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1、本资料来源于七彩教育网116空间直角坐标系与两点间的距离【知识网络】1了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置2通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标3探索并得出空间两点间的距离公式,会求空间两点间的距离【典型例题】例1(1)在空间直角坐标系中,点(1,2,3)关于x轴的对称点的坐标是 ( )A(1,2, 3) (1,2, 3) (1,2, 3) (1,2,3)(2)已知点A(1,2,6),B(1,2,6),O为坐标原点,则O,A,B三点A可以构成直角三角形 B可以构成钝角三角形 C可以构成锐角三角形 D不能构成三角形(3)已知线段AB两端点坐标为A(2,3,4),B
2、(2,5,3),则与线段AB平行的坐标平面( )A是xoy平面 B是yoz平面 C是xoz平面 D不存在(4)点A(1,0,1),AB中点坐标为(3,4,9),则B点坐标是 (5)与两点M(1,0,0),N(1,0,0)等距离的点的坐标(x,y,z)满足的条件是 例2 已知球心C(1,1,2),球的一条直径的一个端点为A(1,2,2),求该球的表面积及该直径的另一个端点的坐标。例3如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,已知C(0,0,0) A1(0,1,1),B(1,0,0),(1)求面对角线的长度;zyx(C)oBAC1B1A1(2)该三棱柱是否有外接球?若有,求出球的方程,若没有,说明理由
3、例4在三棱锥ABCD中,AC=AB=DC=DB=2,AD=BC=1,求该三棱锥的体积【课内练习】1在空间直角坐标系中,点(1,1,2)关于y轴的对称点的坐标是 ( ) A(1,1, 2) (1,1, 2) (1,1,2) (1, 1,2)2 点M(2,4,5)在xoy平面 ,yoz平面, xoz平面上的射影分别是( )A(0,4,5),(2,0,5),(2,4,0)B(2,4,0),(0,4,5),(2,0,5)C(2,0,5),(2,4,0),(0,4,5)D(0,4,0),(2,0,0),(0,4,0)3在空间直角坐标系中,线段AB的中垂面是yoz平面,点A(1,2,3),则点B的坐标是
4、( ) A(1,2,3) B(1,2,3) C(1,2,3) D(1,2,3)4在xoy平面内,到点(1,1,2)距离等于3的点的轨迹是 ( ) A一点 B一条直线 C两条平行线 D一个圆5点(4,1,2)关于原点的对称点的坐标是 6已知两点A(0,2,3),B(2,1,x),|AB|=5,则x等于 7在y轴上任意一点M到点N(2,1,3)距离的最小值是 8已知三点A(1,1,2),B(1,2,1),C(a,0,3),这三点能共线吗?若能共线,求出a的值;若不能共线,说明理由9在长方体ABCDA1B1C1D1中,部分顶点的坐标分别是A(1,1,1) B(1,3,1)C (4,3,1)A1(1,
5、1,3)求C1、D1点的坐标10对于任意实数x、y、z,求的最小值116空间直角坐标系与两点间的距离A组1在空间直角坐标系中,点(2,1,0)关于yoz平面的对称点的坐标是 ( ) A(2,1, 0) (2,1, 0) (2,1,0) ( 2, 1,0)2已知点A(1,2,3),B(x,y,z),若线段AB与xoz平面平行,则一定有 ( ) Ax=1 By=2 Cz=3 Dx=1且z=33点(a,b,c)与点(a,b, c)一定关于 ( ) Ax轴对称 By x轴对称 Cz轴对称 D平面xoy对称4在z轴上到两点A(4,1,7),B(3,5,2)距离相等的点是 5点A(2,1,3)到x轴的距离
6、是 6试利用空间两点间距离公式,求底面边长为1,高为1,的正六棱柱的对角线的长7已知P(1,0,0)、Q(0,0,1)、R(0,1,0)、S(1,1,1,),求以点PQRS为顶点的三棱锥的外接球的方程8已知点A(1,1,0),对于oz轴正半轴上任意一点P,在oy轴上是否存在一点B,使得PAAB恒成立?若存在,求出B点的坐标;若不存在,说明理由B组1在空间直角坐标系中,点(3,4,5)关于原点的对称点的坐标是 ( ) A(3, 4, 5) (3,4, 5) (3, 4, 5) ( 3, 4,5)2在空间,所有到定点M的距离等于1的点构成 ( ) A两个点 B一条直线 C一个平面 D一个球面3在空
7、间,方程y=2的几何意义是 ( )A一条直线 B一个平行于y轴的平面 C一个垂直于y轴的平面 D一个球面4点(3,4,5)到xoy平面的距离是 5已知两球的方程分别为:(x2)2(y1)2(z1)2=4, (x4)2y2(z1)2=1,那么这两球的位置关系是 6已知三角形三个顶点A(1,2,3),B(1,1,1),C(0,0,5)求证:ABC为直角三角形 7若平面经过线段AB的中点,且线段AB平面,则称是线段AB的中垂面若已知A(1,0,2),B(3,2,0),求线段AB的中垂面与oz轴的交点坐标8若球(x1)2(y2)2(z1)2=9被平面z=a所截圆的面积大于,求实数a的取值范围116空间
