年期满后将本利和再存一个3年期，6年后本利和达到5000元。因此第一种储蓄方式”、“”不仅表示左右两边不等关系，还明确表示左右两边的大小；“”、“”也表示不等，前者表示“不大于”(小于或等于)，后者表示“不小于”(大于或等于)， “”表示左右两边不相等 例如：方程7y-3x4、-3a+34-7a、2m+3n0等都是不等式。而-2y-6、4x+8y=-6z等都不是不等式。2不等式解的定义：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式
11、的解。例如：不等式1205x中x25，26，27，等都是1200，那么acbc，a/cb/c不等式的基本性3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的 。即：如果ab，c0，那么acbc，a/cb/c（二）解一元一次不等式1一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，像这样的不等式叫做一元一次不等式。例如：方程7-3x4、6x-2x-6、3x-2x+150都是一元一次不等式。而这些方程5x23x+10、2x+yl3y、5就不是一元一次不等式。2一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。
12、注意：（1）不等式中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。（2）“去分母”指去掉不等式两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉分母后，注意添括号。去分母时，不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数（即公分母）。不等式的解法及解一元一次方程类似，完全可以把解一元一次方程的思想照搬过来。（三）一元一次不等式组1一元一次不等式组的定义：几个一元一次不等式合起来就组成一元一次不等式组及二元一次方程组不同的是，这里的“几个”可以两个，也可以三个，或更多个。2一元一次不等式组的解集：不等式组中几个不等式的解集的公
13、共部分，叫做这个不等式组的解集。3一元一次不等式组的解集的确定规律同“大”取大，同“小”取小，“大”小“小”大中间找，“大”大“小”小无解了4一元一次不等式组的解法求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。一般步骤：（1）分别解不等式组中的每个不等式；（2）把每个不等式组的解集在数轴上表示出来；（3）找出各个不等式解集的公共部分；（4）再结合不等式组解集的确定规律，写出不等式组的解集。（四）一元一次不等式（组）的应用1纯数学上的应用：（1）一元一次不等式定义的应用；（2）不等式解集的概念的应用；（3）代数中的应用；2实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题
14、；（5）决策问题等。3探索性应用：这类问题及上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。二、练习（一）选择题： 1、若ab则（ ）2、D A、a2b2 B、2ab+52、不等式x3的解集是（ ）3、A A、x6 B、x C、x D、x63、下列结论中，正确的是（ ）4、A A、x0的解集是x0 B、的解集是x C、3x D、的解集是x04、若代数式3x+4的值不大于0，则x的取值范围是（ ）6、B2x5 x4 A、 B、 C、 D、5、不等组 的整数解是（ ）7、C A、4 B、2、3、4 C、3、4 D、46、如果不等式（a1）x（a1）的解集是x1 C
15、、a1 D、a5 。2、不等式2x10的解集是 12、x1/2 ； 不等式2x-5 。3、x12的正整数解是 13、1, 2 。4、在2（x+2）1的依据是 不等性质3 。5、由xay，a应满足的条件是 15、a8x+3.1、解： 5x18x+3. 5x-8x1+3 -3x4 x0，即 5-3x0 -3x-5 x-12 2x-2-3x-12-12 -x2 x-2 4、 5x+43(x+1)4、 解：不等式 5x+43x+3 2x-1 x不等式 5x+5x-2 4x-7 x不等式组的解集为：x0x30x605 解：不等式 x-2 不等式 x3 不等式 x6 不等式组的解集为3DAB，ADCABD
16、 B D C 问：ADB()+()2三角形外角的和。三角形的外角及和它相邻内角有什么关系?(互补)（1）三角形外角和的定义：及三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从及每个内角相等的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和。（2）三角形外角和定理：三角形的外角和是360（三）三角形的三边关系1三角形三边不等关系定理：三角形的任何两边的和大于第三边。三角形的任何两边的差小于第三边。即三角形第三边的取值范围是：|任何两边的差|第三边任何两边的和以上定理主要用语判断给出一定长度的线段能否构成三角形和求第三边的取值范围。2三角形具有稳定性这就是说三角形的三条边固定，那么
17、三角形的形状和大小就完全确定了。三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。四边形就不具有这个性质。（四）多边形的内角和及外角和1多边形及其相关概念定义：由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为n边形，又称多边形。一个n边形有n个内角，有2n个外角。如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条，这(n-3)条对角线把n边形分成（n-2）个三角形。从n边形的所有顶点引对角线的总条数为：条。2多边形的内角和公式n边形的内角和(
18、n-2)1803多边形的外角和。（1）多边形的外角和定义：从及每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和。（2）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360。多边形的外角和及多边形的边数无关。（五）用正多边形拼地板1用相同的正多边形拼地板：能拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个多边形的内角相加恰好等于360。在正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中能够拼出完整地面是 这就是说，当(360 )为正整数时即为正整数时，用这样的正n边形就可以铺满地面。设正多边形的个数为n，每个内角为，则要铺满地面，它们满足下列关系：n=3602用多种正多
19、边形拼地板铺垫满地面的标志：满足围绕一点的这几个正多边形的一个内角的和等于360设正多边形甲的个数为n，每个内角为，正多边形乙的个数为m，每个内角为，则它们满足下列关系：n+m=360二、练习1下列各组中的数分别表示三条线段的长度，试判断以这些线段为边是否能组成三角形。 (1)3，5，2 (2)a，b，a+b (a0，b0) (3)3，4，5 (4)m+1，2m，m+l(m0) (5)a+1，2，a+5(a0) 2如图(1)，BAC90，12，AMBC，ADBE，那么234，你知道这是为什么?3如图(2)，DC平分ABC的外角，及 BA的延长线于D，那么BACB，为什么?4在下列四组线段中，可
20、以组成三角形的是( )1，2，3 4，5，61，, 15，72，90 A1组 B2组 C 3组 D4组5下列四种说法正确的个数是( ) 一个三角形的三个内角中至多有一个钝角 一个三角形的三个内角中至少有2个锐角 一个三角形的三个内角中至少有一个直角 一个三角形的三个外角中至少有两个钝角 A1个 B2个 C3个 D4个6ABC中，三边长为6、7、x，则x的取值范围是( ) A2x12 B1x13 C6x7 D无法确定7等腰三角形两边长分别是5和7，则该三角形周长为( ) A17 B19 C17或19 D无法确定8ABC的三边a、b、c都是正整数，且满足0abc，如果b4，问这样的三角形有多少个?
21、9如图(1)依图填空：（1）在ABC中，BC边上的高是 ( )（2）在AEC中，AE边上的高是 ( )（3）在FEC中，EC边上的高是 ( )（4）ABCD2cm，AE3cm ，则AEC的面积S=( )，CE( ) 分析：在非标准位置的三角形中，运用定义识别直角三角形、钝角三角形的高，利用三角形面积公式SAECAECDCEAB可求得CE。10如图(2)，在ABC中，D是BC上一点，12，34，BAC63，求DAC的数。分析：DAC是DAC的内角，可先求出4或3，4既是ADC的内角，又是ABD的外角，所以可利用三角形内角和及外角性质，可建立4和2(或1)的关系式，进而可求出DAC。11如图(3)，在ABC中，ABC及ACB的平分线相交于0，那么BDC90+ A，你会说明这个结论正确?分析：因为BDC是BDC的内角，所以根据三角形内角和的定理，BDC=180l212已知多边形的一个内角的外角及其它各内角和为600，求边数及相应的外角的度数。分析：根据多边形的内角和公式，已知内角和可求边数,由于内角和中的一个内角换成了一个外角,所以设辅助未知数x,根据其外角小于 180，列方程。第十章轴对