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1、厄米算符本征函数的正交性厄米算符本征函数的正交性定理定理I I：体系任何状态：体系任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数。下，其厄密算符的平均值必为实数。证：逆定理：在任何状态下，平均值均为逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符。实数的算符必为厄密算符。根据假定在任意态下有：根据假定在任意态下有：证：取取=1 1+c+c2 2，其中，其中 1 1 、2 2 也是任意态的波函数，也是任意态的波函数，c c 是任意常数。是任意常数。（一）厄密算符的平均值（一）厄密算符的平均值因因为对任任 意波函数意波函数左式左式=右式右式令令c=1，得：，得：令令c=i，得：，得：二式相加得：二
2、式相加得：二式相减得：二式相减得：所得二式正是厄密算符的定义式，所得二式正是厄密算符的定义式，故逆定理成立。故逆定理成立。实验上的可观测实验上的可观测 量当然要求在任何状态下平均值量当然要求在任何状态下平均值 都是实数，因此相应的算符必须都是实数，因此相应的算符必须 是厄密算符。是厄密算符。所以左右两所以左右两边头两两项相等相消，于是有：相等相消，于是有：（1 1）涨落）涨落因因为是厄密算符是厄密算符必必为实数数因而因而也是厄密算符也是厄密算符厄密算符平方的平均厄密算符平方的平均值一定大于等于零一定大于等于零于是有：于是有：（2 2）力学量的本征方程）力学量的本征方程若体系处于一种特殊状态，若
3、体系处于一种特殊状态，在此状态下测量在此状态下测量F F所得结果所得结果 是唯一确定的，即：是唯一确定的，即：则称这种则称这种 状态为力状态为力 学量学量 F F 的的 本征态。本征态。可把常数可把常数记为Fn，把状，把状态 记为n，于是得：，于是得：其其中中F Fn n,n n 分分别别称称为为算算符符 F F的的本本征征值值和和相相应应的的本本征征态态，上上式式即即是是算算符符F F的的本本征征方方程程。求求解解时时，作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。证明：证明：（二）厄密
4、算符的本征方程（二）厄密算符的本征方程定理定理IIII：厄密算符的本征值必为实。厄密算符的本征值必为实。当当体体系系处处于于 F F 的的本本征征态态n n 时时，则则每每次次测测量量结结果果都都是是 F Fn n。由由 本征方程可以看出，在本征方程可以看出，在n n（设已归一）态下（设已归一）态下证（3 3）量子力学基本假定）量子力学基本假定IIIIII根据定理根据定理 I(I)(I)量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。若力学量是量子力学中特有的若力学量是量子力学中特有的 (如宇称、自旋等），将由如宇称、自旋等），将由量子力学量子力学 本身定义给出。本
5、身定义给出。若力学量在经典力学中有对应的量若力学量在经典力学中有对应的量则在直角坐标系下通过则在直角坐标系下通过如下对应如下对应 方式，改造为量子力学中的力学量算符：方式，改造为量子力学中的力学量算符：(II)(II)测量力学量测量力学量F F时所有可能出现的值，都对应于线性厄密算符时所有可能出现的值，都对应于线性厄密算符 F F的本征值的本征值 F Fn n（即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符（即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符 F F的本征方程给出：的本征方程给出：（1 1）正交性）正交性定理定理III：厄密算符属于不同本征厄密算符属于不同本征值 的本征函数彼此正交的本
6、征函数彼此正交证：设取复共轭，并注意到取复共轭，并注意到 F Fm m 为实。为实。两两边右乘右乘 n 后后积分分二式相二式相减减 得：得：若若mFn，则必有：必有：证毕（2 2）分立）分立谱、连续谱正交正交归一表示式一表示式1.分立分立谱正正 交交归一条一条 件分件分别为：2.连续谱正正 交交归一条一条 件表示件表示为：3.正交正交归一系一系满足上式的函数系足上式的函数系 n 或或 称称为正交正交归一（函数）系。一（函数）系。（三）厄密算符的本征函数的正交性（三）厄密算符的本征函数的正交性定义：定义：如果对于两任意函数如果对于两任意函数 和和 ，算符，算符 满足下列等式满足下列等式则称则称为
7、厄米算符。为厄米算符。（式中（式中x代表所有变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。）代表所有变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。）平均值为实数的算符必为厄米算符。平均值为实数的算符必为厄米算符。厄米算符的本征值必为实数。厄米算符的本征值必为实数。厄米算符的平均值都是实数厄米算符的平均值都是实数性质：性质：对于动量的本征函数归一化为对于动量的本征函数归一化为当当时，时，我们说：属于动量算符不同本征值的两个本征函数我们说：属于动量算符不同本征值的两个本征函数和和相互正交。相互正交。一般地，如果两个函数一般地，如果两个函数和和满足关系式满足关系式 式中积分是对变量变化的全部区域进行的，则称式中
8、积分是对变量变化的全部区域进行的，则称和和相互正交。相互正交。一、定义一、定义属于不同本征值的两个本征函数相互正交式是厄米算符的本征函数所共有的，就是属于不同本征值的两个本征函数相互正交式是厄米算符的本征函数所共有的，就是说，说，厄米算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。厄米算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。设设 是厄米算符是厄米算符的本征函数，它们所属的本征值的本征函数，它们所属的本征值都不相等，证明当都不相等，证明当时有时有证明证明：已知已知 当当时时因为因为是厄米算符，它的本征值都是实数，即是厄米算符，它的本征值都是实数，即共厄复式为共厄复式为 以以右乘两边，并对变量变化
9、的全部区域积分，得右乘两边，并对变量变化的全部区域积分，得以以左乘两边，并对变量变化的全部区域积分，得左乘两边，并对变量变化的全部区域积分，得二、属于不同本征值的情况二、属于不同本征值的情况由厄米算符定义有由厄米算符定义有 则有则有 即即 无论无论的本征值组成分立谱还是连续谱，这个定理及证明都成立。的本征值组成分立谱还是连续谱，这个定理及证明都成立。分立谱：假定本征函数分立谱：假定本征函数已归一化：已归一化：连续谱：本征函数连续谱：本征函数可归一化为可归一化为函数，函数，满足上述两式的函数满足上述两式的函数或或，称为正交归一系称为正交归一系。结论结论如果如果的一个本征值的一个本征值是是f度简并
10、的，有度简并的，有f个本征函数：个本征函数：则上面的证明不能使用，一般说来，这些函数并不一定正交。但可用则上面的证明不能使用，一般说来，这些函数并不一定正交。但可用个常数个常数把这把这f个函数线性组合成个函数线性组合成f个新函数个新函数使得这些新函数使得这些新函数相互正交，显然，相互正交，显然，仍是仍是属于本征值属于本征值的本征函数：的本征函数：三、属于相同本征值，即简并情况三、属于相同本征值，即简并情况例子例子1.线性谐征子的能量本征函数：线性谐征子的能量本征函数：组成正交归一系组成正交归一系2.角动量算符角动量算符的本征函数的本征函数组成正交归一系组成正交归一系 3.与与的共同本征函数组成正交归一系的共同本征函数组成正交归一系4.氢原子的波函数：氢原子的波函数：组成正交归一系组成正交归一系