最新向量组与矩阵的秩幻灯片.ppt

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1、湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤2向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M为为起起点点，2M为为终终点点的的有有向向线线段段.1M2M a21MM零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .从二维、三维向量谈起从二维、三维向量谈起或或或或单位向量：单位向量：模长为模长为1 1的向量的向量. .湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤湖南科技大学湖南科技大学 吴

2、晓勤吴晓勤湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤9矩阵与向量的关系：矩阵与向量的关系：n维列向量组维列向量组 可以排成一个可以排成一个ns矩阵矩阵 s ,21),(21sB 其中其中 为由为由B的第的第j行形成的子块，行形成的子块， 称为称为B的列向量组的列向量组。 j s ,212 线性相关与线性无关通常把通常把维数相同的一组向量维数相同的一组向量简称为一个简称为一个向量组向量组，n维行向量组维行向量组 可以排列成一个可以排列成一个sn分块矩阵分块矩阵 s ,21 s 21其中其中 为由为由A的第的第i行形成的子块，行形成的子块， 称为称为A的行向量组的

3、行向量组。 i s ,21湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤10定义定义5 向量组向量组 称为称为线性相关线性相关的，如果有的，如果有不全为零的数不全为零的数k1,k2,ks，使，使s ,21022111 sssiiikkkk 反之，如果只有在反之，如果只有在k1=k2=ks=0时上式才成立，就时上式才成立，就称称 线性无关线性无关。 s ,21当当 是行向量组时，它们线性相关就是指有是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的非零的1s矩阵（矩阵（k1,k2,ks）使）使 s ,210),(2121 sskkk 湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤11当当 为列向量时，它们线性相关就是指有

4、非为列向量时，它们线性相关就是指有非零的零的s1矩阵矩阵 ，使，使 ),(21 skkks ,210),(2121 sskkk 湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤12例例1 判断向量组判断向量组 )1 , 0 , 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1(21n 的线性相关性。的线性相关性。解解 对任意的常数对任意的常数k1,k2,kn，令令 ),(212211nnnkkkkkk 所以所以 02211 nnkkk 当且仅当当且仅当k1=k2=kn=0 因此因此 线性无关。线性无关。n ,21称为基本单位向量。n,21湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤13例例2 讨论向量组讨论

5、向量组1321 1212 -1233 的线性相关性。的线性相关性。解解 对任意的常数对任意的常数k1,k2, k3，令令 0221133kkk 即即213kkk=0312-111223 002131kkkk2 23k 021kk- -3k22k 33k1= -4 , k2 =5, k3= 1所以所以 1 , 2 , 3 线性相关线性相关.湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤14例例3 设向量组设向量组 线性无关，线性无关， ， ， ，试证向量组，试证向量组 也也线性无关。线性无关。 321, 211 322 133 321, 证证 对任意的常数，令对任意的常数，令 )()()(3222113

6、1332211kkkkkkkkk 设有设有k1,k2,k3,使使 0332211 kkk由由 线性无关，故有线性无关，故有 321, 000322131kkkkkk由于满足由于满足k1,k2,k3的取值只有的取值只有k1=k2=k3=0所以所以 线性无关。线性无关。 321, 湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤15一般地一般地,判断一个向量组判断一个向量组 1, 2, m线性相关的基本线性相关的基本方法和步骤是方法和步骤是:1)假定存在一组数假定存在一组数k1,k2,km ，使使 k1 1+k2 2+km m=0;2)应用向量的线性运算和向量相等的定义应用向量的线性运算和向量相等的定义,找

7、出含未找出含未知量知量k1,k2,km的齐次线性方程组的齐次线性方程组;3)判断方程组有无非零解判断方程组有无非零解;4)如有非零解如有非零解,则则 1, 2, m线性相关线性相关;如仅有零解如仅有零解,则则 1, 2, m线性无关线性无关.湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤16定义定义6 向量向量 称为向量组称为向量组 1, 2, t的一个的一个线性组合线性组合，或者说或者说 可由向量组可由向量组 1, 2, t线性表出线性表出( (示示) ), ,如果有如果有常数常数k1,k2,kt,使使 =k1 1+k2 2+kt t.此时，也记此时，也记t1iiik例例1试问下列向量试问下列向量

