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1、复习复习:平面曲线的切线与法线切线方程法线方程已知平面光滑曲线在点有5-5 空间曲线的切线与弧长空间曲线的切线与弧长空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点曲线上的点都满足方程，满足方程的都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个上的点不能同时满足两个方程方程.空间曲线空间曲线C C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点：特点：例例 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，交线为椭圆交线为椭圆.例例 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解上半球面上半球面,圆柱面圆
2、柱面,交线如图交线如图.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程曲线的向量表示曲线的向量表示 空间曲线空间曲线是指区间是指区间 到空间到空间 的一个连续的一个连续映射的像映射的像.若若 在在 有连续的导数有连续的导数,且且对于每一点对于每一点不同时为零不同时为零,则称曲线是则称曲线是光滑曲线光滑曲线.过点过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法平面平面.位置位置.空间光滑曲线在点空间光滑曲线在点 M 处的处的切线切线为此点处割线的极限为此点处割线的极限曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况切线方程切线方程即即 在在 处的切线方程是处的切线方程是此处要
3、求此处要求也是法平面的法向量也是法平面的法向量,切线的方向向量切线的方向向量:称为曲线的称为曲线的切向量切向量.如个别为如个别为0,则理解为分子为则理解为分子为 0.不全为不全为0,因此得因此得法平面法平面方程方程 例例.求圆柱螺旋线求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程切线方程法平面方程法平面方程即即即即解解:由于由于对应的切向量为对应的切向量为在在,故故 曲线的曲线的参数方程参数方程曲线的弧长曲线的弧长则弧微分则弧微分弧长弧长如：例如：例2任一空间曲线可以看作是二个曲面的交线任一空间曲线可以看作是二个曲面的交线因为通过一空间曲线的曲面可以有无穷
4、多个因为通过一空间曲线的曲面可以有无穷多个,例如例如 及及 都表示同一空间直线都表示同一空间直线 轴轴.故我们可用不同的方法选择其中二个曲面故我们可用不同的方法选择其中二个曲面,使其交线是给定的曲线使其交线是给定的曲线.空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程*投影曲线与投影柱面投影曲线与投影柱面设空间曲线设空间曲线C:消去变量消去变量 后得到方程后得到方程这是一个母线平行于这是一个母线平行于 轴的柱面轴的柱面,称之为称之为投影柱面投影柱面它显然通过空间曲线它显然通过空间曲线C称称 为为C在在 面上的面上的投影投影(曲线曲线)同理同理,消去消去(1)中的中的 或或 ,可得曲线可得曲线C在在 或或 平面平面 上的投影上的投影或或投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面空间曲线空间曲线补充补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影.空空间间立立体体曲曲面面例例 求求 在在 面上的投影曲线面上的投影曲线.解解:先求先求C投影到投影到 面的投影柱面面的投影柱面,即只要从二方程消去即只要从二方程消去二式相减二式相减,得得将它代入原方程组的第一式将它代入原方程组的第一式(或第二式或第二式)即得投影柱面方程即得投影柱面方程于是于是,所求所求C在在 面上的投影曲线的方程是面上的投影曲线的方程是在在 面上的投影曲线分别是面上的投影曲线分别是.圆柱螺旋线圆柱螺旋线 例例.