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1、空间曲线的切线与法平面第1页，本讲稿共18页一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法位置.空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.第2页，本讲稿共18页 设空间曲线的参数方程为 x(t),y(t),z(t),这里假定(t),(t),(t)都在 上可导 设tt0和tt0t分别对应于曲线上的点M0(x0,y0,z0)和M(x0+x,y0+y,z0+z)当MM0,即t0时,作曲线的割线MM0,其方程为 得曲线在点M0处的切线方程为 一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面第3页，本讲稿共18页 设空间曲线的参
2、数方程为 x(t)y(t)z(t)这里假定(t),(t),(t)都在 上可导 过曲线上tt0所对应的点M0切线方程为 向量T(t0)(t0)(t0)称为曲线在点M0的切向量.通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0处的法平面,其法平面方程为(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0 一、空间曲线的切线与法平面第4页，本讲稿共18页例例1.求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解解:由于对应的切向量为在,故第5页，本讲稿共18页讨论:1.若曲线的方程为y(x)z(x)则切向量T?提示:1.曲线的参数方程可视为:xx y(x)z(x)切向量为T(1(
3、x)(x)曲线x(t),y(t),z(t)在tt0所对应的点M0的切向量为T(t0)(t0)(t0)2.若曲线的方程为F(x,y,z)0,G(x,y,z)0,则切向量T?2.两方程可确定两个隐函数:y(x)z(x)切向量为T(1(x)(x)而(x)(x)要通过解方程组得到.第6页，本讲稿共18页例例2.求曲线在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.解解.方程组两边对 x 求导,得曲线在点 M(1,2,1)处有:切向量解得第7页，本讲稿共18页切线方程即法平面方程即点 M(1,2,1)处的切向量第8页，本讲稿共18页二、二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点对
4、应点 M,切线方程为不全为0.则 在且点 M 的切向量切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为 在该点的切平面切平面.上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.第9页，本讲稿共18页证:在 上,得令由于曲线 的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.第10页，本讲稿共18页曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程切平面方程切平面方程第11页，本讲稿共18页曲面时,则在点故当函数 法线方程法线方程令特别特别,当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时,切平面方程切平面方程第12页，本讲稿共18页法向量法向量用将法向量的法向量的方向余弦方向余弦：表示法向量
5、的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,第13页，本讲稿共18页例例3.求椭球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程切平面方程 即法线方程法线方程法向量令第14页，本讲稿共18页解切平面方程为法线方程为例例4求旋转抛物面在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.第15页，本讲稿共18页例例5.确定正数 使曲面在点解解:二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切,故又点 M 在球面上,于是有相切.与球面,因此有第16页，本讲稿共18页例例6.求曲线在点(1,1,1)的切线解解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.第17页，本讲稿共18页作业：作业：p-100 习题习题9-63，4，5，8,10第18页，本讲稿共18页