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1、定积分在物理学中的应用定积分在物理学中的应用 前前面面我我们们已已经经介介绍绍了了定定积积分分在在几几何何方方面面的的应应用用，我我们们看看到到，在在利利用用定定积积分分解解决决几几何何上上诸诸如如平平面面图图形形的的面面积积、平平面面曲曲线线的的弧弧长长、旋旋转转体体的的体体积积等等问问题题时时，关关键键在在于于写写出出所所求求量的微元量的微元 定积分在物理方面的应用的关键也是定积分在物理方面的应用的关键也是如此，希望大家注意如何写出所求量的微元如此，希望大家注意如何写出所求量的微元微功、微压力、微引力等微功、微压力、微引力等 由物理学知道，如果一个物体在由物理学知道，如果一个物体在常力常力
2、F作用下，使得物体沿力的方向作直线运动作用下，使得物体沿力的方向作直线运动，物体有位移，物体有位移 s 时，力时，力F对物体所作的功对物体所作的功为：为：W=F*s 这这个个公公式式只只有有在在力力F是是不不变变的的情情况况下下才才适适用用，但但在在实实际际问问题题中中，物物体体在在运运动动过过程程中中所所受受到到的的力力是是变变化化的的。下下面面我我们们通通过过例例子子来来说明如何利用微元法来求变力所作的功。说明如何利用微元法来求变力所作的功。例例1 已已知知弹弹簧簧每每伸伸长长 0.02 m 要要用用 9,8 N 的的力力，求把弹簧拉长求把弹簧拉长 0,1 m 需作多少功需作多少功一、变力
3、沿直线作功一、变力沿直线作功 当当我我们们拉拉长长弹弹簧簧时时，需需要要克克服服弹弹性性力力作作功功，由由 Hoke 定定律律，弹弹性性力力F与与伸伸长长量量 x 之间有函数关系：之间有函数关系：F=kx k 弹性系数弹性系数用微元法用微元法由题设由题设 k k=490要求的是变力所作的功要求的是变力所作的功F=490 x 取取 x 为积分变量为积分变量 积分区间为积分区间为 0,0.1 弹簧由弹簧由 x 处拉到处拉到 x+dx 处，由处，由 F (x）的连续性，当的连续性，当 dx 很小时，弹性力很小时，弹性力F (x)变变化很小，可近似地看作是不变的（常力）化很小，可近似地看作是不变的（常
4、力）解解 于是在小区间于是在小区间 x，x+dx 上对应的上对应的变力变力F所作的功近似于把变力所作的功近似于把变力F看作常力看作常力 F=490 x 所作的功所作的功例例2 发发射射火火箭箭需需要要计计算算克克服服地地球球引引力力所所作作的的功功，设设火火箭箭的的质质量量为为 m，问问将将火火箭箭垂垂直直地地向向上上发发射射到到离离地地面面高高H 时时，需需作作多多少少功功。并并由由此此计计算算初初速速度度至至少少为为多多少少时，方可使火箭脱离地球的引力范围时，方可使火箭脱离地球的引力范围解解取取 ox 轴竖直向上轴竖直向上xoRR+H地球半径设为地球半径设为R 质量为质量为M，由万有引力定
5、律，由万有引力定律，即即 x =R 时时火箭所受的引力就是火箭的重力火箭所受的引力就是火箭的重力mg 火箭所受地球的引力火箭所受地球的引力随火箭发射的高度随火箭发射的高度 x 而变化而变化当火箭在地面上当火箭在地面上代入上式代入上式为了发射火箭，必须克服地球引力，为了发射火箭，必须克服地球引力，克服地球引力的外力克服地球引力的外力F与与 f 大小相等大小相等 下面用微元法来求变力所作的功。下面用微元法来求变力所作的功。取取 x 为积分变量为积分变量所须作的功所须作的功 为了使火箭脱离地球引力范围，也为了使火箭脱离地球引力范围，也 就是说要把火箭发射到无穷远处就是说要把火箭发射到无穷远处则动能为
6、则动能为因此要使火箭脱离地球引力范围，须有因此要使火箭脱离地球引力范围，须有代入上式得代入上式得 第二宇宙速度第二宇宙速度 这功是由火箭上的动能转化而来，若火箭这功是由火箭上的动能转化而来，若火箭离开地面时的初速度为离开地面时的初速度为 半径为半径为R，高为，高为H 的圆柱形贮水桶，盛满了水，的圆柱形贮水桶，盛满了水，问将水桶中的水全部吸出须作多少功？问将水桶中的水全部吸出须作多少功？解解 这个问题虽然不是变力作功问题，但是由于吸这个问题虽然不是变力作功问题，但是由于吸出同样重量不同深度的水时所作的功是不同的，所出同样重量不同深度的水时所作的功是不同的，所以也要用定积分来计算。可以理解水是一层
7、一层地以也要用定积分来计算。可以理解水是一层一层地被吸到桶口的被吸到桶口的在区间在区间 y,y+dy 上对应一小薄柱上对应一小薄柱体体该水柱重为该水柱重为 将这一小水柱提到桶口所经过的距离将这一小水柱提到桶口所经过的距离例例3将以上几例的解法一般化将以上几例的解法一般化 可得可得若一物体在变力若一物体在变力 F(x)的作用下，沿的作用下，沿力的方向（力的方向（ox 轴）作直线运动，当物体由轴）作直线运动，当物体由 x=a 移到移到 x=b 时，变力时，变力 F(x)对物体所作的功为对物体所作的功为 由物理学知道，一水平放置在液体中的薄板，由物理学知道，一水平放置在液体中的薄板，其面积为其面积为
