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1、（第二版）（第二版）l 函数的连续与间断的概念函数的连续与间断的概念l 间断点分类间断点分类l 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 1.5 1.5 函数的连续性函数的连续性2一、一、函数的连续与间断的概念函数的连续与间断的概念定义定义,若极限若极限 使得只要使得只要 恒有恒有定义定义1 1设函数设函数 在点在点 的某一邻域内有的某一邻域内有则称则称在在点连续点连续,即即的连续性的连续性)(在一点在一点3若记若记便得到便得到下面在一点下面在一点 连续的等价定义：连续的等价定义：即即 定义定义2 2(用无穷小描述在一点用无穷小描述在一点 的连续性的连续性)若当函数自变量的改变量若当函数自
2、变量的改变量时时,相应地也有函数的改变量相应地也有函数的改变量为无穷小量时为无穷小量时,也为无穷小量也为无穷小量,则称则称在在 点连续点连续.4则称则称点点 左连续左连续(left continuous).定义定义3 3(在一点在一点 左右连续左右连续)使得只要使得只要 即即 使得只要使得只要 就有就有 即即 就有就有则称则称点点 右连续右连续(right continuous).若若若若5定义定义4 4 (在在a,b),(a,b或或 a,b上连续上连续)且在端点且在端点a 右连续右连续,在在b 点左连续点左连续,上连续上连续.在开区间在开区间 内的每一点连续内的每一点连续,若若则称它在开区间
3、则称它在开区间 内连续内连续,若若 在开区间在开区间 内的每一点连续内的每一点连续,则称它在则称它在l 微积分中习惯把闭区间微积分中习惯把闭区间 或区域或区域 I 上上6例例1 1的连续函数的全体记为的连续函数的全体记为和和证明证明 在在 连续连续,即即证证只要证只要证即即要使要使只要只要性性,亦只要亦只要再由指数函数再由指数函数 的单调的单调即即 7因对任意点因对任意点 均有均有进而只须进而只须于是只要取于是只要取则当则当便有上述推导均成立便有上述推导均成立,而有而有故根据定义故根据定义的性质与各种运算都与极限是类似的的性质与各种运算都与极限是类似的.n 由于连续是由极限定义的由于连续是由极
4、限定义的,因此连续函数因此连续函数8 复合函数的连续性复合函数的连续性又函数又函数 在在点连续点连续,即即 在在 点连续点连续,设函数设函数且且则复合函数则复合函数 在在 也也连续连续,即即 关于连续性关于连续性,此处再特别强调几点此处再特别强调几点:9 反函数的连续性反函数的连续性存在反函数存在反函数,某区某区间间上定上定义义的的单调单调的的连续连续函数函数 一切初等函数在其定义域上都是连续的一切初等函数在其定义域上都是连续的.n 由连续函数的性质与运算以及基本初等由连续函数的性质与运算以及基本初等函数的连续性函数的连续性,n 根据函数在一点根据函数在一点 连续的概念可知连续的概念可知以下以
5、下而且其反函数也而且其反函数也单调单调且且连续连续.综合之综合之,可得到一个重要结论可得到一个重要结论:10 极限极限 存在存在三条三条:在在 点有定义点有定义;极限极限只要有一条不满足只要有一条不满足,二、二、间断点分类：间断点分类：1.第一类间断点第一类间断点是指是指都存在的一类间断点，例如都存在的一类间断点，例如函数就将在该点产生间断函数就将在该点产生间断.和和11 图4.2 跳跃间断点跳跃间断点可去间断点可去间断点122.第二类间断点第二类间断点是指是指两者中至少有一个不存在的间断点两者中至少有一个不存在的间断点,如如 是是无穷间断点无穷间断点.和和13是是震荡间断点震荡间断点.又又如
6、如14例例 分析函数分析函数 的连续性的连续性.解解 此函数的定义域为此函数的定义域为:讨论讨论 间断点的特点间断点的特点.因因故故是是第二类间断点第二类间断点(无穷型无穷型);因此因此 15于是于是 因因两侧极限都存在但不相等两侧极限都存在但不相等,是是第一类间断点第一类间断点.(见下一页见下一页图图)又因又因 故故则则 故故l 以上的讨论反复使用了极限的复合运算以上的讨论反复使用了极限的复合运算.所以所以 而当而当 16的连续性见图的连续性见图 三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质定义在闭区间定义在闭区间 上的连续函数的几个上的连续函数的几个性质、定理在理论研究与实际应用中
7、十分重要性质、定理在理论研究与实际应用中十分重要,17但由于知但由于知识识所限所限,作证明作证明,不过其结论在直观上都是很明显的不过其结论在直观上都是很明显的.取取到它的最大到它的最大值值与最小与最小值值.使得使得定理定理1 1 (最大最小值定理最大最小值定理)设设则则上一定能上一定能即至少存在两点即至少存在两点下述性下述性质质、定理及推、定理及推论论不都不都18此定理不证此定理不证.定理条件仅是充分的定理条件仅是充分的.因此因此当所涉及的区间非闭当所涉及的区间非闭,不连续不连续,都可能没有定理的结论都可能没有定理的结论.即在该区间即在该区间上可能取不到最大值和最小值上可能取不到最大值和最小值
8、.如图所示如图所示 在在(0,1)无最大最小无最大最小值值.或在闭区间上的函数或在闭区间上的函数19在在无最大最小值无最大最小值.因在闭区间内有间断因在闭区间内有间断,故没能取到最大小值故没能取到最大小值.20，或用有界的等价定或用有界的等价定义义,定理定理2 2 (有界性定理有界性定理)设设则则 上有界上有界.证证由由定理定理1,上一定能取到它的最大值上一定能取到它的最大值 M和最小值和最小值m,即即 上有界上有界.令令G=max|M|,|m|,则则因因故故21定理定理3 3 (零点存在定理零点存在定理)设设若若存在一点存在一点则至少则至少使使例例 设设且且证证明存在明存在 使得使得证证则则
9、(证略证略)记22因为由条件因为由条件若两式中有等号成立若两式中有等号成立,则则正是结论中要找的正是结论中要找的否则因否则因根据根据定理定理3 使得使得即即23例例至少有两个至少有两个实实根根.若能在若能在 的两侧找到的两侧找到 证明证明 证证 注意到初等函数注意到初等函数又注意到又注意到 另两个不同的点另两个不同的点,而在这两点的函数值均小而在这两点的函数值均小 于零于零,问题将得证问题将得证.由于注意到由于注意到 设设24则当则当 足够大足够大,如如x=3,同时同时于是因于是因由零点存在由零点存在定理定理3 至少各存在至少各存在和和 使得使得如如25定理定理4 4 (介值定理介值定理)是介
10、于是介于设设若若使使之间的任一值之间的任一值,则至少存在一点则至少存在一点证证则则由条件无妨设由条件无妨设于是于是设设26根据根据零点存在定理零点存在定理知知 因而因而至少存在一点至少存在一点即即使使推论推论则则 f 可以取到介于它可以取到介于它的最大值的最大值 M 与最小值与最小值 m 之间的任一值之间的任一值.设设27例例有一个实根有一个实根,方程方程至少至少证证因因故无妨设故无妨设于是因于是因当当 充分大充分大,用用介值定理介值定理证明当证明当 n 为奇数时为奇数时,其中其中记28 也就是有也就是有 又因多项式又因多项式即即 是方程是方程的一个根的一个根.所以由所以由介值定理介值定理知知 至少存在一点至少存在一点 使使29