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1、关于无穷小与无穷大无穷小的比较第一张，PPT共二十三页，创作于2022年6月定义定义1.121.12若函数在自变量若函数在自变量的某个变化过程中的某个变化过程中以零为极限以零为极限，则称在该变，则称在该变化过程中化过程中,为为无穷小量无穷小量简称简称无穷小无穷小2.4.1 2.4.1 无穷小无穷小例如，当例如，当 时，是时，是无穷小量；当时，是无穷小量无穷小量；当时，是无穷小量当时，是无穷小量当时，是无穷小量我们经常用希腊字母，来表示无我们经常用希腊字母，来表示无穷小量穷小量第二张，PPT共二十三页，创作于2022年6月注意：注意：（1）无穷小是）无穷小是以零为极限以零为极限的的变量变量，常数
2、中只有零是无穷小常数中只有零是无穷小（2）无穷小总是和自变量的变化趋势相关联的，）无穷小总是和自变量的变化趋势相关联的，例如例如:当当 时时,为无穷小为无穷小当当 时时,就不是无穷小就不是无穷小第三张，PPT共二十三页，创作于2022年6月定理定理1.21.2函数函数 以以 为极限的充分为极限的充分必要条件是：可以表示为与一个无穷小必要条件是：可以表示为与一个无穷小量之和即量之和即其中其中第四张，PPT共二十三页，创作于2022年6月无穷小的代数性质性质性质1 无限个无穷小之和仍是无穷小。性质性质2 有界变量与无穷小之积仍是无穷小。推论推论1 常数与无穷小之积是无穷小。推论推论2 有限个无穷小
3、之积是无穷小。第五张，PPT共二十三页，创作于2022年6月定义定义1.11.10 0如果如果 (或或 )时，相应的时，相应的函数值的绝对值无限增大，则称函数值的绝对值无限增大，则称当当 (或或 )时为时为无穷大量无穷大量，简称，简称无无穷大穷大.2.4.2 2.4.2 无穷大无穷大第六张，PPT共二十三页，创作于2022年6月如果函数当时为无穷如果函数当时为无穷大，按通常意义来说，极限是不存在的，但为大，按通常意义来说，极限是不存在的，但为了便于叙述，我们也说了便于叙述，我们也说“函数的极限是无穷大函数的极限是无穷大”并记为并记为第七张，PPT共二十三页，创作于2022年6月而且，把正值的无
4、穷大叫做正无穷大，把负值而且，把正值的无穷大叫做正无穷大，把负值的无穷大叫做负无穷大，分别记为的无穷大叫做负无穷大，分别记为例如，例如，（1）无穷大是个变量，不是常数无穷大是个变量，不是常数 （2）无穷大总和自变量的变化趋势相关联无穷大总和自变量的变化趋势相关联 注意：注意：第八张，PPT共二十三页，创作于2022年6月 时，时，,时，时，是无穷小是无穷小 例例1 1 指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷小和无穷大？穷小和无穷大？解解 时，时，,时，时，是无穷小是无穷小 时，时，,时，时，是无穷大是无穷大 解解 时，时，,时，时，是无穷大是
5、无穷大 时，时，,时，时，是无穷大是无穷大 第九张，PPT共二十三页，创作于2022年6月解解 时，时，所以，所以 时，时，是无穷小是无穷小 时，时，,所以所以 时，时，是正无穷大是正无穷大 第十张，PPT共二十三页，创作于2022年6月练习一练习一1 1.下列函数中哪些是无穷小？哪些是是无穷大？下列函数中哪些是无穷小？哪些是是无穷大？是无穷大是无穷大是无穷小是无穷小是无穷大是无穷大是无穷小是无穷小第十一张，PPT共二十三页，创作于2022年6月是无穷大是无穷大是无穷小是无穷小是无穷小是无穷小是无穷大是无穷大第十二张，PPT共二十三页，创作于2022年6月2.2.指出下列函数分别在自变量怎样的
6、变化过程指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小中是无穷大和无穷小 时，是无穷小 时，是无穷大 时，是无穷小 时，是无穷大 第十三张，PPT共二十三页，创作于2022年6月 时，是无穷小 时，是正无穷大 第十四张，PPT共二十三页，创作于2022年6月第十五张，PPT共二十三页，创作于2022年6月解解因为，所以是有界变因为，所以是有界变量；量；例例2 2求求当时，是无穷小量当时，是无穷小量根据性质根据性质1.21.2，乘积是无穷小量即，乘积是无穷小量即第十六张，PPT共二十三页，创作于2022年6月练习练习求下列函数的极限求下列函数的极限第十七张，PPT共二十三页，创作于20
7、22年6月，我们记，它们我们记，它们都是都是 时的无穷小量但时的无穷小量但2.4.3 2.4.3 无穷小的比较无穷小的比较第十八张，PPT共二十三页，创作于2022年6月，趋于零的情况，趋于零的情况10 100 1 000 10 00010 100 1 000 10 000 0.1 0.01 0.001 0.000 10.1 0.01 0.001 0.000 1 0.2 0.02 0.002 0.000 20.2 0.02 0.002 0.000 20.01 0.00 01 0.000 001 0.000 000 010.01 0.00 01 0.000 001 0.000 000 01第十九
8、张，PPT共二十三页，创作于2022年6月定义定义1.141.14设、是同一变化过程中的设、是同一变化过程中的两个无穷小量，两个无穷小量，(2)(2)若若(是不等于零的常数是不等于零的常数)，则称与是则称与是同阶无穷小量同阶无穷小量若，则称若，则称与是与是等价无穷小量等价无穷小量(1)(1)若若,则称是比则称是比高阶的高阶的无穷小量无穷小量也称是比也称是比低阶的无穷小量低阶的无穷小量第二十张，PPT共二十三页，创作于2022年6月关于等价无穷小，有下面重要的性质关于等价无穷小，有下面重要的性质定理定理44 设设 ，且，且 存在，存在，则则证明：证明：第二十一张，PPT共二十三页，创作于2022年6月21在求极限时，利用定理，分子分母的无穷小因子在求极限时，利用定理，分子分母的无穷小因子可用其等价无穷小替换，使计算简化，这种方法可用其等价无穷小替换，使计算简化，这种方法称为等价无穷小替换法称为等价无穷小替换法常用的无穷小替换有：常用的无穷小替换有：第二十二张，PPT共二十三页，创作于2022年6月22感感谢谢大大家家观观看看第二十三张，PPT共二十三页，创作于2022年6月2022/9/17