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1、n3.1 典型随机过程典型随机过程n3.2 随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析n3.3 白噪声通过线性系统白噪声通过线性系统n3.4 随机序列通过离散线性系统随机序列通过离散线性系统 3 平稳随机信号通过线性系统平稳随机信号通过线性系统13.1 典型的随机过程典型的随机过程1、白噪声白噪声白噪声的功率谱密度和自相关函数 平稳白噪声功率谱密度：白噪声样本函数波形 白噪声相关系数：2、正态随机过程正态随机过程如果一个随机过程X(t)的任意n维分布都服从正态分布，则称该随机过程为正态随机过程。一维分布一维分布特征函数特征函数 设X(t)是正态随机过程，若有 则X(t)称为广义平稳正态过
2、程。平稳正态过程性质：性质：对于正态随机过程而言，广义平稳与严格平稳等价；不相关与独立等价；一般平稳正态噪声与信号之和为非平稳的正态过程。若平稳正态过程具有均匀的功率谱密度，则称此过程为平稳正态白噪声。满足 例1、设随机过程 ，其中A、B是两个独立的正态随机变量，且有 ，为常数，求此过程的一维概率密度。例2、一零均值高斯过程X(t)，其协方差函数为：求在时刻t1=0、t2=1、t3=2抽样的三维概率密度。n3.2 随机信号通过线性系统分析微分方程法；冲击响应法；频谱法；n3.3 白噪声通过线性系统1、冲激响应法冲激响应法 h(t)X(t)Y(t)若X(t)平稳均值系统的输出 互相关函数若X(t
3、)平稳当输入X(t)为白噪声，系统的输出 系统h(t)X(t)互相关函数测量系统辨识结构图系统辨识结构图自相关函数若X(t)平稳输入输出相关函数关系图平稳情况2频谱法 输入输出相关函数关系图3 平稳性讨论平稳性讨论(1)若输入X(t)平稳，h(t)在(-，+)存在，则输出Y(t)平稳，且与X(t)联合平稳；(2)对于物理可实现系统，即当t0时，h(t)=0，且假定输入X(t)平稳。若输入从-加入(双侧随机信号)结论：输出平稳，若X(t)遍历，则Y(t)遍历若输入从t=0时加入，(单侧随机信号)结论：输出不平稳例1 如图所示的RC电路，输入为零均值的平稳随机过程,且相关函数为 求输出Y(t)的自
4、相关函数。X1(t)X2t)62321FY(t)思考题：相互独立的随机电压信号X1(t)和X2(t)施加于RC网络。电路中电阻无噪，已知求系统输出的自相关函数和功率谱密度。CX(t)Y(t)R3.3 白噪声通过线性系统白噪声通过积分系统相关函数：功率谱密度：相关时间：白噪声通过微分系统RCX(t)Y(t)功率谱密度：相关函数：白噪声通过理想低通系统|H()|K0-相关函数：输出功率：输出功率谱：理想低通随机过程的自相关函数 pwc-0pwct)(tYR理想低通随机信号：相关时间：相关系数：白噪声通过高斯型带通系统0输出功率谱：相关函数：输出功率：-5-4-3-2-1012345-0.4-0.3
5、-0.2-0.100.10.20.3高斯型带通随机过程的自相关函数 参量正比与系统带宽，故相关时间与反比。相关时间：相关系数：3.4 随机序列通过离散线性系统n等效噪声带宽n随机序列通过离散线性系统n时间序列模型1：噪声等效通能带(等效噪声带宽)0等效原则：理想系统与实际系统在同一白噪声激励下，两个系统的输出平均功率相等，且理想系统的增益为实际系统的最大增益。对于可实现系统，由帕斯瓦尔定理：对于带通系统离散系统可实现系统低通性质：(1)噪声等效通能带只由线性系统特性确定；(2)对于带通系统，输出平均功率对于低通系统，输出平均功率(3)当线性系统的形式及级数确定后，噪声等效通能带 与3dB带宽有
6、确定关系，级数越高，两者越接近。例1 低通滤波器的单位冲激响应为 求系统噪声等效通能带。例2离散时间系统的差分方程为 求系统噪声等效通能带。2:随机序列通过离散线性系统)(nh)(nh)(nX)(nX)(nY)(nY系统输出系统描述均值:若X(n)平稳:相关函数:若X(n)平稳:功率谱密度：若用z变换表示,则例3：设一个平稳随机序列X(n)的自相关函数为 ，线性系统的单位冲激响应是求输出Y(n)的自相关函数及功率谱密度。3:常用时间序列模型式中X(n)为零均值、方差为2的平稳白噪声，模型称为自回归滑动平均模型，用ARMA(N,r)表示。1、时间序列模型 许多随机序列可以看成是典型的白噪声序列激
7、励一个线性系统所产生的，一般表示式为：当系数 均为零时，模型称为自回归模型（Autoregressive），用AR(N)表示。，若模型系数多项式的根全在单位圆内，即其根的模都小于1，则AR(N)模型是平稳的。当系数 均为零时，模型称为滑动平均模型(Moving Average)，用MA(r)表示。，若模型系数多项式的根全在单位圆内，即其根的模都小于1，则MA(r)模型是可逆的。例4 设有如下差分方程描述的离散线性系统，X(n)=aX(n-1)+W(n)系统如图所示，其中W(n)为平稳白噪声，方差为2，模型所产生的随机过程称为AR过程，求一阶AR过程的自相关函数和功率谱。单位延迟X(n)W(n)aX(n-1)单位延迟X(n)W(n)aX(n-1)例5:设有如下差分方程描述的离散线性系统，X(n)=b0W(n)+b1W(n-1)其中W(n)为平稳白噪声，方差为2，由MA模型所产生的随机过程称为MA过程，求一阶MA过程的自相关函数和功率谱。单位延迟X(n)W(n)b1b0单位延迟X(n)W(n)b1b0习题：，