8、能否由其余向量线性表示能否由其余向量线性表示,若能若能,写写出线性表示式出线性表示式:1) =(2,3,-1,-4),e1=(1,0,0,0), e2=(0,1,0,0), e3=(0,0,1,0), e4=(0,0,0,1).2) =(1,1,1), 1=(0,1,-1), 2=(1,1,0), 3=(1,0,2);湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤17解：令解：令 =k1 1 +k2 2+k3 3于是得线性方程组于是得线性方程组k2+k3=1k1+k2=1-k1+2k3=1解方程组得解方程组得k1=k3=1,k2=0即即 = 1+0 2+ 3湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤18定

9、理定理1 向量组向量组 （s2）线性相关的充要条件）线性相关的充要条件是其中是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出至少有一个向量能由其他向量线性表出。 s ,21证证 设设 中有一个向量能由其他向量线性表中有一个向量能由其他向量线性表出，出，s ,21sskkk 332210221 - -sskk 所以所以 线性相关。线性相关。 s ,21s ,21如果如果 线性相关，就有不全为零的数线性相关，就有不全为零的数k1,k2,ks，使，使 02211 sskkk 设设k10,那么那么 sskkkkkk 13132121- - - - - 即即 能由能由 线性线性表出。表出。1 s ,32湖南科技

10、大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤19例如例如，向量组，向量组 是线性相关的，因为是线性相关的，因为 2133 - - )1 , 3 , 1, 2(1- - )4 , 5 , 2, 4(2- - )1, 4 , 1, 2(3- - - 1 一个向量线性相关一个向量线性相关=0;无关无关 0. 两个向量线性相关两个向量线性相关对应元素成比例对应元素成比例;无关无关对应对应元素不成比例元素不成比例.2 三个向量线性相关的几何意义是它们共面。三个向量线性相关的几何意义是它们共面。湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤20定理定理2 设向量组设向量组 线性无关，而向量组线性无关，而向量组 线性相关，则线性

11、相关，则 能由向量组能由向量组线性表出，且表示式是唯一的。线性表出，且表示式是唯一的。 t ,21 ,21t t ,21证证 由于由于 线性相关，就有不全为零的线性相关，就有不全为零的数数k1,k2, kt,k，使，使 ,21t02211 kkkktt由由 线性无关有线性无关有k0。 t ,21ttkkkkkk - - - - - 2211即即 可由可由 线性表出。线性表出。 t ,21湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤21 ttthhhlll 22112211设设为两个表达式。为两个表达式。 0)()()()()(22211122112211 - - - - - - - - - -ttt

12、tttthlhlhlhhhlll 且且 线性无关线性无关 t ,21得到得到 l1=h1, l2=h2, ，lt=ht 因此表示式是唯一的。因此表示式是唯一的。 湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤22定义定义7 如果向量组如果向量组 中每个向量都可以由中每个向量都可以由 线性表出，就称向量组线性表出，就称向量组 可由可由 线性表出，如果两个向量组互相可以线性表出，如果两个向量组互相可以线性表出，就称它们线性表出，就称它们等价等价。s ,21t ,21s ,21t ,21每一个向量组都可以经它自身线性表出。每一个向量组都可以经它自身线性表出。同时，如果向量组同时，如果向量组 可以经向量组可以

13、经向量组 线性表出，向量组线性表出，向量组 可以经向量组可以经向量组 线性表出，那么向量组线性表出，那么向量组 可以经向量组可以经向量组 线性表出。线性表出。s ,21t ,21s ,21t ,21p ,21p ,21湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤23向量组向量组 中每一个向量都可以经向量组中每一个向量都可以经向量组 线性表出。因而，向量组线性表出。因而，向量组 可以经向量组可以经向量组 线性表出。线性表出。 s ,21p ,21s ,21p ,21 tjjijisik1, 2 , 1, pmmmjjtjl1, 2 , 1, 如果如果mtjpmtjpmpmtjjmijmjmijmjmi

