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1、|1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5个小题,每小题 3分,满分 15分,把答案填在题中横线上.)(1) 设函数 由方程 确定,则 _.()yxcos()0xyedyx(2) 函数 在点 处的梯度 _.22lnuz1,2MMgrau(3) 设 则其以 为周期的傅里叶级数在点 处收敛于21, xfe31(2)fxd四、(本题满分 6分.)求微分方程 的通解.32xye五、(本题满分 8分)计算曲面积分 ,其中 为上半球323232()()()xazdyaxdzaydx 面 的上侧.22zay六、(本题满分 7分)设 , ,证明对任何 ,有 .(0fx(f120,x
2、1212()()fxfxf七、(本题满分 8分)在变力 的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面Fyzxijk上第一卦限的点 ,问当 取何值时,力 所做的功 最221xabc()MFW大?并求出 的最大值.W八、(本题满分 7分)设向量组 线性相关,向量组 线性无关,问：123、 、 234、 、|(1) 能否由 线性表出？证明你的结论.123、(2) 能否由 线性表出？证明你的结论.41、 、九、(本题满分 7分)设 3阶矩阵 的特征值为 ,对应的特征向量依次为A123,又向量 ,1231,49123(1) 将 用 线性表出.123,(2) 求 ( 为自然数).nA十、填空题(本题满分 6分,
3、每小题 3分.)(1) 已知 , , ,则事件 、1()()4PBC()0PAB1()()6CPBA、B全不发生的概率为_.C(2) 设随机变量 服从参数为 1的指数分布,则数学期望 _.X2()XEe十一、(本题满分 6分)设随机变量 与 独立, 服从正态分布 , 服从 上的均匀分布,试Y2()NY求 的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数 表示,其中ZX (x).21()txed|1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共 5个小题,每小题 3分,满分 15分.)(1)【答案】 sin()xye【解析】函数 是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析
4、式.()方程两边对 求导,将 看做 的函数,得 .解出 ,即xyx(1)sin()0xyexyy.i()xyd【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果 在点 可导,而 在点 可导,则复合函数()ugx()f()ug在点 可导,且其导数为yf或 .()dyfugxxdyux2.两函数乘积的求导公式：.()()()fffg (2)【答案】 21,9【解析】对函数 求各个分量的偏导数,有u； ； .22xyz22uyxz22uzxy由函数的梯度(向量)的定义,有,221, ,ugradxyzxyzxyz所以 .221,4,()9Mu【相关知识点】复合函数求导法则：如果 在点 可导,而 在点 可导,则
5、复合函数()gx()yfx()ugx在点 可导,且其导数为yf或 .()dfugxxdyux|(3)【答案】 21【解析】 是 区间的端点,由收敛性定理狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在x处收敛于.22111(0)()2ff【相关知识点】收敛性定理狄利克雷充分条件：函数 在区间 上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；() 只有有()fx,l限个极值点.则 在 上的傅里叶级数收敛,而且01(cossin)2naxbxll (), (,)(0),21()(, .f lfxxxflfll若 为 的 连 续 点若 为 的 第 一 类 间 断 点 ,若(4)【答案】 为任意常数cos,yxCx【
6、解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于 ,方程两边同乘tan1|cos|xde,得1cosx.11coscosyyxCx积 分故通解为 为任意常数.cos,yxC(5)【答案】1【解析】因为矩阵 中任何两行都成比例(第 行与第 行的比为 ),所以 中的二阶AijijaA子式全为 0,又因 ,知道 , 中有一阶子式非零.故 .0,iiab10abA()1r【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在 阶子式不为零,而所有的 阶子式全r为零时,则此矩阵的秩为 .r|二、选择题(本题共 5个小题,每小题 3分,满分 15分.)(1)【答案】(D)【解析】对于函数在给定点 的极限是否存在需要判定左
7、极限 和右极限0x 0x是否存在且相等,若相等,则函数在点 的极限是存在的.0x0x, ,1121limli()xxxee1121limli()xxxee,故当 时函数没有极限,也不是 .故应选(D).0(2)【答案】(C)【解析】对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小 ,21cos()n:,2(1)cos)1cs()n n:又因为 级数： 当 时收敛；当 时发散.p1pnp所以有 收敛.21n收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C).1()cos)n注：对于正项级数 ,确定无穷小 关于 的阶(即与 级数作比较)是判断它的敛散1nana1p性的一个常用方法.该题用的就是这个方法.(3)【答案】
