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1、 第六章 第六节第六节一、方向导数一、方向导数 二、梯度二、梯度 三、物理意义三、物理意义 方向导数与梯度方向导数与梯度一、方向导数一、方向导数定义定义:若函数则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.在点 处沿方向 l(方向角为)存在下列极限:记作记作 当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向 当 l 与 y 轴同向 当 l 与 y 轴反向方向导数与偏导数关系如何？方向导数与偏导数关系如何？定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在,且有例例1.求函数 在点 P(1,1)沿向量 的方向导数.例例2.求函数 在点P(2,3)沿曲线朝 x 增大方向的方向导数
2、.推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义例例3.求函数 在点 P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解解:向量 l 的方向余弦为二、梯度二、梯度 方向导数公式令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值方向导数取最大值：1.定义定义即称为函数 f(P)在点 P 处的梯度记作 ,(gradient),说明说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式例例4.试证处矢径 r 的模,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的
3、方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数三、物理意义三、物理意义函数(物理量的分布)数量场数量场(数性函数)场场向量场向量场(矢性函数)可微函数梯度场梯度场(势函数)如:温度场,电位场等如:力场,速度场等(向量场)注意注意:任意一个向量场不一定是梯度场.例例5.已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点试证证证:利用例4的结果 这说明:处所产生的电位为电位在场强相反的方向增加最快.例例6.某处地下埋有物品E，以该处为原点建立直角坐标系。已知空气中散发着特有气味，设气味浓度在地表xoy面的分布为：警犬在(1,1)处嗅到气味后，沿气味最浓的方向搜索，求警犬的搜索路线内容小结内容小结1.方向导数方向导数 三元函数 在点沿方向 l(方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l(方向角为2.梯度梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3.关系关系方向导数存在偏导数存在 可微梯度在方向 l 上的投影.思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案备用题备用题 1.函数在点处的梯度解解:则注意 x,y,z 具有轮换对称性(92考研考研)指向 B(3,2,2)方向的方向导数是 .在点A(1,0,1)处沿点A2.函数提示提示:则(96考研考研)