14、jilklklk 111111)(有有湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤24向量组的等价具有下述性质：向量组的等价具有下述性质： (1)反身性反身性：向量组：向量组 与它自己等价；与它自己等价； s ,21(2)对称性对称性:如果向量组如果向量组 与与 等价，等价，那么那么 也与也与 等价。等价。s ,21s ,21t ,21t ,21(3)传递性传递性:如果向量组如果向量组 与与 等价，等价，而向量组而向量组 又与又与 等价等价,那么那么 与与 等价。等价。t ,21s ,21t ,21p ,21p ,21s ,21湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤251122rrkkk 线性线性表

15、示表示线性组合线性组合组合系数组合系数线性相关线性相关线性无关线性无关定理定理向量组线性无关向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；齐次线性方程组只有零解；定理定理向量组线性相关向量组线性相关齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解. .推论推论个维向量个维向量线性相关线性相关. .0ija 推论推论个维向量个维向量线性无关线性无关. .0ija 湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤26向量组向量组至少有一个向量可由其余向至少有一个向量可由其余向量量 定理定理向量组向量组任何向量都不能由其余向量任何向量都不能由其余向量 定理定理定理定理向量组线性无关向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；齐

16、次线性方程组只有零解；定理定理向量组线性相关向量组线性相关齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解. .推论推论个维向量个维向量线性相关线性相关. .0ija 推论推论个维向量个维向量线性无关线性无关. .0ija 湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤27思考题：判断对错1. 若向量组若向量组 线性相关，那么其中每个向线性相关，那么其中每个向量可经其它向量线性表示。量可经其它向量线性表示。 s ,212. 如果向量组如果向量组 可经由向量可经由向量 线线性表示，且性表示，且 线性相关，那么线性相关，那么 也也线性相关。线性相关。s ,21m,21s,213. 如果向量如果向量 可经由向量

17、组可经由向量组 线性线性表示，且表示是唯一的，那么表示，且表示是唯一的，那么 线性线性无关。无关。 s ,21s ,21m,21湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤28思考题解答1. 错，错，2. 错，错，3. 对对湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤29定理定理3 有一个有一个部分组线性相关部分组线性相关的向量组线性相关。的向量组线性相关。 设这个部分组为设这个部分组为 。则有不全为零的数。则有不全为零的数k1,k2, ,kr，使，使 r ,21证证 设向量组设向量组 有一个部分组线性相关。有一个部分组线性相关。s ,21 sirisrjjiiiik

18、k11100 因此因此 也线性相关。也线性相关。 s ,21推论推论 含有零向量的向量组必线性相关。含有零向量的向量组必线性相关。 3 线性相关性的判别定理湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤30定理定理4 设设p1,p2, ,pn为为1，2，n的一个排列，的一个排列， 和和 为两向量组，其中为两向量组，其中 s ,21s ,21 nipipipiiniiiaaaaaa21,21 即即 是对是对 各分量的顺序进行各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有重排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的相同的线性相关性线性相关性。 s ,21s ,21证证 对任意的常数对任意的常数k1,k

19、2,ks， 湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤31 sisnsnnssssiiakakakakakakakakakk1221122221211212111 sispsppspsppspsppiinnnakakakakakakakakakk1221122112211222121 上两式只是各分量的排列顺序不同，因此上两式只是各分量的排列顺序不同，因此 02211 sskkk 当且仅当当且仅当 02211 sskkk 所以所以 和和 有相同的线性相关性。有相同的线性相关性。 s ,21s ,21湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤32(2)如果如果 线性无关，线性无关， 那么那么 也线性无关

