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1、第五章 刚体力学刚体力学两个重要公式转动定律角动量守恒定律机械能守恒定律：当除重力矩以外的其他合外力矩不作功或作功为零时，则刚体机械能守恒。【例例】一一质质量量为为mm的的物物体体悬悬于于一一条条轻轻绳绳的的一一端端，绳绳另另一一端端绕绕在在一一轮轮轴轴的的轴轴上上，如如图图所所示示轴轴水水平平且且垂垂直直于于轮轮轴轴面面，其其半半径径为为r r，整整个个装装置置架架在在光光滑滑的的固固定定轴轴承承之之上上当当物物体体从从静静止止释释放放后后，在在时时间间t t内内下下降降了了一一段段距距离离S S试求整个轮轴的转动惯量试求整个轮轴的转动惯量(用用mm、r r、t t和和S S表示表示)【解解
2、】设设绳绳子子对对物物体体(或或绳绳子子对对轮轮轴轴)的的拉拉力力为为T T，则则根据牛顿运动定律和转动定律得：根据牛顿运动定律和转动定律得：mgmg T Tmama 2 2分分 2 2分分 2 2分分由、式解得：Jm(ga)r2/a 将式代入式得：2分又根据已知条件 v00a2S/t 22分【例】基础训练（18）如图517所示、质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，求盘的角加速度的大小【解】：受力分析如图对质点：对刚体：联立以上几
3、式解得：，【例】基础训练（18）如图517所示、质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，求盘的角加速度的大小，【例】基础训练（18）如图517所示、质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，求盘的角加速度的大小【解】：受力分析如图对质点：对刚体：联立以上几式解得：，【例】基础训
4、练（16）一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为，设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即 (k为正的常数)，求圆盘的角速度从 变为 时所需时间【解】根据：所以得：【例】质量 m=1.1 kg 的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量 （r为圆盘半径），圆盘边缘饶有绳子，绳子下端挂一质量 m1=1.0 kg 的物体，如图所示。起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0=0.6 m/s 匀速上升，若撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始做反向转动？m1 O rm1 O r【例】自测提高（15）如图5-23所示，转轮A、B可分别独立地绕光滑的固定轴O转动，它们的质
5、量分别为mA10 kg和mB20 kg，半径分别为rA和rB现用力fA和fB分别向下拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动为使A、B轮边缘处的切向加速度相同，相应的拉力fA、fB之比应为多少？（其中A、B轮绕O轴转动时的转动惯量分别为 和 ）5-23 图图【解】据转动定律有：要使A、B 轮边缘处的切向加速度相同，应有：所以有：故【例】自测提高（16）如图5-24所示，长为 的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为 和 轻杆原来静止在竖直位置今有一质量为m的小球，以水平速度 与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以 的速度返回，试求碰后轻杆所获得
6、的角速度？图图5-242mmmO【解】系统所受的合外力矩为零，角动量守恒：碰前的角动量为：碰后的角动量为：所以：得：例：基础训练（5）如图59所示，一静止的均匀细棒，长为L、质量为M，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O在水平面内转动，转动惯量为 一质量为m、速率为v的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为，则此时棒的角速度应为 解：把质点与子弹看作一个系统，该系统所受合外力矩为零，系统角动量守恒有：【例】基础训练（7）一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O转动，如图511射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留
7、在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度 (A)增大 (B)不变 (C)减小 (D)不能确定把三者看作同一系统时,系统所受合外力矩为零,系统角动量守恒。【例】（17）如图525所示，一质量均匀分布的圆盘，质量为，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上。求：(1)子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度(2)经过多少时间后，圆盘停止转动(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)解:（1）子弹和圆盘为系统角动量守恒（2）圆盘的质量面密
8、度 在圆盘上取一半径为r,宽为dr的小环带，质量元 此环带受到的摩擦阻力矩 例：如图所示，一均质杆可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内自由转动，l=(5/3)m,今使杆从与竖直方向成60角又静止释放，求杆的最大角速度。解：机械能守恒（主要零势点选取）例题例题5-3一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m和2m的重物，如图52a所示绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑两个定滑轮的转动惯量均为 将由两个定滑轮以及质量为m和2m的重物组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力解：解：受力分析如图所示 对右侧物体：对左侧物体：对右侧滑轮：对左侧滑轮：解上述5个联
9、立方程得：【例】基础训练（17）在半径为R的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在距转轴为 处，人的质量是圆盘质量的1/10开始时盘载人对地以角速度 匀速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v沿与盘转动相反方向作圆周运动，如图516所示 已知圆盘对中心轴的转动惯量为 求：(1)圆盘对地的角速度(2)欲使圆盘对地静止，人应沿着 圆周 对圆盘的速度 的大小及方向？解：解：（1）设当人以速率v沿相对圆盘转动相反的方向走动时，圆盘对地的绕轴角速度为，则人对地的绕轴角速度为视人与盘为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒，设盘的质量为M，则人的质量为M/10，有：将（1）式代入（2）有：（2）欲使盘对地静止，则式（3）必为零，即 所以，。式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方向一致。