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1、概率论及数理统计复习资料一、考试说明考试形式和试卷结构 考试形式：当堂开卷试卷内容比例：概率论部分约占 72% 数理统计部分约占28题型比例：选择题约占24%，填空题约占24，解答题约占52%说明:在下列的复习题中，包括试题中题目分数约为70分，包括了所有试题题型，由于考试形式为开卷，所以请同学们认真做一下下面的复习题，这样至少保证通过考试，在确保通过考试的基础上，请同学们认真复习，取得满意的成绩。二、复习题(一) 单项选择题1、A、B、C表示事件，下列三个有关事件的关系式中，正确的有（ ）（1）()() （2） = （3）A、0个； B、1个； C、2个； D、3个知识点答案等可能概型c2、
2、掷2颗骰子，设点数之和为3的事件的概率为，则（ ）（A）; (B) ;(C) ; (D) .知识点答案等可能概型c3、一部文集，按顺序排放在书架的同层上，则各卷自左到右或自右到左卷号恰好为1、2、 3、4顺序的概率等于（ ）知识点答案等可能概型b4、某次国际会议共有1000人参加，其中有400人来自天津，350人来自北京，250人来自国外。已知有100人将在会议发言，则恰好有40个发言者是天津人的概率为（ ）A、 B、 C、 D、知识点答案超几何概型b5、已知两事件满足，若，则（ ）A. B. C. D. 知识点答案随机事件概率a6、已知甲乙两人射击的命中率分别为0.8和0.9，现让他们各自独
3、立地对同一目标各射一次，求目标被命中的概率为（ ）。A、0.72； B、0.84； C、0.93； D、0.98 知识点答案条件概率d7、袋中有三张彩票，其中只有一张是可以中奖的。甲、乙、丙三个人一次从袋中取出一张彩票，则（ ）A、甲中奖的概率最大 B乙中奖的概率最大 C、丙中奖的概率最大 D、三个人中奖的概率相同知识点答案条件概率及全概率公式D8、设某批产品中甲、乙、丙三个厂家的产量分别占45%，35%，20%，各厂产品中次品率分别为4%、2%和5%. 现从中任取一件，取到的恰好是次品的概率为（ ）. A0.035B0.038C0.076D0.045知识点答案全概公式a9、设事件A，B相互独
4、立，且P（A）=，则=（ ）ABCD知识点答案随机事件的独立性d10、设随机变量,若,则( )A. B. C. D. 知识点答案二项分布b11、设随机变量(1,4)，已知，则（ ）.A、 B C、 D、知识点答案正态分布d12、设随机变量 N(，2)，若不变，当增大时概率P|1（ ）A、增大 B 减小 C、不变 D、增减不定知识点答案正态分布b13、设的概率密度为，则的概率密度（ ）.（A）; (B) ;(C) ; (D) .知识点答案随机变量函数的分布a14、设和是相互独立的两个随机变量，服从上的均匀分布，即,服从参数为2的指数分布,即，则（ ）A. 1 B.2 C.3 D.4知识点答案期望
5、和方差b15、对两个随机变量和，若EXY，则（ ）A、D()(X)(Y); B、 EXEY;C、D()(X)D(Y); D、上述结论都不一定成立知识点答案数学期望的性质d16、随机变量,且已知, ，则此二项分布中参数和（ ）.（A）; (B) ;(C) ; (D) .知识点答案数学期望a17、设随机变量X服从正态分布N(0,1)，34，则D(Y)=（ ）.A、3 B、4 C、9 D、16知识点答案期望和方差c18、设随机变量X和Y都服从区间0，1上的均匀分布，则E=（ ）A、1/6； B、1/2； C、1； D、2知识点答案期望和方差c19、两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,