8、A，距液面的深度为，距液面的深度为 h ，则该薄板的一，则该薄板的一侧所受的压力侧所受的压力P等于液体的压强等于液体的压强 p 与受力面积的与受力面积的乘积，而压强等于深度与比重的乘积，于是乘积，而压强等于深度与比重的乘积，于是 但在实际问题中，往往需要计算与液面垂直放但在实际问题中，往往需要计算与液面垂直放置的薄板一侧的所受的压力，由于薄板在不同深度置的薄板一侧的所受的压力，由于薄板在不同深度处压强不同，因而不能直接应用上述公式进行计算，处压强不同，因而不能直接应用上述公式进行计算，需要采用微元法，利用定积分来计算。需要采用微元法，利用定积分来计算。例例4 设半径为设半径为R的圆形水闸门，水
9、面与闸顶平齐，的圆形水闸门，水面与闸顶平齐，求闸门一侧所受的压力。求闸门一侧所受的压力。二、液体的侧压力二、液体的侧压力取坐标系如图取坐标系如图oxyy+dy2Ry 奇函数奇函数 偶函数偶函数四分之一圆面积四分之一圆面积x解解 边长为边长为 a,b 的矩形薄板，与液面成的矩形薄板，与液面成 角斜沉于液体中，长边平行于液面而位于深角斜沉于液体中，长边平行于液面而位于深 h 处，设处，设 a b 液体的比重为液体的比重为 ，求板的一，求板的一侧所受的压力。侧所受的压力。解解如图建立坐标系如图建立坐标系坐标为坐标为 x 处液体的深度为处液体的深度为xx+dxab例例5得液体的侧压力的计算公式得液体的
10、侧压力的计算公式将以上几例的解法一般化将以上几例的解法一般化由万有引力定律：两个质量分别为由万有引力定律：两个质量分别为 相距为相距为 r 的质点间的引力的质点间的引力 若要计算一细长杆对一质点的引力，此时由若要计算一细长杆对一质点的引力，此时由于细杆上各点与质点的距离是变化的，所以不于细杆上各点与质点的距离是变化的，所以不能直接利用上述公式计算。能直接利用上述公式计算。例例6 设有一长为设有一长为 l 质量为质量为 M 的均匀细杆，的均匀细杆，另有一质量为另有一质量为 m 的质点和杆在一条直线上，它的质点和杆在一条直线上，它到杆的近端距离为到杆的近端距离为 a ，求细杆对质点的引力。，求细杆
11、对质点的引力。三、引力三、引力取取 x 为积分变量为积分变量该小段细杆的质量为该小段细杆的质量为 若把问题改为求细杆对位于它的一端垂线上距杆若把问题改为求细杆对位于它的一端垂线上距杆 a 处的质量为处的质量为 m 质点的引力。质点的引力。解解 取坐标系如图取坐标系如图0lma取取 x 为积分变量为积分变量该小段细杆的质量为该小段细杆的质量为 若把问题改为求细杆对位于它的一端垂线上距杆若把问题改为求细杆对位于它的一端垂线上距杆 a 处的质量为处的质量为 m 质点的引力。质点的引力。解解如图建立坐标系如图建立坐标系 尤尤其其是是如如何何在在具具体体问问题题中中取取“微微元元”微微功功、微微压压力力
12、、微微引引力力等等。这这对对于于从从形形式式到到内内容容真真正正地地把把握握公公式式是是非非常常必必要要的的，相相反反如如果果仅仅满满足足于于套套用用公公式式解解决决一一些些简简单单问问题题而而不不求求甚甚解解，那那么么遇遇到到一一些些稍稍有有灵灵活活性性的的问问题题，便便可可能能束束手手无策，不知如何下手。无策，不知如何下手。四、平均值和均方根四、平均值和均方根 关于定积分在物理方面的应用，除了应熟记关于定积分在物理方面的应用，除了应熟记各个公式的结果外，还须了解其推导过程各个公式的结果外，还须了解其推导过程关于定积分的应用说明三点：关于定积分的应用说明三点：1。选择合适的坐标系。选择合适的
13、坐标系2。善于根据问题的性质和要求构造积。善于根据问题的性质和要求构造积分元素，主要是选择好参数，并能正分元素，主要是选择好参数，并能正确地确定出积分限，确地确定出积分限，3。具体计算定积分时，要特别注意和。具体计算定积分时，要特别注意和充分并且慎重应用对称性及等量关系充分并且慎重应用对称性及等量关系以简化定积分的计算，对此，熟悉区以简化定积分的计算，对此，熟悉区域或曲线的形状，对于解决问题是十域或曲线的形状，对于解决问题是十分有益的。分有益的。利用利用“微元法微元法”思想求变力作功、思想求变力作功、水压力和引力等物理问题水压力和引力等物理问题（注意熟悉相关的物理知识）（注意熟悉相关的物理知识
14、）思考题思考题 一球完全浸没水中，问该球面所受的总一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？压力与它在水中受到的浮力有何关系？五、小结五、小结该球面所受的总压力方向向上（下半球面该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力因此该球面所受的总压水中受到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关力与球浸没的深度无关思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案