20、。也线性无关。 s ,21s ,21s ,21s ,21s ,21s ,21定理定理5在在r维向量组维向量组 的各向量添上的各向量添上n-r个分个分量变成量变成n维向量组维向量组 。(1)如果如果 线性相关，线性相关， 那么那么 也线性相关。也线性相关。 证证 对列向量来证明定理。对列向量来证明定理。121),(As 2121),(AAs 湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤330),(212121 XAXAXAAXs 0),(121 XAXs 从从而而利用利用(1)式式,用反证法容易证明用反证法容易证明(2)式也成立。式也成立。因此因此, 也线性相关也线性相关,即即(1)式成立。式成立。s

21、 ,21如果如果 线性相关线性相关,就有一个非零的就有一个非零的s 1矩阵矩阵X,使使 s ,21湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤34引理引理1 如果如果n阶方阵阶方阵A的行列式等于零的行列式等于零,那么那么A的行的行(列列)向量组线性相关。向量组线性相关。定理定理6 n维向量组维向量组 线性无关的充要条件线性无关的充要条件是矩阵是矩阵 n,21 nnnnnnnaaaaaaaaaA21222211121121 的行列式不为零的行列式不为零(A可逆可逆)。此时。此时,矩阵矩阵A的的n个列向量也个列向量也线性无关。线性无关。证：证：如果如果 A 0 0，即，即A可逆，可逆，(k1,k2, ,

22、kn)A=0两边同时右乘两边同时右乘A-1得得 (k1,k2, ,kn) = 0湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤35定理定理7 n+1个个n维向量组维向量组 必线性相关。必线性相关。121, n 推论推论 当当mn时时,m个个n维向量组线性相关。维向量组线性相关。 所以所以 线性无关线性无关 。 s ,21反过来，如果反过来，如果 线性无关，反设线性无关，反设 A 00，由，由引理引理1 1，A A的行向量组的行向量组 线性相关，矛盾。线性相关，矛盾。n,21n,21由上面的证明可以看出，当由上面的证明可以看出，当 A 0 0时，时， A A 0 0，可见，可见A A的的n个列向量也线性

23、无关。个列向量也线性无关。湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤36例例1讨论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性:1)(2,3),(-3,1),(0,-2);2)(1,2,3),(2,2,1),(3,4,3);3)(1,3,-2,2),(0,2,-1,3),(-2,0,1,5).解解：1)32,所以线性相关所以线性相关2)三个行向量排成一列，构成方阵，其行列式为三个行向量排成一列，构成方阵，其行列式为2 0，所以线性无关。所以线性无关。3） 2(1,3,-2,2)-3(0,2,-1,3)+(-2,0,1,5)=0所以线性相关。所以线性相关。湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤3

24、7(2)如果如果 线性无关，线性无关， 那么那么 也线性无关。也线性无关。 s ,21s ,21s ,21s ,21s ,21s ,21定理定理5在在r维向量组维向量组 的各向量添上的各向量添上n-r个分个分量变成量变成n维向量组维向量组 。(1)如果如果 线性相关，线性相关， 那么那么 也线性相关。也线性相关。 复习复习湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤38引理引理1 如果如果n阶方阵阶方阵A的行列式等于零的行列式等于零,那么那么A的行的行(列列)向量组线性相关。向量组线性相关。定理定理6 n维向量组维向量组 线性无关的充要条件线性无关的充要条件是矩阵是矩阵 n,21 nnnnnnnaa

25、aaaaaaaA21222211121121 的行列式不为零的行列式不为零(A可逆可逆)。此时。此时,矩阵矩阵A的的n个列向量也个列向量也线性无关。线性无关。定理定理7 n+1个个n维向量组维向量组 必线性相关。必线性相关。121, n 推论推论 当当mn时时,m个个n维向量组线性相关。维向量组线性相关。 湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤39定理定理8 如果向量组如果向量组 可由可由 线性线性表出且表出且st，那么，那么 线性相关。线性相关。 t,21s ,21s ,21推论推论1 如果向量组如果向量组 ，可由向量组，可由向量组 线性表出，且线性表出，且 线性无关，那么线性无关，那么 。

