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1、2.2.1 对数及对数运算（1）引题引题1:1:一尺之锤，日取其半，万世不竭。一尺之锤，日取其半，万世不竭。情景引入情景引入（1 1）取）取5 5次，还有多长？次，还有多长？（2 2）取多少次，还有尺？）取多少次，还有尺？引题2.假设假设20062006年我国国民生产总值为年我国国民生产总值为a a亿元，亿元，如果每年的平均增长率为如果每年的平均增长率为8%8%，那么经过多少，那么经过多少年我国的国民生产总值是年我国的国民生产总值是20062006年的年的2 2倍？倍？(1(18 8)x x2 2，求，求x=?x=?3.3.上面的实际问题归结为一个什么数学上面的实际问题归结为一个什么数学问题？
2、问题？已知底数和幂的值，求指数已知底数和幂的值，求指数.注意注意：（1）底数的限制：）底数的限制：a0且且a1；（2）对数的书写格式。）对数的书写格式。一、对数的定义一、对数的定义:一般地一般地,如果如果 那么数那么数x叫做叫做 以以a a为底为底N N的对数，的对数，记作记作其中其中a a叫做对数的底数，叫做对数的底数，N N叫做真数。叫做真数。底数底数对数对数真数真数幂幂指数指数底数底数二、思考：二、思考：为什么在定义中要规定：为什么在定义中要规定：a0且且a1，是不是所有的实数都有对数？，是不是所有的实数都有对数？负数与零没有对数负数与零没有对数 三、两个重要对数三、两个重要对数（1 1
3、）常用对数：以）常用对数：以1010为底的对数为底的对数 ，简记为简记为 ；（2 2）自然对数：以无理数）自然对数：以无理数为底的对数为底的对数 ，简记为，简记为注意：两个重要对数的书写注意：两个重要对数的书写1.1.将下列指数式写成对数式：将下列指数式写成对数式：2.2.将下列对数式写成指数式：将下列对数式写成指数式：3.3.求下列各式的值求下列各式的值例例1 1 求下列各式中求下列各式中x的值的值(1)(2)(3)(4)四、对数的性质四、对数的性质探究活动1求下列各式的值求下列各式的值思考：通过上面的例子，你发现什么？思考：通过上面的例子，你发现什么？“1 1”的对数等于零，即的对数等于零
4、，即0000探究活动2求下列各式的值求下列各式的值1111思考：通过上面的例子，你发现什么？思考：通过上面的例子，你发现什么？底数的对数等于零，即底数的对数等于零，即探究活动探究活动3 3求下列各式的值：求下列各式的值：思考：通过上面的例子，你发现什么？思考：通过上面的例子，你发现什么？对数恒等式：对数恒等式：38945探究活动探究活动4 4求下列各式的值求下列各式的值思考：通过上面的例子，你发现什么？思考：通过上面的例子，你发现什么？对数恒等式：对数恒等式：4536（1 1）负数与零没有对数）负数与零没有对数 （2）（3）（4 4）对数恒等式：）对数恒等式：（5 5）对数恒等式：）对数恒等式
5、：1.1.2.求下列各式的值求下列各式的值求求 x 的值：的值：(1)(2)1.1.对数定义：对数定义：2.2.指数式与对数式互换指数式与对数式互换3.理解理解:a0且且a1；而且；而且 N04.4.常用的两种对数：常用的两种对数：5.5.几个常用结论：几个常用结论：2.2.1 对数的运算性质(2)指数的运算性质有哪些？指数的运算性质有哪些？你能从指数与对数你能从指数与对数的关系以及指数运算的关系以及指数运算性质得出相应的对数性质得出相应的对数运算性质吗？运算性质吗？则则（2）则则（3）积、商、幂的对数运算法则积、商、幂的对数运算法则 如果如果 a 0，a 1，M 0,N 0,则有：则有：例题
6、与练习 例1 用 ，表示下列各式：例2 计算(2)(3)（1）1.1.设设对数换底公式对数换底公式(a 0,a 1，c 0,c 1,b0)如何证明呢如何证明呢?对数的换底公式的意义在于把对数式的对数的换底公式的意义在于把对数式的底数改变，把底数改变，把不同底问题转化为同底问题。不同底问题转化为同底问题。利用换底公式时，注意选择适当的底数，利用换底公式时，注意选择适当的底数，一般取常用对数。一般取常用对数。设设 a,b 0且均不为且均不为1,则则 你能证明吗你能证明吗?例例1 计算计算：例例2 2 已知已知 用用a,b 表示表示 。练习：练习：1.2.例3 2020世纪世纪3030年代，年代，克
7、里特克里特制定了一种表明地震能量大制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级是我们常说的里氏震级M M，其计算公式为，其计算公式为:M=lgA-lgA0，其中，其中，A A是被测地震的最大振幅，是被测地震的最大振幅，A A0 0是是“标标准地震准地震”的振幅的振幅 （使用标准地震振幅是为了修正测震仪（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）。距实际震中的距离造成的偏差）。（1 1）假
8、设在一次地震中，一个距离震中假设在一次地震中，一个距离震中100100千米的测震千米的测震仪记录的地震最大振幅是仪记录的地震最大振幅是2020，此时标准地震的振幅是，此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级（精确到）。计算这次地震的震级（精确到）。（2 2）5 5级地震给人的震感已比较明显级地震给人的震感已比较明显,试计算级地震的最试计算级地震的最大振幅是大振幅是5 5级地震的最大振幅的多少倍级地震的最大振幅的多少倍?(?(精确到精确到1)1)例例3 3 生物机体内碳生物机体内碳1414的半衰期为的半衰期为57305730年年,湖南长沙马王湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳堆汉墓女尸出土时碳141
9、4的残余量约占原始含量的的残余量约占原始含量的76.7%,76.7%,试推算马王堆汉墓的年代试推算马王堆汉墓的年代.解：我们先推算生物死亡解：我们先推算生物死亡t t年后每克组织中碳年后每克组织中碳1414含量。含量。设生物体死亡时，体内每克组织中的碳设生物体死亡时，体内每克组织中的碳1414的含量为的含量为1,11,1年后年后的残留量为的残留量为x x，由于死亡机体中原有的碳，由于死亡机体中原有的碳1414按确定的规律衰减按确定的规律衰减所以生物体的死亡年数所以生物体的死亡年数t t与其体内每克组织的碳与其体内每克组织的碳1414含量含量P P有如下有如下关系：关系：死亡年数死亡年数t1 1
10、2 23 3t t碳碳1414含量含量P Pxx2x3xt因此，生物死亡因此，生物死亡t t年后体内碳年后体内碳1414的含量的含量P=xP=xt t由于大约每经过由于大约每经过57305730年，死亡生物体的碳年，死亡生物体的碳1414含量衰减为含量衰减为原来的一半，所以原来的一半，所以于是于是这样的生物死亡这样的生物死亡t t年后体内的碳年后体内的碳1414的含量为的含量为由于对数与指数的关系，指数式由于对数与指数的关系，指数式可以写成对数式可以写成对数式湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳14 14 的残留量约占的残留量约占原始含量的原始含量的76.7%76.7%，即，那么，即，那么由计算器可得：由计算器可得：所以，马王堆古墓是近所以，马王堆古墓是近22002200年前的遗址。年前的遗址。练习：练习：1求值：求值：2若若 ,求求m3若若log 8 3=p,log 3 5=q ,用用p,q表示表示 lg 5 作业作业：书上书上P75-11，12