6、4)和N(0,9)，则D(23Y)=（ ）A、72 B、 84 C、97 101 知识点答案数学期望及方差C20、对两个随机变量和,若,则（ ）成立。（A）; (B) ;(C) 和相互独立; (D) 和不相互独立. 知识点答案期望和方差b21、设随机变量X和Y的方差D(X)，D(Y)都不为零，则D()(X)(Y)是X及Y（ ）A、不相关的充分必要条件; B、独立的充分条件，但不是必要条件;C、独立的充分必要条件; D、不相关的充分条件，但不是必要条件 知识点答案方差的性质a22、设,则根据切比雪夫不等式（ ）. （A）; (B) ;(C) ; (D) .知识点答案切比雪夫不等式a23、设总体X
7、服从正态分布N(，2)，其中未知，2已知X1，X2，X3是取自总体X的一个样本，则以下不能作为统计量的是（ ）A、X1+ B、X12/4 C、2X1+3X2+4X3 D、(X123)/2知识点答案统计量a24、设X12,是正态总体N(,2)的样本,则样本均值的方差D()=（ ）A、2 B、n2 C、2 D、22知识点答案统计量C25、随机变量X服从(0-1)分布,参数p未知,有容量为n的样本观察值x1, x2, ,则参数p的最大似然估计为（ ）A、x1, x2, 中的最大值x1, x2, B、x1, x2, 中的最小值x1, x2, C、x1, x2, 的中间值2 D、x1, x2, 的平均值
8、(x12+)知识点答案最大似然估计D26、设总体已知而为未知参数，是从总体中抽取的样本，记，又表示标准正态分布的分布函数，已知（1.96）=0.975，(1.28)=0.90，则的置信度为0.95的置信区间是（ ）。A、B、C、D、知识点答案区间估计b27、设总体服从正态分布，其中均为未知参数，是取自总体的样本，记，则的置信度为的置信区间为（ ）。A、B、C、D、知识点答案区间估计b28、设总体服从正态分布N（），其中未知而已知，（）为取自总体的样本，记，则作为的置信区间，其置信度为（ ）。A、0.95 B、 0.05 C、0.975 D、0.90知识点答案区间估计d29、在假设检验中，原假设
9、H0，备择假设H1，则称（ ）为犯第二类错误。A、H0为真，接受H1 B、H0不真，接受H0C、H0为真，拒绝H1 D、H0不真，拒绝H0知识点答案假设检验a30、在假设检验中，显著性水平表示（ ）。A、P接受H00为假 B、置信度为C、P拒绝H00为真 D、无具体意义知识点答案假设检验c31、在假设检验中，下列结论正确的是（ ）。A、只犯第一类错误 B、只犯第二类错误C、既可能犯第一类也可能犯第二类错误 D、不犯第一类也不犯第二类错误知识点答案假设检验c（二）填空题1、 从一个装有10个黑球和4个白球的袋中，抽出5个球、其中2个是黑球、3个是白球的抽取方法共有 种（答案：180）知识点等可能
10、概型2、有5只球，随机地放入5个盒子中，则每个盒子中恰好有1只球的概率为 _（答案：454=24/625）知识点等可能概型3、由50人组成的人群中至少有两个人在同一天过生日的概率为 （答案：0.97）知识点等可能概型4、设P(A)(B)=1/2, P()=1/3,则A及B都不发生的概率为（答案：1/3）知识点随机事件的概率5、设A、B是两随机事件，且P(A)=06，P(B)=07，AB，则P()= （答案：6/7）知识点条件概率6、若P(A)=1/2(B)=1/3()=1/3,则P()= （答案：1/2）知识点独立性7、一项任务同时拍甲、乙二人分别单独去完成。甲能完成任务的概率为0.9，乙能完
11、成任务的概率为0.8，则该项任务将被完成的概率为 （答案：0.98）知识点独立性8、同时掷3枚均匀的硬币，则至多有一枚硬币字面朝上的概率为 _（答案：7/8）知识点伯努利概型9、离散型随机变量X的分布律为P，1，2，3，则常数为 （答案：6）知识点离散型随机变量的分布律10、一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为的泊松分布，则某一分钟呼唤次数大于的概率是（答案：）知识点泊松分布11、 设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，则事件A在一次试验中出现的概率为 .（答案：1/3）知识点二项分布12、设随机变量X的概率密度函数如下，则常数为 （答案：1/2
