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1、第三节第三节 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量1无穷小量无穷小量2无穷大量无穷大量3无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量的关系4无穷小量的运算性质无穷小量的运算性质5无穷小量和一般极限的关系无穷小量和一般极限的关系一、无穷小量一、无穷小量 例如例如例如例如,是是是是 x x 时的无穷小；时的无穷小；时的无穷小；时的无穷小；再例如再例如再例如再例如,则称则称则称则称x x 1 1是是是是 x x1 1 时的无穷小时的无穷小时的无穷小时的无穷小.注意：注意：注意：注意：无穷小不是一个很小的数无穷小不是一个很小的数无穷小不是一个很小的数无穷小不是一个很小的数,但但但但0 0是无穷小是无穷小
2、是无穷小是无穷小.定义定义定义定义1 1 1 1 若若若若时时时时,函数函数函数函数则称函数则称函数则称函数则称函数为为为为时的时的时的时的无穷小量无穷小量无穷小量无穷小量.二、二、无穷大无穷大量量 定义定义定义定义2 2.若若若若时时时时,函数函数函数函数则称函数则称函数则称函数则称函数为为为为时的时的时的时的无穷大量无穷大量无穷大量无穷大量.注意注意注意注意:1.1.1.1.无穷大量不是很大的数无穷大量不是很大的数无穷大量不是很大的数无穷大量不是很大的数,它是描述函数的一种状态它是描述函数的一种状态它是描述函数的一种状态它是描述函数的一种状态.2.2.2.2.无穷大量是极限不存在的一种情形
3、，这里只是借用无穷大量是极限不存在的一种情形，这里只是借用无穷大量是极限不存在的一种情形，这里只是借用无穷大量是极限不存在的一种情形，这里只是借用例如例如例如例如:了极限记号而已。了极限记号而已。了极限记号而已。了极限记号而已。3.3.3.3.函数为无穷大函数为无穷大函数为无穷大函数为无穷大,必定无界必定无界必定无界必定无界.但反之不真但反之不真但反之不真但反之不真!例如例如例如例如,函数函数函数函数当当当当但但但但所以所以所以所以时时时时,不是无穷大不是无穷大不是无穷大不是无穷大!无界，无界，无界，无界，在自变量的某个变化过程中在自变量的某个变化过程中在自变量的某个变化过程中在自变量的某个变
4、化过程中,如果如果如果如果 f f(x x)为无穷为无穷为无穷为无穷定理定理定理定理1 1 大大大大,为无穷小为无穷小为无穷小为无穷小;反之反之反之反之,若若若若f f(x x)为无穷小为无穷小为无穷小为无穷小,且且且且f f(x x)0,0,是无穷大是无穷大是无穷大是无穷大.例如例如例如例如,在在在在 x x0 0 时，时，时，时，是无穷大是无穷大是无穷大是无穷大,是无穷小是无穷小是无穷小是无穷小.三、无穷小量与无穷大量的关系三、无穷小量与无穷大量的关系据此定理，关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论据此定理，关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论据此定理，关于无穷大的问题都可转化为无穷小来
5、讨论据此定理，关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理定理定理定理2 2 2 2 在同一过程中在同一过程中在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小.四、无穷小量的运算性质四、无穷小量的运算性质时，时，时，时，是无穷小，但是无穷小，但是无穷小，但是无穷小，但n n个个个个之和为之和为之和为之和为 1,1,1,1,不是无穷小不是无穷小不是无穷小不是无穷小.注注注注无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小！无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小！无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小！无穷多个无穷小的代数
6、和未必是无穷小！例如，例如，例如，例如，定理定理定理定理3 3 3 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论推论推论3 3 3 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.推论推论推论推论1 1 1 1 在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小。是无穷小。是无穷小。是无穷小。推论推论推论推论2 2 2
7、2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.例例例例1 1 求求求求 解解解解 因为因为因为因为 由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小得由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小得由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小得由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小得 例例例例2 2 2 2.求求求求解解解解:由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小得由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小得由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小得由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小得 定理定理定理定理4 4 lim lim f f(x x)=)=A A f f(x x)=A A+,li
8、m,lim (x x)=0.)=0.例如例如例如例如,五、无穷小量和一般极限的关系（知道就行）五、无穷小量和一般极限的关系（知道就行）这个定理可以简单地表述为这个定理可以简单地表述为这个定理可以简单地表述为这个定理可以简单地表述为如果某函数可以表示为常如果某函数可以表示为常如果某函数可以表示为常如果某函数可以表示为常数与无穷小量之和，则此函数以该常数为极限；反之亦数与无穷小量之和，则此函数以该常数为极限；反之亦数与无穷小量之和，则此函数以该常数为极限；反之亦数与无穷小量之和，则此函数以该常数为极限；反之亦然然然然.定理证明从略定理证明从略定理证明从略定理证明从略.无穷小量的运算性质和这个定理是
9、极限运算的基础无穷小量的运算性质和这个定理是极限运算的基础无穷小量的运算性质和这个定理是极限运算的基础无穷小量的运算性质和这个定理是极限运算的基础.在在在在附近的表达式附近的表达式附近的表达式附近的表达式 定理将一般极限问题转化为特殊极限问题定理将一般极限问题转化为特殊极限问题定理将一般极限问题转化为特殊极限问题定理将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小无穷小无穷小)；给出了函数给出了函数给出了函数给出了函数误差为误差为误差为误差为作作 业业P44 1，2（答案写在书上）（答案写在书上）3.3.3.3.函数为无穷大函数为无穷大函数为无穷大函数为无穷大,必定无界必定无界必定无界必定无界.但反之不真但反之不真但反之不真但反之不真!例如例如例如例如,函数函数函数函数当当当当但但但但所以所以所以所以时时时时,不是无穷大不是无穷大不是无穷大不是无穷大!无界，无界，无界，无界，定义定义定义定义3 3 如果如果如果如果，则直线，则直线，则直线，则直线是函数是函数是函数是函数的图形的的图形的的图形的的图形的铅直渐近线铅直渐近线铅直渐近线铅直渐近线.