26、 t,21s ,21s ,21ts 推论推论2 两个线性无关的等价的向量组必含有相同个两个线性无关的等价的向量组必含有相同个数的向量。数的向量。 湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤40定义定义8 一向量组的一个部分组称为一个一向量组的一个部分组称为一个极大线性无极大线性无关组关组，如果这个部分组本身是，如果这个部分组本身是线性无关线性无关的，并且从这的，并且从这向量组中向这部分组任意添一个向量（如果还有的向量组中向这部分组任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分组都话），所得的部分组都线性相关线性相关。 例例 7 在向量组中，在向量组中， 为它的一个极大线性无关组。为它的一个极大线性无关

27、组。 )1, 4 , 1, 2(),4 , 5 , 2, 4(),1 , 3 , 1, 2(321- - - - - - - 21, 首先，由首先，由 与与 的分量不成比例，的分量不成比例， 线性无关。线性无关。21, 1 2 再添入再添入 以后，由以后，由 可知所得部分组线可知所得部分组线性相关，不难验证性相关，不难验证 也为一个极大线性无关组。也为一个极大线性无关组。 3 2133 - - 32, 4 向量组的秩与矩阵的秩湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤41定义定义8 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是关组，如果这个

28、部分组本身是线性无关线性无关的，并且这的，并且这向量组中任意向量都可由这部分组线性表出。向量组中任意向量都可由这部分组线性表出。 向量组的极大线性无关组具有的向量组的极大线性无关组具有的性质性质： 性质性质1 一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。性质性质2 一向量组的任意两个极大线性无关组都等价。一向量组的任意两个极大线性无关组都等价。性质性质3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的 向量。向量。 湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤42定义定义9 向量组的极大线性无关组所含向量组的极大线性无关组所含

29、向量的个数向量的个数称称为这个为这个向量组的秩向量组的秩。 如果向量组如果向量组 能由向量组能由向量组 线线性表出，那么性表出，那么 的极大线性无关组可由的极大线性无关组可由 的极大线性无关组线性表出。因此的极大线性无关组线性表出。因此 的秩不超过的秩不超过 的秩。的秩。 s ,21s ,21s ,21s ,21s ,21s ,21定理定理9 向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为一个极大线性无关组。一个极大线性无关组。 推论推论 秩为秩为r的向量组中任意含的向量组中任意含r个向量的个向量的线性无关线性无关的部分组的部分组都是极大线性无关组。都是极大线性无

30、关组。 湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤43例 求向量组,) 1 , 0 , 0(,)0 , 1 , 0(,)0 , 0 , 1 (321TTTaaaTTaa)0 , 1 , 1 (,) 1 , 1 , 1 (54321,aaa54321,aaa的秩，并求出它的一个最大无关组.解 显然， 线性无关， 中任意一个向量都可由 线性表示，由321,aaa定义8， 为向量组的一个最大无关组，321,aaa且所给向量组的秩为3.湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤44下面讨论向量组的秩与矩阵的秩之间的关系：设矩阵nmmnmmnnnmaaaaaaaaaA2121212222111211其中 为矩阵

31、 的行向量组，m,21An,21称为矩阵 的列向量组.A湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤45定义定义10 矩阵的矩阵的行秩行秩是指它的行向量组的秩，矩阵是指它的行向量组的秩，矩阵的的列秩列秩是指它的列向量组的秩。是指它的列向量组的秩。 定义定义11 在一个在一个m n矩阵矩阵A中任意选定中任意选定k行和行和k列，位于列，位于这些选定的行和列的交点上的这些选定的行和列的交点上的k2个元素按原来的次序个元素按原来的次序所组成的所组成的k k级矩阵的行列式级矩阵的行列式，称为，称为A的一个的一个k级级子式子式。 1最低阶为最低阶为 阶，阶，最高阶为最高阶为 阶阶. .min, m nnm 矩阵

32、共有矩阵共有 个个 阶子式阶子式. .kkmnC Ck湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤46如：矩阵如：矩阵139301342396A- -取第取第1 1行、第行、第3 3行和第行和第1 1列、第列、第4 4列交叉处的元素，列交叉处的元素，126231 - -二阶子式是二阶子式是组成的组成的的最高阶子式是的最高阶子式是3 3阶，共有阶，共有4 4个个3 3阶子式阶子式. .A易见易见而在这个矩阵中而在这个矩阵中, , 9- -130123-都是矩阵都是矩阵 的子矩阵的子矩阵. .A13930134- - - - 湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤47引理引理2 设设 ，n维向量组维向量

33、组 线性无关的线性无关的充要条件是矩阵充要条件是矩阵 nr r ,21 rnrrnnraaaaaaaaaA21222211121121 中中存在一个不为零的存在一个不为零的r级子式级子式。湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤48定理定理10 矩阵的行秩等于列秩。矩阵的行秩等于列秩。由此由此, A的列秩的列秩(A的行秩的行秩r1) A的行秩的行秩(A的列秩的列秩r2),即有即有 。因此。因此21rr 21rr 证证 设矩阵设矩阵A的行秩为的行秩为r1,A的列秩为的列秩为r2。那么那么, A中有中有r1个行向量线性无关个行向量线性无关,由引理由引理2统称矩阵的行秩和列秩为统称矩阵的行秩和列秩为矩

34、阵的秩矩阵的秩,矩阵矩阵A的秩一般的秩一般记为记为R(A)。规定零矩阵的秩为。规定零矩阵的秩为0。21rr A中有一个中有一个r1级子式级子式D不为零不为零,那么那么A中子式中子式D所在的所在的r1个列向量也线性无关个列向量也线性无关;因而因而湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤49定理定理11 矩阵矩阵A的秩为的秩为r的充要条件是它有一个不为的充要条件是它有一个不为零的零的r阶子式而所有阶子式而所有r+1阶子式全为零阶子式全为零,这时这时,这个非零这个非零的的r级子式所在的行和列就分别为级子式所在的行和列就分别为A的行向量组和列的行向量组和列向量组的极大线性无关组。向量组的极大线性无关组。

35、1.若若A为为m n矩阵矩阵,则则A的秩不会大于矩阵的行数的秩不会大于矩阵的行数,也也不会大于矩阵的列数不会大于矩阵的列数,即即r(A) minm,n;2.r(AT)=r(A),r(kA)=r(A),k为非零常数为非零常数;3.若若r(A)=r,则则A中所有大于中所有大于r阶的子式全为阶的子式全为0,即即r为为A中不等于中不等于0的子式的最大阶数的子式的最大阶数;4.若若A的所有的所有r+1阶子式都为阶子式都为0,则则r(A)r+1;5.若若A中存在一个中存在一个r阶子式不为阶子式不为0,则则r(A) r.湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤50例10 已知以下矩阵A的秩为3，求a的值。11

36、1111111111aaAaa湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤51作作 业业P72P72：1111，1515（1 1），），1919（2 2）习题一习题一 P 71P 71： 2 2，4 4（3 3），），5,65,6湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤52 矩阵的初等行变换都是可逆的矩阵的初等行变换都是可逆的,且其逆变换也是且其逆变换也是同类的初等行变换。同类的初等行变换。定义定义12 下面的三种变换称为下面的三种变换称为矩阵的矩阵的初等初等行行变换变换: (1)对换矩阵两行的位置对换矩阵两行的位置 对换第对换第i行和第行和第j行的位置记为行的位置记为r(i,j). (2)矩阵的某行

37、所有元素同乘以一个非零常数矩阵的某行所有元素同乘以一个非零常数 第第i行乘以行乘以k记为记为r(i(k)(3)把矩阵一行所有元素的把矩阵一行所有元素的k倍加到另一行对应的倍加到另一行对应的 元素上去元素上去第第i行的行的k倍加到第倍加到第j行上去记为行上去记为r(j+i(k)5 矩阵的初等变换湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤53定理定理12 如果矩阵如果矩阵A经过有限次初等经过有限次初等行行变换变为变换变为B,则则A的行向量组与的行向量组与B的行向量组的行向量组等价等价,而而A的任意的任意k个列向量个列向量与与B中对应的中对应的k个列向量个列向量有相同的有相同的线性关系线性关系。例例11

