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1、第三节第三节 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 无穷小量无穷小量 1.定义定义1 设设 f(x)在某在某U(x0)内有定义内有定义.若若 则称则称 f(x)为为当当 xx0 时的时的无穷小量无穷小量.例如：例如：(2)无穷小量与极限过程分不开，不能脱离极限过程谈无穷小量无穷小量与极限过程分不开，不能脱离极限过程谈无穷小量.如如sinx是是x0时的无穷时的无穷小量，但小量，但注注(1)无穷小量是变量，不能与很小的数混淆无穷小量是变量，不能与很小的数混淆;(3)关于关于有界量有界量.2.无穷小量的运算性质无穷小量的运算性质时时,有有定理定理1.有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷
2、小.证证:考虑两个无穷小的和考虑两个无穷小的和.设设当当时时,有有当当时时,有有取取则当则当因此因此这说明当这说明当时时,为无穷小量为无穷小量.定理定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证:设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.其中 为时的无穷小量.定理定理2.3.1.(无穷小与函数极限的关系)证证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.、无穷大无穷大定义定义2.若任给任给 M 0,一切满足不等式的 x,总有则称函数当时为无穷大,使对若在定义中将 式改为则记作(正数正数 X),记作总存在概念：概
3、念：在某个变化过程中，绝对值无限增大的函数，称为在此变在某个变化过程中，绝对值无限增大的函数，称为在此变化过程中的化过程中的无穷大量无穷大量.(非正常极限非正常极限).注意注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如例如,函数当但所以时,不是无穷大!例例.证明证证:任给正数 M,要使即只要取则对满足的一切 x,有所以若 则直线为曲线的铅直渐近线.渐近线说明说明:无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则定理定理 在自变量的同一变化过程中,无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较都是无穷小,引例引例.但
4、 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.若若则称则称 是比是比 高阶高阶的无穷小的无穷小,若若若若若若若若或或设设是自变量同一变化过程中的无穷小是自变量同一变化过程中的无穷小,记作记作则称则称 是比是比 低阶低阶的无穷小的无穷小;则称则称 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小;则称则称 是关于是关于 的的 k 阶阶无穷小无穷小;则称则称 是是 的的等价等价无穷小无穷小,记作记作定义定义例如例如,当时又如又如，故时是关于 x 的二阶无穷小,且例例1.证明:当时,证证:命题命题证证:即即例如例如,故命题命题 设且存在,则证证:例如例如,无穷小量的等价替换定理无穷小量的等价替换定理 求两个无穷小量比值的极限
5、时求两个无穷小量比值的极限时，分子及分母都可用等价无穷小分子及分母都可用等价无穷小量来代替量来代替 因此因此，如果用来代替的无穷小量选取得适当如果用来代替的无穷小量选取得适当，则可使计则可使计算简化算简化 定理的意义定理的意义:2.3.3常用等价无穷小:无穷小量的等价替换定理的几何意义无穷小量的等价替换定理的几何意义 解解 当当x0时时 tan 2x2x sin 5x5x 所以所以 说明说明说明说明 只有对所求极限式相乘或相除的因式才能用等价无穷小只有对所求极限式相乘或相除的因式才能用等价无穷小只有对所求极限式相乘或相除的因式才能用等价无穷小只有对所求极限式相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.例例.求解解:原式 2.3.4 等价无穷小代换在极限运算中的应用等价无穷小代换在极限运算中的应用