12、）知识点概率密度13、设在服从均匀分布，已知方程有实根的概率为，则（答案：10）知识点均匀分布14、设随机变量X的概率密度函数,则 （答案：2）知识点连续型随机变量的分布15、设随机变量X服从二项分布B(5)、Y服从二项分布B(5)，且它们相互独立，则服从二项分布B()，其中 （答案：10）知识点随机变量函数的分布16、在句子“ ”中随机的取一单词，以表示取到的单词所包含的字母个数，则（答案：27/8）知识点数学期望17、设随机变量X的分布律为，则 （答案：12）知识点数学期望18、 设(1,4), (-1,9)， 且X及Y相互独立,则D(-34Y)= （答案：180）知识点方差19、设D(X
13、)=1，D(Y)=2，且及相互独立，则D(2Y)= （答案：9）知识点方差的性质20、设()，若E(1)(2)=1，则= .（答案：1）知识点数学期望21、设随机变量X服从指数分布，X的概率密度为,则X的方差 （答案：100）知识点数学期望及方差22、设EXY=2()= -1/6,则E= （答案：23/6）知识点协方差及相关系数23、设E(X)=0，D(X)=1，则根据切比雪夫不等式P-2X2000)=1-(F(2000)(1000)=1-(-1/2-(-1)=1/2然后记取出器件寿命大于2000小时的个数为y 用二项分布求出P(1)(0)的概率再1(1)(0)就可以算出P(y=2)的概率了最
14、后结果是0.90625=知识点二项分布3、根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为120小时的指数分布，现随机地取100个，设他们的寿命是相互独立的，求这100个元件的寿命的总和大于12960个小时的概率.标准正态分布数值表：x0.70.750.80.850.90.95(x)0.75800.77340.78810.80230.81590.8289（答案：0.2119）单个元件均值E（X）=120，概率密度f(x)=1/120e(120)方差D（X）=120*120=14400100个元件寿命12120E（S）=120*100=12000D（S）=14400*100=1440000所以【（12
15、000）/1200】服从标准正太分布中心极限定理。P（S12960）【（12000）/1200（12960-12000）/1200)】【（12000）/12000.8】=1-0.8的正太分布=1-0.7881=0.2119知识点正态分布4、 的概率密度为，求随机变量的概率密度。知识点随机变量函数的分布答案：5、一枚均匀的硬币抛掷3次，设X为3次抛掷中正面出现的次数，Y为反面出现的次数，求并列出()的联合分布律。（答案：()=(0,3)表示三次抛硬币三次全部是反面P(03)=(1/2)3=1/8()=(1,1)表示三次抛硬币一次正两次反面P(11)(1,3)(1/2)3=3/8()=(2,1)表
16、示三次抛硬币两次正一次反面P(21)(2,3)(1/2)3=3/8()=(3,3)表示三次抛硬币三次全部是正面P(33)=(1/2)3=1/8XY012300001/81003/80203/80031/8000知识点联合分布6、有两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 (1,2)（小时）服从同一指数分布e(250)，其概率密度为，若将这两个电子装置串联组成整机，求整机寿命Y的均值。因两个电子装置为串联，（答案：125）知识点多维随机变量7、设随机变量的概率密度为，其中为常数（1）求常数；（2）求边缘概率密度和，并说明和是否相互独立（答案：（1）；（2）；和不相互独立） 知识点多维随机变量8、设