38、 求下列向量组求下列向量组 )4 , 3 , 6, 2(),3 , 2 , 6 , 0(),3 , 0 , 2 , 1(),3 , 1, 4 , 2(),3 , 2 , 2, 1(54321- - - - - - - - - 的一个极大线性无关组与秩。的一个极大线性无关组与秩。 解解 作作 - - - - - - 43333320126624220121A - - - - - - - - - 23690122302600020121)3(14()2(13()2(12(rrr行摆列变换法或行摆列变换法或列摆行变换法列摆行变换法。湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤54 - - - - - -

39、26000236901223020121)4,3()3,2(rr - - - - - -23690122302600020121 - - - - - - - 26000130001223020121)3(23(r - - - - - 00000130001223020121)2(34(r所以所以 为一个极为一个极大无关组，且秩等于大无关组，且秩等于3。421, 湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤55行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵:若有零行若有零行,则零行全部在矩阵的下方则零行全部在矩阵的下方;从第一行起从第一行起,每行第一个非零元素前面零的个数逐行每行第一个非零元素前面零的个数逐行增加增加.对于

40、这样的矩阵，可画出一条对于这样的矩阵，可画出一条阶梯线阶梯线,线的下方线的下方全为全为0;每个台阶只有一行每个台阶只有一行,台阶数即是非零行数台阶数即是非零行数.它的它的秩就是非零行的个数秩就是非零行的个数.205208001 13600000322000001 104000006510例如例如湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤56Ar2 - 2 r1r3 2 r1r4 - 3 r12-24002001 1-121-600-31051r3 r2r4 +3 r221r2 2-22000001 1-1100000105151r3 r4 - r3=B12-22000001 1-110000010

41、10因为行阶梯形矩阵因为行阶梯形矩阵B1有有3个非零行，所以个非零行，所以R(A)=3例例 用初等变换求矩阵用初等变换求矩阵A的秩。的秩。 A2-28-42-24-21 1-1030-63-61234湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤57如果继续施行如果继续施行行初等变换行初等变换，还可以化为更简单的形式，还可以化为更简单的形式 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵B2的特点是，的特点是，非零行的第一个非零元非零行的第一个非零元素为素为1，且，且1所在列的其他元素都为所在列的其他元素都为0，这样的矩阵为，这样的矩阵为行最简形矩阵行最简形矩阵。B1r1 - r2r1 - r321r2 0-2200000

42、1 1-21000000010=B20-21000001 1-200000001021湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤58若再经若再经列初等变换列初等变换，还可以化为更简单的形式，还可以化为更简单的形式c2 2c1c4 2c121c4 - c3c (2,3)c(3,5)001000001 1000000001021001000001 100000000100=B3000101001 100000000000称为称为A的的等价标准型等价标准型。=B20-21000001 1-200000001021.为零单位矩阵，其余元素全标准型的左上角是一个特点：特点：湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴

43、晓勤59标标准准形形总总可可经经过过初初等等变变换换化化为为矩矩阵阵 Anm nmrOOOEF .,的的行行数数行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行就就是是三三个个数数唯唯一一确确定定，其其中中此此标标准准形形由由rrnm定义定义13 如果矩阵如果矩阵A经有限次经有限次初等变换初等变换化成化成B，就称，就称矩阵矩阵A与与B等价等价。 湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤60矩阵的等价关系具有下列性质：矩阵的等价关系具有下列性质： (1)反身性反身性：A与与A等价。等价。 (2)对称性对称性：如果：如果A与与B等价，那么等价，那么B与与A等价。等价。 (3)传递性传递性：如果：如果A与与B

44、等价，等价， B与与C等价，等价， 那么那么A与与C等价。等价。 定理定理13 如果矩阵如果矩阵A与与B等价，那么等价，那么R(A)R(B) 。定理定理14 每个矩阵都有等价标准形，矩阵每个矩阵都有等价标准形，矩阵A与与B等价，等价，当且仅当它们有相同的等价标准形。当且仅当它们有相同的等价标准形。推论推论 两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等。相等。 湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤61定义定义 设设A为为n阶方阵阶方阵,若若AE,则称则称A为为满秩矩阵满秩矩阵;否否则称为则称为降秩矩阵降秩矩阵. 所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个