8、B【解析】先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为 0得切点对应的 值.t求曲线上的点,使该点处的切向量 与平面 的法向量 垂直,24xyz12n即可以让切线与平面平行.曲线在任意点处的切向量 , ,即2(),()1,3tztt0,解得 .(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)3140t1,3t因此,只有两条这种切线,应选(B).|(4)【答案】(C)【解析】因 处处任意阶可导,只需考查 ,它是分段函数, 是连接点.3x2|()x:0x所以,写成分段函数的形式,有 3,0() x对分段函数在对应区间上求微分, 23,() 0x再考查 在连接点 处的导数是否存在,需要根据左导
9、数和右导数的定义进行讨论.()x0, ,3()x 30()()0x即 2, 0.x同理可得 ,即 .6,() x()06,0()| xx对于 有yx01,.y所以 在 不可导, 不存在,应选(C).(0)(5)【答案】(A)【解析】 , 向量对应的分量不成比例,所以 , 是 两个线性无关的解,故12 120Ax.由 知 .()nrA3n()1rA再看(A)选项秩为 1；(B)和(C)选项秩为 2；而(D)选项秩为 3.故本题选(A).【相关知识点】对齐次线性方程组 ,有定理如下:0x对矩阵 按列分块,有 ,则 的向量形式为12n, 0Axn.那么, 有非零解 线性相关0Ax12n,r, rAn
10、.三、(本题共 3小题,每小题 5分,满分 15分.)|(1)【解析】由等价无穷小有 时, ,0x2211()xx:原式= ,2002sinsinlimlxxee上式为“ ”型的极限未定式,又分子分母在点 处导数都存在,所以连续应用两次洛必达0法则,有 原式 .00cossinlimli1xxee洛 必 达 洛 必 达 01(2)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的.由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求 ,再求 .zx()zyx由复合函数求导法则得,21 12(sin)()sinx xzfeyfxyfeyfx212ixffy
11、1121212(cos)sincos(cos)xxxxfeyfeyfyfeyfx .2 1in(i)4cosf ey 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数 都在点 具(,(,)uxyv(,)x有对 及对 的偏导数,函数 在对应点 具有连续偏导数,则复合函数xy(,)zfuv)在点 的两个偏导数存在,且有()()zfxy；12zzuvffuxvx.12ffyyy(3)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.令 ,则 当 时, ；当 时, ,于是2xt.dxtt3x1t310121 10()()tffde分
12、段 0137.3te|四、(本题满分 6分.)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,所对应的齐次方程的特征方程有两个根为 ,而非齐次项 为单23(1)30rr1,r232,3xer特征根,因而非齐次方程有如下形式的特解 ,代入方程可得 ,故所求通xYae 14a解为 ,其中 为常数.33124xxxyCee12,C【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设 是二阶线性非齐次方程*()yx的一个特解. 是与之对应的齐次方程()()yPxQyfx()Y的通解,则 是非齐次方程的通解.0 *yx2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方
13、程法求解：即 中的 、 均是常数,方()Yx()()0PQy()PxQ程变为 .其特征方程写为 ,在复数域内解出两个特征根0ypq2rpq；12,r分三种情况：(1) 两个不相等的实数根 ,则通解为12r12;rxrxyCe(2) 两个相等的实数根 ,则通解为112r(3) 一对共轭复根 ,则通解为 其中1,2ri12cosin.xyeCx为常数.12,C3.对于求解二阶线性非齐次方程 的一个特解 ,可用待定()()yPxQyfx*()yx系数法,有结论如下：如果 则二阶常系数线性非齐次方程具有形如(),xmfxPe *()()kxmQe的特解,其中 是与 相同次数的多项式,而 按 不是特征方
14、程的根、是特征方Q()k程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2.如果 ,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()cos()sinxlfexPx的特解可设为ypqyf,*(1)(2)cossinkxmmeRxx |其中 与 是 次多项式, ,而 按 (或 )不是特征(1)mRx(2) maxlnkii方程的根、或是特征方程的单根依次取为 或 .01五、(本题满分 8分)【解析】将原式表成 ,则 .IPdyzQxRdy 223()PQRxyzxyz以考虑用高斯公式来求解,但曲面 不是封闭的,要添加辅助面.如果本题采用投影法计算是比较复杂的,故不采用.添加辅助面 ,法向量朝下, 与 围成区域
15、 , 与 取 的外22:0()SzxyaSS法向量.在 上用高斯公式得 .32323222()()()3()SIxaddzxaydxyzdV 用球坐标变换求右端的三重积分得 222 2003()3sinaxyzdVd.45520016i3aa注意 垂直于平面 与平面 ,将积分投影到 平面上,所以左端 上的曲面SyOzxzxOyS积分为 SPdQRd220(,0)xySSDxyayd(极坐标变换)220sinadrdr.423 500iaa因此 .55694I【相关知识点】1.高斯公式：设空间闭区域 是由分片光滑的闭曲面 所围成,函数、 、 在 上具有一阶连续偏导数,则有(,)Pxyz(,)Qxyz(,)Rxyz,dvPzQdxRy: