《《向量组与矩阵的秩》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《向量组与矩阵的秩》PPT课件.ppt（84页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤第三章 向量组与矩阵的秩 1n维向量维向量 2线性相关与线性无关线性相关与线性无关 3线性相关性的判别定理线性相关性的判别定理 4向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩 5矩阵的初等变换矩阵的初等变换 6初等矩阵与求矩阵的逆初等矩阵与求矩阵的逆 7向量空间向量空间 1湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量.|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.从二维、三维向量谈起从二维、三维向量谈起或或或或单位向量：单位向量：模长为模长为1 1的
2、向量的向量.或或2湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定义定义1 n个数组成的有序数组（个数组成的有序数组（a1,a2,an）称为一个称为一个n维向量维向量，简称，简称向量向量。用小写的粗黑体字母来表示向量用小写的粗黑体字母来表示向量。行向量行向量列向量列向量1 n维向量3湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤数数a1,a2,an称为这个称为这个向量的分量向量的分量。ai称为这个向称为这个向量的第量的第i个个分量分量或或坐标坐标。分量都是实数的向量称为。分量都是实数的向量称为实向量实向量；分量是复数的向量称为；分量是复数的向量称为复向量复向量。n维行向量可以看成维行向量可以看成1n矩阵，矩阵
3、，n维列向量也常看维列向量也常看成成n1矩阵。矩阵。设设k和和l为两个任意的常数，为两个任意的常数，为任意的为任意的n维向维向量，其中量，其中4湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定义定义2 如果如果 和和 对应的分量都相等，即对应的分量都相等，即ai=bi，i=1,2,n就称这两个就称这两个向量相等向量相等，记为，记为定义定义3 向量向量（a1+b1,a2+b2,an+bn）称为称为 与与 的的和和，记为，记为 。称向量。称向量（ka1,ka2,kan）为为 与与k的数量乘积，简称的数量乘积，简称数乘数乘，记为，记为 。5湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定义定义4 分量全为零的向量分
4、量全为零的向量（0，0，0）称为称为零向量零向量，记为，记为0。与与-1的数乘的数乘（-1）=（-a1,-a2,-an）称为称为 的的负向量负向量，记为，记为 。向量的减法定义为向量的减法定义为向量的加法与数乘具有下列性质向量的加法与数乘具有下列性质：6湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤满足（满足（1）（8）的）的运算称为线性运算。运算称为线性运算。7湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤例例1设设3(1-)+2(2+)=5(3+),其中其中 1=(2,5,1,3),2=(10,1,5,10),3=(4,1,-1,1).求求.解：解：3 1-3+2 2+2=5 3+5 6=3 1+2 2-
5、5 3=1/2 1+1/3 2 5/6 3=(1+10/3-20/6,5/2+1/3-5/6,1/2+5/3+5/6,3/2+10/3-5/6)=(1,2,3,4)8湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤矩阵与向量的关系：矩阵与向量的关系：n维列向量组维列向量组 可以排成一个可以排成一个ns矩阵矩阵 其中其中 为由为由B的第的第j行形成的子块，行形成的子块，称为称为B的列向量组的列向量组。2 线性相关与线性无关通常把通常把维数相同的一组向量维数相同的一组向量简称为一个简称为一个向量组向量组，n维行向量组维行向量组 可以排列成一个可以排列成一个sn分块矩阵分块矩阵 其中其中 为由为由A的第的第i
6、行形成的子块，行形成的子块，称为称为A的行向量组的行向量组。9湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定定义义5 向向量量组组 称称为为线线性性相相关关的的，如如果果有有不全为零的数不全为零的数k1,k2,ks，使，使反之，如果只有在反之，如果只有在k1=k2=ks=0时上式才成立，就时上式才成立，就称称 线性无关线性无关。当当 是行向量组时，它们线性相关就是指有是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的非零的1s矩阵（矩阵（k1,k2,ks）使）使 10湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤当当 为列向量时，它们线性相关就是指有非为列向量时，它们线性相关就是指有非零的零的s1矩阵矩阵 ，使，使
