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1、第五章 留数1 孤立奇点 函数不解析的点为奇点.如果函数 f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析,则z0称为f(z)的孤立奇点.1 将函数 f(z)在它的孤立奇点z0的去心邻域0|z-z0|d内展开成洛朗级数.根据展开式的不同情况对孤立奇点作分类.1.可去奇点可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项,则孤 2.立奇点z0称为 f(z)的可去奇点.这时,f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.0|z-z0|d ,则在圆域|z-z0|d 内就有 f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.,从而函数 f(z)在z0就成为
2、解析的了.所以z0称为可去奇点.232.极点极点 如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项,且其中关于(z-z0)-1的最高幂为(z-z0)-m,即f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.(m1,c-m0),则孤立奇点z0称为函数 f(z)的m级极点.上式也可写成 其中 g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+.,在|z-z0|d 内是解析的函数,且 g(z0)0.反过来,当任何一个函数 f(z)能表示为(*)的形式,且g(z0)0 时,则z0是 f(z)的m级极点.4如果z0为 f(z)的
3、极点,由(*)式,就有3.本性奇点本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为 f(z)的本性奇点.5综上所述:我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.64.函数的零点与极点的关系函数的零点与极点的关系 不恒等于零的解析函数 f(z)如果能表示成f(z)=(z-z0)m j(z),其中j(z)在z0解析且j(z0)0,m为某一正整数,则z0称为f(z)的m级零点级零点.例如当 f(z)=z(z-1)3时,z=0与z=1是它的一级与三级零点.根据这个定义,我们可以得到以下结论:如 f(z)在z0解析,则z0是 f(z)的m级零点的充要条件是 f(n)(z0
4、)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0.7 这是因为,如果 f(z)在z0解析,就必能在z0的邻域展开为泰勒级数:f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cm(z-z0)m+，易证 z0是 f(z)的m级零点的充要条件是前m项系数 c0=c1=.=cm-1=0,cm0,这等价于 f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0 。例如 z=1是f(z)=z3-1的零点,由于 f(1)=3z2|z=1=3 0,从而知 z=1是f(z)的一级零点.由于f(z)=(z-z0)m j(z)中的j(z)在z0解析,且j(z0)0,因而它在z0的邻域内不为零.这是
5、因为j(z)在z0解析,必在z0连续,所以给定8所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心邻域内不为零,即不恒为零的解析函数的零点是孤立的.定理 如果 z0是 f(z)的m级极点,则z0就是 的m级零点,反过来也成立.这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.9例 2 10例 3对 讨论函数 在 处的性态。115.函数在无穷远点的性态 如果函数 f(z)在无穷远点 z=的去心邻域 R|z|内解析,称点为 f(z)的孤立奇点.作变换 把扩充z平面上的去心邻域 R|z|+映射成扩充w平面上原点的去心邻域：又 .这样,我们可把在去心邻域R|z|+对f(z)的研究变为在 内对j(w)的研
6、究.显然j(w)在 内解析,所以w=0是孤立奇点.f(z)在无穷远点 z=的奇点类型等价于j(w)在w=0的奇点类型。12即z=是f(z)的可去奇点,极点或本性奇点,完全看极限 是否存在(有限值),为无穷大或即不存在又不是无穷大来决定.例题1例题2例题3 132 留数1.留数的定义及留数定理留数的定义及留数定理 如果函数f(z)在z0的邻域D内2.解析,那末根据柯西积分定理 但是,如果z0为 f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某个去心邻域 0|z-z0|R 内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分 一般就不等于零.因此 f(z)=.+c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1 +c
7、0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.0|z-z0|R 两端沿C逐项积分:14称C-1为 f(z)在 z0 的留数,记作 Res f(z),z0,即定理一定理一(留数定理留数定理)设函数 f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1,z2,.,zn 外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则Dz1z2z3znC1C2C3CnC15证 把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正 向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有注意定理中的条件要满足。例如不能应用留数定理。16 求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中(z-z0)-1 项的系数 c-1 即可.
8、但如果知道奇点的类型,对 求留数可能更有利.如果 z0是 f(z)的可去奇点,则 Resf(z),z0=0.如果 z0 是本性奇点,则只好将其按洛朗级数展开.如果 z0 是极点,则有一些对求 c-1有用的规则.172.留数的计算规则留数的计算规则 规则规则1 如果z0为f(z)的一级极点,则规则规则2 如果z0为f(z)的m级极点,则事实上,由于f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.,(z-z0)m f(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+.+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+.,18令两端 zz0,右端的
9、极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!就是Resf(z),z0,即得规则2,当 m=1时就是规则1。19即得 规则规则3。20由规则1,得我们也可以用规则3来求留数:这比用规则1要简单些.212223例 5 解：所以 原式=例 4 解：z=0为一级极点。243.在无穷远点的留数在无穷远点的留数 设函数 f(z)在圆环域 R|z|内解析,C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分的值与C无关,称其为f(z)在点的留数,记作f(z)在圆环域 R|z|内解析：理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。25 这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心邻域R|z|+内洛朗展开式中 z-1 的系数变号.26定理二定理二 如果 f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末 f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.证：除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n).且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线,则根据留数定理与在无穷远点的留数定义,有2728所以规则4 成立.29定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法,在很多情况下,它比利用上一段中的方法更简便.例 63031证明：32