8、直角坐标系与两点间的距离【典型例题】例1 (1)A提示:点(a,b,c)关于x轴的对称点是(a,b,c)(2)A提示:|AO|BO|=|AB|(3)B提示:(x1,y1,z1)与(x2,y2,z2)中,x1= x2(4)(5,8,17)提示:用中点坐标公式(5)x=0提示:所求点集是yoz平面例2、因直径两端点关于球心对称,设另一端点的坐标为(x,y,z)则=1,x=3;=1 ,y=0;=2,y=2故直径的另一个端点的坐标为(3,0,2)球的半径r2=(11)2(12)2(22)2=5球的面积为20.例3、(1)由题知直三棱柱ABCA1B1C1中,C(0,0,0) A1(0,1,1),B(1,
9、0,0),得A(0,1,0),B1(1,0,1),C1(0,0,1)由两点间的距离公式知,面对角线A1B与AB1的长为面对角线A1C与AC1及BC1与B1C的长均为(2)解法一 记A1B与AB1交点为E,A1C与AC1交点为F,在A1BC中,EFBC,而BC面A1CAC1,EF面A1CAC1,四边形A1CAC1为矩形,直线EF上的任意一点到A1、C、A、C1距离相等;又四边形AA1B1B为矩形,E到A、A1、B1、B四点距离相等E点到A、A1、B1、B、C、C1六点距离相等,直三棱柱ABCA1B1C1有外接球,球心在E点。由于E点是线段A1B的中点,故E点的坐标为(,),球的半径r=球的方程为
10、(x)2(y)2(z)2= (2)到点A1、C、A、C1距离相等的点,在过A1C与AC1交点且与面A1CAC1垂直的直线上,该直线上的点满足y= ,z= 设存在球心P(x,)则必有PA=PB解之得:x=易验证点P到A、A1、B1、B、C、C1六点距离相等,直三棱柱ABCA1B1C1有外接球,球心在P(,)。球的半径r=A1B=球的方程为(x)2(y)2(z)2= 解法三 同解法二,到点A1、C、A、C1距离相等的点,在过A1C与AC1交点且与面A1CAC1垂直的直线上,该直线上的点满足y= ,z= 同理,到B1、B、C、C1四点距离相等的点,一定在过A1B与AB1交点且与面AA1B1B垂直的直
11、线上,该直线上的点满足x= ,z= 综合得,球心为P(,)(下略)例4、以点A为原点,面ABC所在平面为xoy面,将AB置于ox轴正半轴上,建立空间直角坐标系,如图zyxDCBAAC=AB =2,BC=1,易求得SABC=1=A(0,0,0),B(2,0,0)C(,0)设D(x,y,z)由DA=1得 x2y2z2=1 由DC=2,得(x)2(y)2z2= 4 由DB=2,得(x2)2y2z2=4 由得4x4=3 x= 将代入得1xy=4y= 将代入得 z2=1z2= z=D点到平面ACB的距离为【课内练习】1C提示:点(a,b,c)关于y轴的对称点是(a, b,c) 2B提示:xoy平面内的点
12、,z=03A提示:相当于求点关于平面的对称点坐标4D提示:联想圆锥5(4, 1,2)提示:点(a,b,c)关于原点的对称点是(a, b,c)632提示:用两点间距离公式,解方程7提示:联想长方体8不能共线提示:数形结合知,若ABC三点共线,则CAAB=CB,将坐标代入后,方程无解9C1(4,3,3)D1(4,1,3)提示:C1点与C有相同的x,与B有相同的y,与A1有相同的zD1点与A1有相同的y和z,与C有相同的x10提示:原表达式是空间点(x,y,z)到(0,0,0)的距离与到(1,2,1)的距离之和,最小值即线段的长116空间直角坐标系与两点间的距离A组1C提示:点(a,b,c)关于yo
13、z平面的对称点是(a, b, c)2B提示:数形结合,画出一个长方体看一看3C提示:取一个特殊数据,画图看规律4(0,0,)提示:设出点的坐标,用两点间距离公式建立方程5提示:先求A点在x 轴上的射影62,提示:建立直角坐标系,确定各点的坐标,用两点间的距离公式7(x)2(y)2(z)2= ,提示:以PQRS四点为顶点构造一个正方体运算最方便8存在B(0,1,0)提示:设点P、B的坐标,用勾股定理,或用三垂线定理B组1D提示:点(a,b,c)关于原点的对称点是(a, b, c)2D提示:类比平面上圆的定义3C提示:画张图观察45提示:所求距离是|5|=55相切提示:球的方程揭示了动点到定点的距离等于定长,定点即球心,定长即半径,我们用两点间距离公式,判断两球心之间的距离与半径之和的大小关系6提示:证明两边长的平方和等于第三边长的平方7(0,0,2)提示:平面上的点构成的集合是空间到线段两端点距离相等的点的集合,依据这一性质列方程并化简,可得平面的方程,求交点时只须令x=0,y=084a2,提示:球心(1,2,1)到z=a的距离为a1,球的半径为3,若平面与球相交,截面圆半径为,由题知9(a1)2,解之即得