7、11湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤例例1 判断向量组判断向量组的线性相关性。的线性相关性。解解 对任意的常数对任意的常数k1,k2,kn，令令 所以所以 当且仅当当且仅当k1=k2=kn=0 因此因此 线性无关。线性无关。12湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤例例2 讨论向量组讨论向量组1321=a a1212=a a-1233=a a的线性相关性。的线性相关性。解解 对任意的常数对任意的常数k1,k2,k3，令令 0221133kkk=+a aa aa a即即213kkk=0312-111223+=+=+002131kkkk2+23k=+021kk-3k22k+33k1=-4,k
8、2=5,k3=1所以所以 a a1,a a2,a a3 线性相关线性相关.13湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤例例3 设向量组设向量组 线性无关，线性无关，试证向量组，试证向量组 也也线性无关。线性无关。证证 对任意的常数，令对任意的常数，令 设有设有k1,k2,k3,使使 由由 线性无关，故有线性无关，故有 由于满足由于满足k1,k2,k3的取值只有的取值只有k1=k2=k3=0所以所以 线性无关。线性无关。14湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤一一般般地地,判判断断一一个个向向量量组组 1,2,m线线性性相相关关的的基基本方法和步骤是本方法和步骤是:1)假定存在一组数假定存在一组
9、数k1,k2,km，使使 k1 1+k2 2+km m=0;2)应应用用向向量量的的线线性性运运算算和和向向量量相相等等的的定定义义,找找出出含含未未知量知量k1,k2,km的齐次线性方程组的齐次线性方程组;3)判断方程组有无非零解判断方程组有无非零解;4)如如有有非非零零解解,则则 1,2,m线线性性相相关关;如如仅仅有有零零解解,则则 1,2,m线性无关线性无关.15湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定定义义6 向向量量 称称为为向向量量组组 1,2,t的的一一个个线线性性组组合合，或或者者说说 可可由由向向量量组组 1,2,t线线性性表表出出(示示),如如果果有有常数常数k1,k2,
10、kt,使使=k1 1+k2 2+kt t.此时，也记此时，也记例例1试试问问下下列列向向量量 能能否否由由其其余余向向量量线线性性表表示示,若若能能,写写出线性表示式出线性表示式:1)=(2,3,-1,-4),e1=(1,0,0,0),e2=(0,1,0,0),e3=(0,0,1,0),e4=(0,0,0,1).2)=(1,1,1),1=(0,1,-1),2=(1,1,0),3=(1,0,2);16湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤解：令解：令=k1 1+k2 2+k3 3于是得线性方程组于是得线性方程组k2+k3=1k1+k2=1-k1+2k3=1解方程组得解方程组得k1=k3=1,k2
11、=0即即=1+0 2+317湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定理定理1 向量组向量组 （s2）线性相关的充要条件）线性相关的充要条件是其中是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出至少有一个向量能由其他向量线性表出。证证 设设 中有一个向量能由其他向量线性表中有一个向量能由其他向量线性表出，出，所以所以 线性相关。线性相关。如果如果 线性相关，就有不全为零的数线性相关，就有不全为零的数k1,k2,ks，使，使 设设k10,那么那么 即即 能能由由 线线性性表出。表出。18湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤例如例如，向量组，向量组 是线性相关的，因为是线性相关的，因为 1 一个向量线性相
12、关一个向量线性相关=0;无关无关 0.2 2两两个个向向量量线线性性相相关关对对应应元元素素成成比比例例;无无关关对对应应元素不成比例元素不成比例.3三个向量三个向量线线性相关的几何意性相关的几何意义义是它是它们们共面。共面。19湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定理定理2 设向量组设向量组 线性无关，而向量组线性无关，而向量组 线性相关，则线性相关，则 能由向量组能由向量组线性表出，且表示式是唯一的。线性表出，且表示式是唯一的。证证 由于由于 线性相关，就有不全为零的线性相关，就有不全为零的数数k1,k2,kt,k，使，使 由由 线性无关有线性无关有k0。即即 可由可由 线性表出。线性表
13、出。20湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤设设为两个表达式。为两个表达式。且且 线性无关线性无关 得到得到 l1=h1,l2=h2,，lt=ht 因此表示式是唯一的。因此表示式是唯一的。21湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定义定义7 如果向量组如果向量组 中每个向量都可以由中每个向量都可以由 线性表出，就称向量组线性表出，就称向量组 可由可由 线性表出，如果两个向量组互相可以线性表出，如果两个向量组互相可以线性表出，就称它们线性表出，就称它们等价等价。每一个向量组都可以经它自身线性表出。每一个向量组都可以经它自身线性表出。同时，如果向量组同时，如果向量组 可以经向量组可以经向量组 线
