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1、2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系1.能根据给定直线与圆的方程,判定直线与圆的位置关系.2.利用圆的几何性质探索解决直线与圆的位置关系相关问题的方法.3.能用直线与圆的方程解决一些简单数学问题与实际问题.设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),直线l:Ax+By+C=0,圆心C(a,b)到直线l的距离d=,由消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为.位置关系相交相切相离公共点个数210几何法dr代数法0=00)的交点为A、B,d为圆心C(a,b)到直线l的距离,则弦长|AB|=2.()提示:设线段AB的中点为D,则|CD|=d,在直角三
2、角形ACD中,|AD|2=|AC|2-|CD|2,从而|AB|=2|AD|=2.因此结论正确.直线与圆的位置关系的判定1.直线与圆的位置关系有三种直线与圆的位置关系有三种:相交、相切、相离.主要区别是直线与圆的公共点的个数.2.直线与圆的位置关系的判断方法直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系进行判断.(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.已知圆x2+y2=1与直线y=kx-3k,当k分别为何值时,
3、直线与圆的位置关系满足下列条件:相交;相切;相离.解析解析解法一(代数法):联立消去y,整理得(k2+1)x2-6k2x+9k2-1=0,则=(-6k2)2-4(k2+1)(9k2-1)=-32k2+4=4(1-8k2).当直线与圆相交时,0,即-k;当直线与圆相切时,=0,即k=;当直线与圆相离时,0,即k.解法二(几何法):圆心(0,0)到直线y=kx-3k的距离d=.由题意知,圆的半径r=1.当直线与圆相交时,dr,即1,解得-kr,即1,解得k.圆的切线相关问题的解法过点过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法的圆的切线方程的求法(1)若点P在圆上,求点P与圆心连线的斜率,若斜率存在且
4、不为0,记为k,则切线斜率为-;若斜率为0,则切线斜率不存在;若斜率不存在,则切线斜率为0.(2)若点P在圆外,设切线斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径r,解出k即可(若仅求出一个k值,则有一条斜率不存在的切线).切线长的求法切线长的求法过圆外一点P,可作圆的两条切线,我们把点P与切点之间的线段的长称为切线长.切线长可由勾股定理来计算.如图,从圆外一点P(x0,y0)作圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的切线,则切线长为.过圆上一点的切线仅有一条过圆上一点的切线仅有一条,可熟记下列结论可熟记下列结论(1)若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r0)上,则过点P的切
5、线方程为x0 x+y0y=r2;(2)若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)上,则过点P的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2;(3)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)上,则过点P的切线方程为x0 x+y0y+D+E+F=0.(1)由直线y=x+1上任一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则该切线长的最小值为()A.1B.2C.D.3(2)过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,则其切线长为.解析解析(1)由题意得,圆心(3,0)到直线y=x+1的距离d=2,圆的半径为1,故切
6、线长的最小值为=.(2)由题意得圆心C的坐标为(3,1).设切点为B,则ABC为直角三角形,又|AC|=,|BC|=1,所以|AB|=4,所以切线长为4.答案答案(1)C(2)4直线与圆相交的弦长及圆的中点弦问题求圆的弦长的方法求圆的弦长的方法(1)交点法:若直线与圆的交点坐标容易求出,则直接利用两点间的距离公式求解.(2)弦长公式:设直线l:y=kx+b与圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长公式:|AB|=|x1-x2|=.(3)几何法:如图,半径r、圆心到弦的距离d、弦长l三者之间的关系为r2=d2+,即弦长l=2
7、.图圆的中点弦问题圆的中点弦问题(1)如讲解1中的图,线段AB是圆C的弦,D是弦AB的中点,则在解题中可应用以下性质:ABCD,如果斜率kAB,kCD都存在,则kABkCD=-1;设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),则x0=,y0=.(2)解决与中点弦有关的问题,有下列三种常见方法:利用根与系数的关系求出中点坐标;设出弦的两个端点的坐标,代入圆的方程利用作差法求出斜率,此法即为点差法;利用圆本身的几何性质,即圆心与非直径的弦中点的连线与弦垂直.利用直线、圆的方程解决实际问题与平面几何问题解决实际问题的一般步骤解决实际问题的一般步骤(1)阅读理解,认真审题,了解问题的实际情境
8、,把握问题的数学本质.(2)引进数学符号,具体分析问题中的数量关系,正确建立数学模型,将实际问题转化为数学问题.(3)利用数学方法将得到的数学问题(数学模型)予以解答,求得结果.(4)转化为具体问题,做出解答.用坐标法解决平面几何问题的思维过程用坐标法解决平面几何问题的思维过程已知某隧道截面是一圆拱形,路面宽为4米,高为4米.车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.5米、高为3.5米的货车能否驶入这个隧道?请说明理由.(参考数据:3.74)解析解析该货车不能驶入这个隧道.理由如下:建立如图所示的平面直角坐标系.A(-2,0),B(0,4),设圆心M(0,m),由|MA|=|MB|,得m=-,所以|MA|=|MB|=,所以圆的方程为x2+=,所以当x=2.5时,y=-3.74-0.5=3.240)上,则设(为参数),代入目标函数,利用三角函数知识求最大(小)值.