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1、目录 上页 下页 返回 结束 二、二、函数的间断点函数的间断点 一、一、函数连续性的定义函数连续性的定义 第十节函数的连续性与间断点 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、函数连续性的定义函数连续性的定义1.1.变量的增量变量的增量设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初值的差 就叫做变量u的增量 记作即注：不表示某个变量 与u的乘积，而是一个整体不可分割的记号.目录 上页 下页 返回 结束 设函数y=f(x)在点 的某一个邻域内是有定义的 当自变量 在这邻域内从 变到 时函数y相应地从 变到 因此函数 y 的对应增量为其几何意义如右图所示：目录 上页 下页 返回 结束 2.函数连续
2、性的定义函数连续性的定义定义定义:在的某一邻域内有定义,设函数那么就称函数 在点 处连续 如果设则即目录 上页 下页 返回 结束 可见,函数在点定义定义:在的某一邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;前提条件目录 上页 下页 返回 结束 左连续与右连续左连续与右连续左连续右连续函数在点连续有下列等价命题:如果 存在且等于 即如果存在且等于 即左连续左连续:右连续右连续:目录 上页 下页 返回 结束 例例 1解解右连续但不左连续右连续但不左连续,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.目录 上页
3、下页 返回 结束 例例 2解解因为因为所以所以 f(x)在在 x=0 处连续处连续.目录 上页 下页 返回 结束 若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数连续函数.在闭区间上的连续函数的集合记作如果函数在开区间 内连续,并且在左端点处右连续,在右端点 处左连续,则称函数 在闭区间 上连续.简单地说，连续函数的图形能一笔画成。简单地说，连续函数的图形能一笔画成。目录 上页 下页 返回 结束 例例3.证明函数在内连续.证证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.目录 上页 下页 返回 结束 导致函数图象断导致函数图象断开的原因？开的原因？目录 上页 下页 返回
4、 结束 导致函数图象断开的原因：导致函数图象断开的原因：1、函数在函数在 处没有定义处没有定义2、函数在函数在 时极限不存在时极限不存在函数值不等函数值不等3、函数在函数在 处的极限值和处的极限值和oxy1212oxy2.5yxo12目录 上页 下页 返回 结束 在在二、二、函数的间断点函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一,函数 f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为不连续点不连续点或间断点间断点.在无定义;目录 上页 下页 返回 结束 为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如例如:目录 上页 下页 返
5、回 结束 显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.目录 上页 下页 返回 结束 间断点分类间断点分类:第一类间断点第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点可去间断点.为跳跃间断点跳跃间断点.为无穷间断点无穷间断点.为振荡间断点振荡间断点.目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4 讨论函数讨论函数的间断点的间断点.因此因此 x=0 是该函数的是该函数的可去间断点可去间断点.解解即该函数在即该函数在 x=0 处的左、处的左、但但是是由由于于xyO1右极限存在，右极限存在，目录 上页 下页 返回 结束 因
6、为，如果修改定义因为，如果修改定义 f(0)=1，在在 x=0 连续连续.则函数则函数xyO1目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点:跳跃间断点:左右极限不相等第二类间断点无穷间断点:振荡间断点:函数值在 的去心邻域(左右极限至少有一个不存在)在点间断的类型在点连续的等价形式(左右极限都存在)内变动无限多次左右极限相等,但不等于函数值或无定义目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.讨论函数x=2 是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示提示:在x=0 连续.答案答案:x=1 是第一类可去间断点,目录 上页 下页 返回 结束 作业作业
7、 P49 2(1)(2)(4);3;4(2)第九节 目录 上页 下页 返回 结束 求函数求函数 的间断点，并指出间断点的类型。的间断点，并指出间断点的类型。解：由函数的表达式可知，解：由函数的表达式可知，间间断点只能在无定断点只能在无定义处义处。因。因为为所以所以 为间为间断点。断点。而而所以所以 为为第二第二类类无无穷间穷间断点。断点。所以所以 为为第一第一类类可去可去间间断点。断点。目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题间断点的类型.解解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.1.P49 题 52.确定函数目录 上页 下页 返回 结束 分析分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。断点及其类型。求函数求函数 的所有间断点，并指出类型。的所有间断点，并指出类型。当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，解解:目录 上页 下页 返回 结束 故故 是是 的跳跃间断点的跳跃间断点;故故 也是也是 的跳跃间断点的跳跃间断点;因为因为因为因为所以所以