14、性表出，向量组线性表出，向量组 可以经向量组可以经向量组 线性表出，那么向量组线性表出，那么向量组 可以经向量组可以经向量组 线性表出。线性表出。22湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤向量组向量组 中每一个向量都可以经向量组中每一个向量都可以经向量组 线性表出。因而，向量组线性表出。因而，向量组 可以经向量组可以经向量组 线性表出。线性表出。如果如果有有23湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤向量组的等价具有下述性质：向量组的等价具有下述性质：(1)反身性反身性：向量组：向量组 与它自己等价；与它自己等价；(2)对称性对称性:如果向量组如果向量组 与与 等价，等价，那么那么 也与也与 等
15、价。等价。(3)传递性传递性:如果向量组如果向量组 与与 等价，等价，而向量组而向量组 又与又与 等价等价,那么那么 与与 等价。等价。24湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤1 1 1 1、基本概念、基本概念、基本概念、基本概念线性线性表示表示小结小结小结小结线性组合线性组合组合系数组合系数线性相关线性相关线性无关线性无关定理定理向量组线性无关向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；齐次线性方程组只有零解；定理定理向量组线性相关向量组线性相关齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解.2 2 2 2、基本结论、基本结论、基本结论、基本结论推论推论个维向量个维向量线性相关线性相关.推论推论个
16、维向量个维向量线性无关线性无关.25湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤向量组向量组线性相关线性相关线性相关线性相关至少有一个向量可由其余向量至少有一个向量可由其余向量线性表示线性表示线性表示线性表示 定理定理向量组向量组线性无关线性无关线性无关线性无关任何向量都不能由其余向量任何向量都不能由其余向量线性表示线性表示线性表示线性表示 定理定理定理定理向量组线性无关向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；齐次线性方程组只有零解；定理定理向量组线性相关向量组线性相关齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解.2 2 2 2、基本结论、基本结论、基本结论、基本结论推论推论个维向量个维向量线性相关线
17、性相关.推论推论个维向量个维向量线性无关线性无关.26湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤思考题：判断对错1.若向量组若向量组 线性相关，那么其中每个向线性相关，那么其中每个向量可经其它向量线性表示。量可经其它向量线性表示。2.如果向量组如果向量组 可经由向量可经由向量 线线性表示，且性表示，且 线性相关，那么线性相关，那么 也也线性相关。线性相关。3.如果向量如果向量 可经由向量组可经由向量组 线性线性表示，且表示是唯一的，那么表示，且表示是唯一的，那么 线性线性无关。无关。27湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤思考题解答1.错，错，2.错，错，3.对对湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤
18、吴晓勤28湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定理定理3 有一个有一个部分组线性相关部分组线性相关的向量组线性相关。的向量组线性相关。设这个部分组为设这个部分组为 。则有不全为零的数。则有不全为零的数k1,k2,kr，使，使 证证 设向量组设向量组 有一个部分组线性相关。有一个部分组线性相关。因此因此 也线性相关。也线性相关。推论推论 含有零向量的向量组必线性相关。含有零向量的向量组必线性相关。3 线性相关性的判别定理29湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定理定理4 设设p1,p2,pn为为1，2，n的一个排列，的一个排列，和和 为两向量组，其中为两向量组，其中 即即 是对是对 各分量的
19、顺序进行重各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线相同的线性相关性性相关性。证证 对任意的常数对任意的常数k1,k2,ks，30湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤上两式只是各分量的排列顺序不同，因此上两式只是各分量的排列顺序不同，因此 当且仅当当且仅当 所以所以 和和 有相同的线性相关性。有相同的线性相关性。31湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤(2)如果如果 线性无关，线性无关，那么那么 也线性无关。也线性无关。定定理理5在在r维维向向量量组组 的的各各向向量量添添上上n-r个个分分量变成量变成n维向量组维向量组 。(1)如果如果
20、 线性相关，线性相关，那么那么 也线性相关。也线性相关。证证 对列向量来证明定理。对列向量来证明定理。32湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤利用利用(1)式式,用反证法容易证明用反证法容易证明(2)式也成立。式也成立。因此因此,也线性相关也线性相关,即即(1)式成立。式成立。如果如果 线性相关线性相关,就有一个非零的就有一个非零的s 1矩阵矩阵X,使使 33湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤引理引理1 如果如果n阶方阵阶方阵A的行列式等于零的行列式等于零,那么那么A的行的行(列列)向量组线性相关。向量组线性相关。定理定理6 n维向量组维向量组 线性无关的充要条件线性无关的充要条件是矩阵
21、是矩阵 的行列式不为零的行列式不为零(A可逆可逆)。此时。此时,矩阵矩阵A的的n个列向量也个列向量也线性无关。线性无关。证：证：如果如果 A 0 0，即，即A可逆，可逆，(k1,k2,L,kn)A=0两边同时右乘两边同时右乘A-1得得(k1,k2,L,kn)=034湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定理定理7 n+1个个n维向量组维向量组 必线性相关。必线性相关。推论推论 当当mn时时,m个个n维向量组线性相关。维向量组线性相关。所以所以 线性无关线性无关。反过来，如果反过来，如果 线性无关，反设线性无关，反设 A =0=0，由，由引理引理1 1，A A的行向量组的行向量组 线性相关，矛盾
22、。线性相关，矛盾。由上面的证明可以看出，当由上面的证明可以看出，当 A 0 0时，时，A A 0 0，可见，可见A A的的n个列向量也线性无关。个列向量也线性无关。35湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤例例1讨论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性:1)(2,3),(-3,1),(0,-2);2)(1,2,3),(2,2,1),(3,4,3);3)(1,3,-2,2),(0,2,-1,3),(-2,0,1,5).解解：1)32,所以线性相关所以线性相关2)三个行向量排成一列，构成方阵，其行列式为三个行向量排成一列，构成方阵，其行列式为2 0，所以线性无关。所以线性无关。3）2(
23、1,3,-2,2)-3(0,2,-1,3)+(-2,0,1,5)=0所以线性相关。所以线性相关。36湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤(2)如果如果 线性无关，线性无关，那么那么 也线性无关。也线性无关。定定理理5在在r维维向向量量组组 的的各各向向量量添添上上n-r个个分分量变成量变成n维向量组维向量组 。(1)如果如果 线性相关，线性相关，那么那么 也线性相关。也线性相关。复习复习37湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤引理引理1 如果如果n阶方阵阶方阵A的行列式等于零的行列式等于零,那么那么A的行的行(列列)向量组线性相关。向量组线性相关。定理定理6 n维向量组维向量组 线性无关的
24、充要条件线性无关的充要条件是矩阵是矩阵 的行列式不为零的行列式不为零(A可逆可逆)。此时。此时,矩阵矩阵A的的n个列向量也个列向量也线性无关。线性无关。定理定理7 n+1个个n维向量组维向量组 必线性相关。必线性相关。推论推论 当当mn时时,m个个n维向量组线性相关。维向量组线性相关。38湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定理定理8 如果向量组如果向量组 可由可由 线性线性表出且表出且st，那么，那么 线性相关。线性相关。推论推论1 如果向量组如果向量组 ，可由向量组，可由向量组 线性表出，且线性表出，且 线性无关，那么线性无关，那么 。推论推论2 两个线性无关的等价的向量组必含有相同个两
25、个线性无关的等价的向量组必含有相同个数的向量。数的向量。39湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定义定义8 一向量组的一个部分组称为一个一向量组的一个部分组称为一个极大线性无极大线性无关组关组，如果这个部分组本身是，如果这个部分组本身是线性无关线性无关的，并且从这的，并且从这向量组中向这部分组任意添一个向量（如果还有的话）向量组中向这部分组任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分组都，所得的部分组都线性相关线性相关。例例 7 在向量组中，在向量组中，为它的一个极大线性无关组。为它的一个极大线性无关组。首先，由首先，由 与与 的分量不成比例，的分量不成比例，线性无关。线性无关。再再添添入入
26、以以后后，由由 可可知知所所得得部部分分组组线线性相关，不难验证性相关，不难验证 也为一个极大线性无关组。也为一个极大线性无关组。4 向量组的秩与矩阵的秩40湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定义定义8 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是关组，如果这个部分组本身是线性无关线性无关的，并且这的，并且这向量组中任意向量都可由这部分组线性表出。向量组中任意向量都可由这部分组线性表出。向量组的极大线性无关组具有的向量组的极大线性无关组具有的性质性质：性质性质1 一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。一向量组的极大线性无关组与向
27、量组本身等价。性质性质2 一向量组的任意两个极大线性无关组都等价。一向量组的任意两个极大线性无关组都等价。性质性质3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的 向量。向量。41湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定义定义9 向量组的极大线性无关组所含向量组的极大线性无关组所含向量的个数向量的个数称称为这个为这个向量组的秩向量组的秩。如果向量组如果向量组 能由向量组能由向量组 线线性表出，那么性表出，那么 的极大线性无关组可由的极大线性无关组可由 的极大线性无关组线性表出。因此的极大线性无关组线性表出。因此 的秩不超过的秩不超过 的秩。的秩。定理定理9
28、向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为一个极大线性无关组。一个极大线性无关组。推论推论 秩为秩为r的向量组中任意含的向量组中任意含r个向量的个向量的线性无关线性无关的部分组的部分组都是极大线性无关组。都是极大线性无关组。42湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤例 求向量组的秩，并求出它的一个最大无关组.解 显然，线性无关，中任意一个向量都可由 线性表示，由定义8，为向量组的一个最大无关组，且所给向量组的秩为3.43湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤下面讨论向量组的秩与矩阵的秩之间的关系：设矩阵其中 为矩阵 的行向量组，称为矩阵 的列向量组.44湖南科
29、技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定义定义10 矩阵的矩阵的行秩行秩是指它的行向量组的秩，矩阵是指它的行向量组的秩，矩阵的的列秩列秩是指它的列向量组的秩。是指它的列向量组的秩。定义定义11 在一个在一个m n矩阵矩阵A中任意选定中任意选定k行和行和k列，位于列，位于这些选定的行和列的交点上的这些选定的行和列的交点上的k2个元素按原来的次序所个元素按原来的次序所组成的组成的k k级矩阵的行列式级矩阵的行列式，称为，称为A的一个的一个k级级子式子式。最低阶为最低阶为 阶，阶，最高阶为最高阶为 阶阶.矩阵共有矩阵共有 个个 阶子式阶子式.45湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤如：矩阵如：矩阵取第取
30、第1 1行、第行、第3 3行和第行和第1 1列、第列、第4 4列交叉处的元素，列交叉处的元素，二阶子式是二阶子式是组成的组成的的最高阶子式是的最高阶子式是3 3阶，共有阶，共有4 4个个3 3阶子式阶子式.易见易见而在这个矩阵中而在这个矩阵中,都是矩阵都是矩阵 的子矩阵的子矩阵.46湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤引理引理2 设设 ，n维向量组维向量组 线性无关的线性无关的充要条件是矩阵充要条件是矩阵 中中存在一个不为零的存在一个不为零的r级子式级子式。47湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定理定理10 矩阵的行秩等于列秩。矩阵的行秩等于列秩。由此由此,A的列秩的列秩(A的行秩的行秩
31、r1)A的行秩的行秩(A的列秩的列秩r2),即有即有 。因此。因此证证 设矩阵设矩阵A的行秩为的行秩为r1,A的列秩为的列秩为r2。那么那么,A中有中有r1个行向量线性无关个行向量线性无关,由引理由引理2统称矩阵的行秩和列秩为统称矩阵的行秩和列秩为矩阵的秩矩阵的秩,矩阵矩阵A的秩一般的秩一般记为记为R(A)。规定零矩阵的秩为。规定零矩阵的秩为0。A中有一个中有一个r1级子式级子式D不为零不为零,那么那么A中子式中子式D所在的所在的r1个列向量也线性无关个列向量也线性无关;因而因而48湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定理定理11 矩阵矩阵A的秩为的秩为r的充要条件是它有一个不为的充要条件是
32、它有一个不为零的零的r阶子式而所有阶子式而所有r+1阶子式全为零阶子式全为零,这时这时,这个非零这个非零的的r级子式所在的行和列就分别为级子式所在的行和列就分别为A的行向量组和列的行向量组和列向量组的极大线性无关组。向量组的极大线性无关组。1.若若A为为m n矩矩阵阵,则则A的的秩秩不不会会大大于于矩矩阵阵的的行行数数,也也不会大于矩阵的列数不会大于矩阵的列数,即即r(A)minm,n;2.r(AT)=r(A),r(kA)=r(A),k为非零常数为非零常数;3.若若r(A)=r,则则A中中所所有有大大于于r阶阶的的子子式式全全为为0,即即r为为A中不等于中不等于0的子式的最大阶数的子式的最大阶
33、数;4.若若A的所有的所有r+1阶子式都为阶子式都为0,则则r(A)r+1;5.若若A中存在一个中存在一个r阶子式不为阶子式不为0,则则r(A)r.49湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤例10 已知以下矩阵A的秩为3，求a的值。50湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤作作 业业P72P72：1111，1515（1 1），），1919（2 2）习题一习题一 P 71 P 71：2 2，4 4（3 3），），5,65,651湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤 矩矩阵阵的的初初等等行行变变换换都都是是可可逆逆的的,且且其其逆逆变变换换也也是是同类的初等行变换。同类的初等行变换。定义定义12
34、 下面的三种变换称为下面的三种变换称为矩阵的矩阵的初等初等行行变换变换:(1)对换矩阵两行的位置对换矩阵两行的位置 对换第对换第i行和第行和第j行的位置记为行的位置记为r(i,j).(2)矩阵的某行所有元素同乘以一个非零常数矩阵的某行所有元素同乘以一个非零常数 第第i行乘以行乘以k记为记为r(i(k)(3)把矩阵一行所有元素的把矩阵一行所有元素的k倍加到另一行对应的倍加到另一行对应的 元素上去元素上去第第i行的行的k倍加到第倍加到第j行上去记为行上去记为r(j+i(k)5 矩阵的初等变换52湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定定理理12 如如果果矩矩阵阵A经经过过有有限限次次初初等等行行变
35、变换换变变为为B,则则A的的行行向向量量组组与与B的的行行向向量量组组等等价价,而而A的的任任意意k个个列列向向量量与与B中对应的中对应的k个列向量个列向量有相同的有相同的线性关系线性关系。例例11 求下列向量组求下列向量组 的一个极大线性无关组与秩。的一个极大线性无关组与秩。解解 作作 行摆列变换法或行摆列变换法或列摆行变换法列摆行变换法。53湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤所以所以 为一个极为一个极大无关组，且秩等于大无关组，且秩等于3。54湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵:若若有有零零行行,则则零零行行全全部部在在矩矩阵阵的的下下方方;从从第第一一行行
36、起起,每每行行第第一一个个非非零零元元素素前前面面零零的的个个数数逐逐行行增增加加.对对于于这这样样的的矩矩阵阵，可可画画出出一一条条阶阶梯梯线线,线线的的下下方方全全为为0;每每个个台台阶阶只只有有一一行行,台台阶阶数数即即是是非非零零行行数数.它它的的秩就是非零行的个数秩就是非零行的个数.205208001 13600000322000001 104000006510例如例如55湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤Ar2 -2 r1r3 +2 r1r4 -3 r12-24002001 1-121-600-31051r3 r2r4+3 r221r2 2-22000001 1-1100000
37、105151r3 r4 -r3=B12-22000001 1-11000001010因为行阶梯形矩阵因为行阶梯形矩阵B1有有3个非零行，所以个非零行，所以R(A)=3例例 用初等变换求矩阵用初等变换求矩阵A的秩。的秩。=A2-28-42-24-21 1-1030-63-6123456湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤如果继续施行如果继续施行行初等变换行初等变换，还可以化为更简单的形式，还可以化为更简单的形式 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵B2的特点是，的特点是，非零行的第一个非零元非零行的第一个非零元素为素为1，且，且1所在列的其他元素都为所在列的其他元素都为0，这样的矩阵为，这样的矩阵为行最简
38、形矩阵行最简形矩阵。B1r1 -r2r1 -r321r2 0-22000001 1-21000000010=B20-21000001 1-20000000102157湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤若再经若再经列初等变换列初等变换，还可以化为更简单的形式，还可以化为更简单的形式c2 +2c1c4 +2c121c4 -c3c(2,3)c(3,5)001000001 1000000001021001000001 100000000100=B3000101001 100000000000称为称为A的的等价标准型等价标准型。=B20-21000001 1-200000001021特点：特点：58
39、湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定义定义13 如果矩阵如果矩阵A经有限次经有限次初等变换初等变换化成化成B，就称，就称矩阵矩阵A与与B等价等价。59湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤矩阵的等价关系具有下列性质：矩阵的等价关系具有下列性质：(1)反身性反身性：A与与A等价。等价。(2)对称性对称性：如果：如果A与与B等价，那么等价，那么B与与A等价。等价。(3)传递性传递性：如果：如果A与与B等价，等价，B与与C等价，等价，那么那么A与与C等价。等价。定理定理13 如果矩阵如果矩阵A与与B等价，那么等价，那么R(A)R(B)。定定理理14 每每个个矩矩阵阵都都有有等等价价标标准准形形，
40、矩矩阵阵A与与B等等价价，当且仅当它们有相同的等价标准形。当且仅当它们有相同的等价标准形。推论推论 两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等。相等。60湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定义定义 设设A为为n阶方阵阶方阵,若若AE,则称则称A为为满秩矩阵满秩矩阵;否否则称为则称为降秩矩阵降秩矩阵.所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.61湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤小结小结、矩阵的初等变换（、矩阵的初等
41、变换（Elementary transformationElementary transformation）初等行初等行(列列)变换变换2 2、经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵 ，如果矩阵如果矩阵就称矩阵就称矩阵，记作，记作3 3、矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质62湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤利用初等利用初等行行变换可把矩阵变换可把矩阵 化为化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵.利用初等利用初等行行变换，也可把矩阵化为变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵行最简形矩阵.4 4、利用初等利用初等行行变换，再利用初等变换，再利用初等列列变换最后可把矩变换最后可把矩阵阵化为化为
42、标准形矩阵标准形矩阵.5 5、矩阵的秩矩阵的秩最高阶非零子式的最高阶非零子式的阶阶数数行阶梯形矩阵非零行的行数行阶梯形矩阵非零行的行数行最简形矩阵非零行的行数行最简形矩阵非零行的行数标准形矩阵中单位矩阵的标准形矩阵中单位矩阵的阶阶数数63湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定定义义14 由由单单位位矩矩阵阵E经经过过一一次次初初等等变变换换得得到到的的矩矩阵阵称为称为初等矩阵初等矩阵。初等矩阵都是方阵，互换初等矩阵都是方阵，互换E的第的第i行与第行与第j行（或者互行（或者互换换E的第的第i列与第列与第j列）的位置，得列）的位置，得,(j)1101111011OLMOMLO=iEMMLL6 初
43、等变换与求矩阵的逆64湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤用常数用常数k乘乘E的第的第i行行（或（或i列），得列），得把把E的第的第j行的行的k倍加倍加到第到第i行（或第行（或第i列的列的k倍加到第倍加到第j列）得列）得 65湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵66湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤这三类矩阵就是全部的初等矩阵，有这三类矩阵就是全部的初等矩阵，有 E(i,j)-1E(i,j)E(i(k)-1=E(i(1/k),E(i+j(k)-1=E(i+j(-k)定理定理15 对一个对一个sn矩阵矩阵A作一初等作
44、一初等行行变换就相当于在变换就相当于在A的的左边乘上相应的左边乘上相应的ss初等矩阵初等矩阵；对；对A作一初等作一初等列列变换变换就相当于在就相当于在A的的右边乘上相应的右边乘上相应的nn初等矩阵初等矩阵。推推论论1 矩矩阵阵A与与B等等价价的的充充分分必必要要条条件件是是有有初初等等方方阵阵P1，P2，Ps，Q1，Qt使使 AP1P2PsBQ1Qt 67湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤推论推论2 nn矩阵矩阵A可逆的充分必要条件它能表成一可逆的充分必要条件它能表成一些些初等矩阵的乘积初等矩阵的乘积。推推论论3 两两个个sn矩矩阵阵A、B等等价价的的充充分分必必要要条条件件为为存存在可逆
45、的在可逆的ss矩阵矩阵P与可逆的与可逆的nn矩阵矩阵Q使使 A=PBQ推论推论4 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。单位矩阵。68湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤初等变换法求逆矩阵初等变换法求逆矩阵 方法是：方法是：69湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤例例 设设 求求A-1。解解 对对(AE)作初等作初等行行变换变换 70湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤71湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤 小结小结1.1.初等行初等行(列列)变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型同且变换类型同3.
