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1、第1515课时等腰三角形2考试目标锁定规律方法探究考点梳理自主测试考点一等腰三角形1.等腰三角形的有关概念及分类有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边相等的三角形叫做等边三角形,也叫正三角形.2.等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”);(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”);(3)等腰三角形是轴对称图形,它有一条对称轴.3.等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”).3考试目标锁定规律方法探究考点梳理自主测试考点二等边三角形的性质与判定1.等边三角形的性质(1)等边
2、三角形的三个内角相等,且都等于60;(2)等边三角形的三条边都相等,等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.2.等边三角形的判定(1)三条边相等的三角形是等边三角形;(2)三个角相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角为60的等腰三角形是等边三角形.考点三线段的垂直平分线1.概念:经过线段中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫做中垂线.2.性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.3.判定:到一条线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合.4考试目标锁定规律方法探究考点梳理自主测试考点四角平分线
3、的性质及判定1.性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.2.判定:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,角的平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合.3.三角形角平分线的性质:三角形的三条角平分线交于一点,且这一点到三角形三边的距离相等.5考试目标锁定规律方法探究考点梳理自主测试1.已知一个等腰三角形的两条边长分别为3和8,则这个等腰三角形的周长为()A.11B.14C.19D.14或19答案:C2.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,A=20.线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,则CBE等于()A.80 B.70C.60 D.50答案:C6考试目标锁定规
4、律方法探究考点梳理自主测试3.如图,在ABC中,C=90,AD平分CAB,AD=5,AC=4,则点D到AB的距离是.答案:37考试目标锁定规律方法探究考点梳理自主测试4.如图,在ABC中,AB=AC,A=40,点P是ABC内一点,连接PB,PC,1=2,则BPC的度数是.答案:1108考试目标锁定规律方法探究考试目标锁定命题点1命题点2命题点3命题点4命题点1等腰三角形的性质与判定【例1】 如图,在ABC中,AB=BC,BEAC于点E,ADBC于点D,BAD=45,AD与BE交于点F,连接CF.(1)求证:BF=2AE;(2)若,求AD的长.(1)证明:ADBC,BAD=45,ABD=BAD=
5、45.AD=BD.ADBC,BEAC,CAD+ACD=90,CBE+ACD=90.CAD=CBE.又CDA=BDF=90,ADC BDF,AC=BF.AB=BC,BEAC,AE=EC,即AC=2AE,BF=2AE.9考试目标锁定规律方法探究考试目标锁定命题点1命题点2命题点3命题点410考试目标锁定规律方法探究考试目标锁定命题点1命题点2命题点3命题点411考试目标锁定规律方法探究考试目标锁定命题点1命题点2命题点3命题点4命题点2等边三角形的性质与判定【例2】 已知ABC为等边三角形,点D,E分别在BC,AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.(1)求证:ABE CAD;(2)求BFD
6、的度数.分析:解决等边三角形问题时,要充分利用等边三角形三边相等、三个角都等于60的性质.全等是解决这类问题最常见的方法.(1)证明:ABC为等边三角形,BAC=C=60,AB=CA.在ABE和CAD中,AB=CA,BAE=C,AE=CD,ABE CAD.(2)解:ABE CAD,ABE=CAD.BFD=ABE+BAD,BFD=CAD+BAD=BAC=60.12考试目标锁定规律方法探究考试目标锁定命题点1命题点2命题点3命题点413考试目标锁定规律方法探究考试目标锁定命题点1命题点2命题点3命题点4变式训练如图,已知在等边三角形ABC的AC边上取中点D,在BC的延长线上取一点E,使CE=CD.
7、求证:BD=DE.证明:ABC是等边三角形,ABC=ACB=60.点D是AC边上的中点,ABD=CBD=30.CE=CD,CDE=CED.又ACB=CDE+CED=60,CED=30.CBD=CED=30.BD=DE.14考试目标锁定规律方法探究考试目标锁定命题点1命题点2命题点3命题点4命题点3线段的垂直平分线【例3】 一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=4.(1)如图,将纸片沿CE对折,点B落在x轴上的点D处,求点D的坐标;(2)若将纸片沿直线l对折,点B落在x轴上的点F处(如图),l与BF的交点为Q,若点Q的坐
8、标是(3,2),求l的解析式.若点Q的坐标是(4,2),你能确定l的解析式吗?若能,求出其解析式;若不能,请说明理由.15考试目标锁定规律方法探究考试目标锁定命题点1命题点2命题点3命题点4分析:(1)由对称性知道,CD=CB,根据勾股定理求出OD,即可以求得点D的坐标;(2)由垂直平分线的性质,点Q为BF的中点.由中位线知识和点Q的坐标,可确定l上的另一点A.16考试目标锁定规律方法探究考试目标锁定命题点1命题点2命题点3命题点4解:(1)根据题意,知CD=CB=OA=5.COD=90,点D的坐标为(3,0).(2)过点Q作QMx轴于点M.当点Q的坐标为(3,2)时,如题图,OM=3,MA=
9、2,QM为FAB的中位线,FM=2,即FA=4.而AB=4,FA=AB,而l为BF的中垂线,点A在l上.l的解析式为y=-x+5.当Q点坐标为(4,2)时,OM=4,MA=1,OF=3,CF=5,而CB=5,CF=CB.l为BF的中垂线,点C在l上.l的解析式为y=-x+4.17考试目标锁定规律方法探究考试目标锁定命题点1命题点2命题点3命题点418考试目标锁定规律方法探究考试目标锁定命题点1命题点2命题点3命题点4命题点4角平分线的性质和判定【例4】 如图,BEAC于点E,CFAB于点F,BE,CF相交于点D,若BD=CD,求证:(1)DF=DE;(2)AD平分BAC.分析:由BEAC于点E,CFAB于点F,易得BFD=CED,先证BDF与CDE全等得到DF=DE,再由直角三角形的判定条件“HL”,证明RtADF与RtADE全等,便可得证AD平分BAC.19考试目标锁定规律方法探究考试目标锁定命题点1命题点2命题点3命题点4证明:(1)CFAB于点F,BEAC于点E,BFD=CED=90.又BDF=CDE,BD=CD,BDF CDE(AAS),DF=DE.RtADF RtADE(HL),FAD=EAD,即AD平分BAC.