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1、多元复合函数的求导第1页，共14页，编辑于2022年，星期六偏导数连续偏导数连续(1)函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数存在偏导数存在(2)函数可微函数可微多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 1、一元函数与多元函数复合的情形、一元函数与多元函数复合的情形2、多元函数与多元函数复合的情形、多元函数与多元函数复合的情形3、其他情形、其他情形第2页，共14页，编辑于2022年，星期六1、一元函数与多元函数复合的情形、一元函数与多元函数复合的情形“分道相加，连线相乘分道相加，连线相乘”(全导数公式全导数公式)（1 1）（2 2）第3页，共14页，编辑于2022年，星期六2、多元函数与多元
2、函数复合的情形、多元函数与多元函数复合的情形定理定理.若函数若函数处有连续偏导处有连续偏导,在点在点(x,y)的两个偏导数都存在的两个偏导数都存在,则复合函数则复合函数且有且有第4页，共14页，编辑于2022年，星期六类似地再推广类似地再推广，设，设都在点都在点具有对具有对和和的偏导数，函数的偏导数，函数在对应点在对应点具有连续偏导数，则复合函数具有连续偏导数，则复合函数,在点在点的两个偏导数都存的两个偏导数都存,在，并且有在，并且有第5页，共14页，编辑于2022年，星期六例例1.1.设设解解:例例2.设设 f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,求求第6页，共14页，编辑于2022年，星
3、期六3、其他情形、其他情形定理定理.若函数若函数处有连续偏导处有连续偏导,可导可导,则复合函数则复合函数的两个偏导数都存在，且有的两个偏导数都存在，且有在点在点具有对具有对和和的偏导数，的偏导数，函数函数在点在点第7页，共14页，编辑于2022年，星期六在情形在情形3中，还会遇到这样的情形：中，还会遇到这样的情形：复合函数的某些复合函数的某些中间变量中间变量本身本身又是又是复合函数的复合函数的自变量自变量.例如：设函数例如：设函数则复合函数则复合函数第8页，共14页，编辑于2022年，星期六例例3.解解:第9页，共14页，编辑于2022年，星期六例例4.设设 求全导数求全导数解解:第10页，共
4、14页，编辑于2022年，星期六二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数设函数的全微分为的全微分为可见无论可见无论 u,v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,则复合函数则复合函数都可微都可微,其全微分表达其全微分表达 形式都一样形式都一样,这性质叫做这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.若若 u,v就是自就是自变量变量,则则 的全微分为的全微分为第11页，共14页，编辑于2022年，星期六例例1.例例 6.利用全微分形式不变性再解例利用全微分形式不变性再解例1.解解:所以所以第12页，共14页，编辑于2022年，星期六内容小结内容小结1.复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则2.全微分形式不变性全微分形式不变性不论不论 u,v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,（1 1）“分道相加，连线相乘分道相加，连线相乘”（2）设复合函数的因变量为）设复合函数的因变量为 ，中间变量为中间变量为，自变量为，自变量为 ，则，则如果有一元函数，则如果有一元函数，则将将 改成改成 第13页，共14页，编辑于2022年，星期六第14页，共14页，编辑于2022年，星期六