45、集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.A湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤62小结小结、矩阵的初等变换（、矩阵的初等变换（Elementary transformationElementary transformation）初等行初等行( (列列) )变换变换2 2经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵 ，如果矩阵如果矩阵AB就称矩阵就称矩阵AB与与等等价价AB;反反身身性性，记作，记作3 3矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质;对对称称性性. 传传递递性性湖南科技大学湖南科技大学

46、吴晓勤吴晓勤63利用初等利用初等行行变换可把矩阵变换可把矩阵 化为化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵. .A利用初等利用初等行行变换，也可把矩阵化为变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵行最简形矩阵. .4 4利用初等利用初等行行变换，再利用初等变换，再利用初等列列变换最后可把矩变换最后可把矩阵阵化为化为标准形矩阵标准形矩阵. .5 5矩阵的秩矩阵的秩 最高阶非零子式的最高阶非零子式的阶阶数数 行阶梯形矩阵非零行的行数行阶梯形矩阵非零行的行数 行最简形矩阵非零行的行数行最简形矩阵非零行的行数 标准形矩阵中单位矩阵的标准形矩阵中单位矩阵的阶阶数数湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤64定义定义14 由单位

47、矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为称为初等矩阵初等矩阵。初等矩阵都是方阵，互换初等矩阵都是方阵，互换E的第的第i行与第行与第j行（或者互行（或者互换换E的第的第i列与第列与第j列）的位置，得列）的位置，得 ,j1101111011OOOiE6 初等变换与求矩阵的逆湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤65用常数用常数k乘乘E的第的第i行行（或（或i列），得列），得行；行；第第i1111)(OOkkiE 把把E的第的第j行的行的k倍加倍加到第到第i行（或第行（或第i列的列的k倍加到第倍加到第j列）得列）得 行行第第行行第第ji1111)(OOOkkjiE 湖

48、南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤66初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤67这三类矩阵就是全部的初等矩阵，有这三类矩阵就是全部的初等矩阵，有 E(i,j)-1E(i,j)E(i(k)-1=E(i(1/k),E(i+j(k)-1=E(i+j(-k) 定理定理15 对一个对一个sn矩阵矩阵A作一初等作一初等行行变换就相当于变换就相当于在在A的的左边乘上相应的左边乘上相应的ss初等矩阵初等矩阵；对；对A作一初等作一初等列列变换就相当于在变换就相当于在A的的右边乘上相应的右边乘上相应的nn初等矩阵初等矩阵。 推论推论1 矩阵

49、矩阵A与与B等价的充分必要条件是有初等方阵等价的充分必要条件是有初等方阵P1，P2，Ps，Q1，Qt使使 AP1P2PsBQ1Qt 湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤68推论推论2 nn矩阵矩阵A可逆的充分必要条件它能表成一可逆的充分必要条件它能表成一些些初等矩阵的乘积初等矩阵的乘积。 推论推论3 两个两个sn矩阵矩阵A、B等价的充分必要条件为等价的充分必要条件为存在可逆的存在可逆的ss矩阵矩阵P与可逆的与可逆的nn矩阵矩阵Q使使 A=PBQ推论推论4 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。单位矩阵。 湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤6

50、9初等变换法求逆矩阵初等变换法求逆矩阵 方法是：方法是：，有有时时，由由当当lPPPAA21 0 ,11111EAPPPll - - - - -, 111111- - - - - - AEPPPll及及 EPPPAPPPllll1111111111- - - - - - - - - 1- - AE EAPPPll11111 - - - - -. )(2 1- - AEEAEAnn就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即对对湖南科技大学湖南科技大学 吴晓勤吴晓勤70例例 设设 - - 012411210A求求A-1。 解解 对对(AE)作初等作初等