46、3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质2 2.初等变换初等变换4.4.单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵.一次初等变换一次初等变换5.5.利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是:72湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤用初等变换解矩阵方程：用初等变换解矩阵方程：思考题思考题,求，求，使使即即初等行变换初等行变换73湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定定义义15 设设V为为n维维向向量量的的集集合合，如如果果V非非空空且且对对于于向向量量加加法法及及数数乘乘运运算算封封闭闭，即即对对任任意意的的 和和常常数数k都有都有 就称集合就称集合V为一个为一个向量空间向量空间。例例1
47、 n维维向向量量的的全全体体Rn构构成成一一个个向向量量空空间间。3维维向向量量可可以以用用有有向向线线段段来来表表示示，所所以以R3也也可可以以看看作作以以坐坐标标原原点为起点的有向线段的全体。点为起点的有向线段的全体。例例2 n维零向量所形成的集合维零向量所形成的集合0构成一个向量空间。构成一个向量空间。7 向量空间74湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤例例3 3 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间.解解有有所以是一个向量空间所以是一个向量空间.解解所以不是一个向量空间所以不是一个向量空间.75湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤例4 集合是一个向量空间.因为如果则
48、例5 集合不是向量空间.因为若则取 ，则从而所以，76湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤 例6 设 为一个已知向量组，记则 为一个向量空间并且称 为由所生成的向量空间.证 若所以V为向量空间.77湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定义定义由向量组由向量组的一切线性组合构成的集合的一切线性组合构成的集合称为称为由由生成的生成的向量空间向量空间，记为：，记为：定理 两个等价的向量组生成的向量空间相同.证 设 是由向量组 生成的向量空间，是由向量组 生成的向量空间，而 与 等价.下证任取 则一定存在 使得即同理可证 所以，78湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤定义定义16 如果如果V1和
49、和V2都是向量空间且都是向量空间且 ,就称就称V1是是V2的的子空间子空间。(2)V中任意向量都可以经中任意向量都可以经 线性表出线性表出，那么，向量组那么，向量组 就称为就称为V的一个的一个基基，r称称为为V的的维数维数，并称，并称V为一个为一个r维向量空间维向量空间。定义定义17 设设V为一个向量空间。如果为一个向量空间。如果V中的向量组中的向量组 满足满足(1)线性无关线性无关；如如果果向向量量空空间间V没没有有基基，就就说说V的的维维数数为为0，0维维向向量量空空间只含一个间只含一个零向量零向量。如果把向量空间如果把向量空间V看作向量组，那么看作向量组，那么V的基就是它的极大的基就是它
50、的极大线性无关组，线性无关组，V的维数就是它的秩的维数就是它的秩。当当V由由n维向量组成维向量组成时，它的维数不会超过时，它的维数不会超过n。79湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤例例 设设 验证验证 是是R3的一个基并将的一个基并将 用这个基线性用这个基线性表示出来。表示出来。解解 由由 知知 线性无关，线性无关，因此因此 是是R3的一个基的一个基。80湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤如果如果P1，P2，Pl为初等矩阵，使为初等矩阵，使 P1P2PlA=E,则则A-1=P1P2Pl 因此只需对矩阵因此只需对矩阵(AB)作初等行变换，当把作初等行变换，当把A变为变为E时，时，B就变成