17、随机变量X和Y具有联合概率密度,求边缘概率密度和.知识点多维随机变量9、设(X，Y)的联合分布律为YX103-1020101010032010101求：（1）EX；（2）EY；（3）E知识点多维随机变量解：P1=0.4，P0=0.2，P3=0.4，EX=1*0.4+0*0.2+3*0.4=1.6P1=0.4，P1=0.3，P2=0.3，EY=1*0.41*0.3+2*0.3=0.7E= 1.610、甲、乙两船均为7点到8点到达某码头，且两船到达时间是随机的，每只船卸货需要20分钟，码头同一时间只能允许一只船卸货，求两只船使用码头发生冲突的概率。解：X、Y均服从（0，60）上的均匀分布，PXY2
18、01-4040/60/60=5/9知识点独立的随机变量11、设相互独立，它们分布律分别为XX1 1 3 pp0.3 0.3 0.7YY2 2 4 p p 0.6 0.6 0.4试求随机变量的分布律。XZ1 3 5 7)pp 0.3 0.18 0.54 0.28答案：知识点多维随机变量函数的分布12、设连续型随机变量 ，求。知识点数学期望答案：113、 随机变量的分布律如下：X0 1 2 3P 求知识点数学期望答案：15/814、假定每个人生日在各个月份的概率相同，求三个人中生日在第一季度的人数的期望。（答案：） 设三个随机变量i,(1,2,3),如果3个人中的第i个人在第一季度出生,则1,否则
19、0,则i服从0-1分布,且有P(1)=1/4,因此E1/4,(1,2,3)设为3个人在第一季度出生的人数,则=1+2+3,因此E(1+2+3)=3E3/4=0.75知识点数学期望15、 掷20个骰子，求这20个骰子出现的点数之和的数学期望.知识点数学期望答案：70=(1+2+3+4+5+6)*1/6)*20=(21*1/6)*20=7016、设发行体育彩票1000万张，其中一等奖1张，奖金500万元，二等奖9张，奖金1万元，三等奖90张，奖金100元，四等奖900张，奖金10元，问一张奖券获得奖金的期望值为多少？（答案：0.5108）（1*500+9*1+90*0.01+900*0.001）/
20、1000=0.5108知识点数学期望17、设连续型随机变量X的概率密度为0,且已知3/4，求的值.（答案：23）知识点数学期望18、随机变量X的概率密度为，求D(X)。（答案：2/3）知识点方差19、 设连续型随机变量的概率密度为，求。知识点相关系数解 又 所以 20、设对目标独立发射400发炮弹，单发命中率等于0.1，试用中心极限定理近似计算命中数超过50发的概率。标准正态分布数值表：x1.651.671.70(x)0.95050.95250.9554（答案：0.0475） 知识点中心极限定理21、一食品店出售价格分别为1元、1.5元、2元的3种蛋糕，顾客购买哪一种蛋糕是随机的，购买3种蛋糕
21、的概率分别为0.3、0.5、0.2，某天共售出200块蛋糕，求这天的收入不低于300元的概率。标准正态分布数值表：x200201202203204205(x)097720977809783097880979309798（答案：0.0217） 设售出的第i只蛋糕的价格为X(i),则E(x(i)=0.3+0.75+0.4=1.45, E(x(i)2)=1*1*0.3+1.5*1.5*0.5+2*2*0.2=2.225,D(X(i)= E(x(i)2)- (E(x(i)2=2.225-1.452= 0.1225根据独立同分布的中心极限定理(1)(300)近似服从正态分布N(387,14.67),所以
22、收入至少400元的概率为P(Y=400) = 1(400-387)/3.83)=1(3.394)=1知识点中心极限定理22、设总体的概率密度为，其中未知参数.设是来自总体的样本.（1） 求的最大似然估计量；(2)说明该估计量是否为无偏估计量.（答案：（1）；(2)是无偏估计量） 知识点点估计23、设总体的概率密度为，是来自总体的样本，求的矩估计量和最大似然估计量.（答案：矩估计量；最大似然估计量） 知识点点估计24、一公交车起点站候车人数服从泊松分布P()，观察40趟车的候车人数如下：车的趟数1355673343候车人数12345678910求的矩估计值答案：的矩估计值5.625知识点矩估计25、设总体的均值和方差分别为和，是来自总体的容量为的样本，试证明和都是的无偏估计量，且较有效。知识点估计量的评选标准第 12 页