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1、人教人教2019 A版版 选择性必修选择性必修 一一2.5.1直线与圆的位置关系 第二章直线和圆的方程学习目标1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.(逻辑推理)2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.(数学建模)“海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊。在海天交于一线的天际,一轮明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着迷人的风采.这个过程中,月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离.情景导学问题思考 在平面几何中，我们研究过直线与圆
2、这两类图形的位置关系，前面我们学习了直线的方程，圆的方程，已经用方程研究两条直线的位置关系，下面我们未必用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的位置关系。直线与圆的位置关系的判断方法直线与圆的位置关系的判断方法直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的位置关系及判断探究新知点睛：几何法更为简洁和常用.1.直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是()A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交答案:A 小试牛刀例1 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,
3、直线与圆(1)有两个公共点;(2)只有一个公共点;(3)没有公共点?思路分析:可联立方程组,由方程组解的个数判断,也可求出圆心到直线的距离,通过与半径比较大小判断.典例解析解:(方法1)将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程,化简、整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.直线与圆的位置关系的判断方法直线与圆的位置关系反映在三个方面:一是点到直线的距离与半径大小的关系;二是直线与圆的公共点的个数;三是两方程组成的方程组解的个数.因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条
4、件作出恰当的选择.归纳总结例2 过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.思路分析:利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率,进而求出切线方程.解:因为(4-3)2+(-3-1)2=171,所以点A在圆外.(1)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k,则切线方程为y+3=k(x-4).因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为1,典例解析(2)若直线斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.变式探究 过点Q(3,0)作圆x2+y2=4的切
5、线,求此切线方程.切线方程的求法切线方程的求法1.求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为-,由点斜式方程可求得切线方程.若k=0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y=b或x=a.2.求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而切线方程即可求出.但要注意,此时的切线有两条,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可通过数形结合求出.归纳总结例3 求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-
6、4=0截得的弦长.思路分析:解法一求出直线与圆的交点坐标,解法二利用弦长公式,解法三利用几何法作出直角三角形,三种解法都可求得弦长.典例解析 求直线与圆相交时弦长的两种方法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法:如图,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半归纳总结跟踪训练1 已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点,且与直线x+y-2=0垂直.(1)求直线l的方程;(2)若圆C的圆心为点(3,0),直线l被该圆所截得的弦长为2 ,求圆C的标准方程.跟踪训练两直线交点为(2,1).设直线l的斜率为k1,l与x+y-2=0垂直,k1=1,l过点(2,1),l的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0;典例解析1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是()A.过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心答案:D 当堂检测2.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值是()答案:B 3.经过点M(2,1)作圆x2+y2=5的切线,则切线的方程为.答案:2x+y-5=0 4.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.课堂小结人教人教B版必修第三册版必修第三册