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1、第 1 页 共 12 页第二章 直线与平面的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法： 水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2 倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面 等， 也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面 ABCD等。3 三个公理：（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为AL BL = L AB公理 1作用：判断直线是否在平面内（2）公理 2：过不在一条
2、直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面，使 A 、B 、C 。公理 2 作用：确定一个平面的依据。（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P = =L，且 PL 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c 是三条直线ab c
3、b 强调：公理4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点： a 与 b 所成的角的大小只由a、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角 (0 ， ) ；D C B A A A A C B A P L共面直线=a c2第 2 页 共 12 页 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线
4、所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交有且只有一个公共点（3）直线在平面平行没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示a a=A a2.2. 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a b = aab 2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个
5、平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a b ab = P ab2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：第 3 页 共 12 页a a ab = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a ab = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3
6、直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义如果直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面 互相垂直， 记作 L ，直线 L 叫做平面 的垂线， 平面 叫做直线 L 的垂面。 如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 L p 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b) 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 l B
7、2、二面角的记法：二面角 -l- 或-AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。第 4 页 共 12 页第二章点、直线、平面之间的位置关系A组一、选择题1设l，m为两条不同的直线，且lm?，有如下的两个命题：若lm；若lm，则( )A是真命题，是假命题B是假命题，是真命题C都是真命题D都是假命题2如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是 ( )ABD平面CB1D1 B
8、AC1BDCAC1平面CB1D1 D异面直线AD与CB1角为 603关于直线m，n与平面mn且mn；mn且mn；mn且mn；mn且mn其中真命题的序号是( )ABCD4给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是( )A1 B2 C3 D4 5下列命题中正确的个数是( )若直线l上有无数个点不在平面内，则l若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行( 第 2 题)第 5 页 共 12 页如果两条平行直线
9、中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点A0 个B1 个C2 个D3 个6 两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面( )A不存在B有唯一的一个C有无数个D只有两个7把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )A90B60C45D308下列说法中不正确的是( )A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B同一平面的两条垂线一定共面C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D过一条直线有
10、且只有一个平面与已知平面垂直9给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是( )A4 B3 C2 D1 10 异面直线a，b所成的角60， 直线ac， 则直线b与c所成的角的范围为( )A30 ，90 B60 ，90 C30 ，60D30 ，120二、填空题11已知三棱锥P ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面
11、积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为12P是ABC所在平面外一点，过P作PO平面O，连PA，PB，PC第 6 页 共 12 页(1) 若PAPBPC，则O为ABC的心；(2)PAPB，PAPC，PCPB，则O是ABC的心；(3) 若点P到三边AB，BC，CA的距离相等，则O是ABC的心；(4) 若PAPBPC，C90o，则O是AB边的点；(5) 若PAPBPC，ABAC，则点O在ABC的线上13如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为14直线l与平面所成角
12、为 30，lA，直线mm与l所成角的取值范围是15棱长为 1 的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1d2d3d4的值为16直二面角l的棱上有一点A，在平面内各有一条射线AB，AC与l成 45，ABACBAC三、解答题17在四面体ABCD中，ABC与DBC都是边长为4 的正三角形(1) 求证：BCAD；(2) 若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角ABCD的正弦值；(3) 设二面角ABCD的大小为猜想为何值时，四面体ABCD的体积最大( 不要求证明 ) J ( 第 13 题)(第 17 题)第 7 页 共 12 页18 如图，在长方体ABCDA
13、1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB(1) 求证：平面EDB平面EBC；(2) 求二面角EDBC的正切值 . ( 第 18 题)第 8 页 共 12 页19*如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD中，ADBC，ABC90，SA面ABCD，SAABBC，AD21(1) 求四棱锥SABCD的体积；(2) 求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值( 提示：延长BA，CD相交于点E，则直线SE是所求二面角的棱.) ( 第 19 题) 20*斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积 ( 提示：在AA1上取一点P，过
14、P作棱柱的截面，使AA1垂直于这个截面.) ( 第 20 题) A 第 9 页 共 12 页第二章点、直线、平面之间的位置关系参考答案一、选择题1D 解析：命题有反例，如图中平面平面直线n，l ?m ?且ln，mn，则ml，显然平面不垂直平面( 第 1 题) 故是假命题；命题显然也是假命题，2D解析：异面直线AD与CB1角为 453D解析：在、的条件下，m，n的位置关系不确定4D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现均不正确，故选择答案D5B解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD外，但AA1与平面ABCD相交， 不正确；A1B1平面ABCD， 显然A1B1不平行于BD， 不
15、正确；A1B1AB，A1B1平面ABCD，但AB ?平面ABCD内，不正确；l与平面 平行，则l与无公共点，l与平面内的所有直线都没有公共点，正确，应选B (第 5 题) 6B解析：设平面过l1，且l2l1上一定点P与l2确定一平面，与的交线l3l2，且l3 过点P. 又过点P与l2平行的直线只有一条，即l3有唯一性，所以经过l1和l3的平面是唯一的，即过l1且平行于l2的平面是唯一的. 7C 解析：当三棱锥DABC体积最大时，平面DACABC，取AC的中点O，则DBO是等腰直角三角形，即DBO458D 解析： A一组对边平行就决定了共面；B同一平面的两条垂线互相平行，因而共面； C这些直线都
16、在同一个平面内即直线的垂面；D把书本的书脊垂直放在桌上就明确了9B解析：因为正确，故选B10A解析：异面直线a，b所成的角为60，直线ca，过空间任一点P，作直线aa， bb， cc. 若a，b，c 共面则b 与c 成 30 角，否则b第 10 页 共 12 页与c 所成的角的范围为( 30，90 ，所以直线b与c所成角的范围为30 ， 90 二、填空题11313212SSS解析：设三条侧棱长为a，b，c则21abS1，21bcS2，21caS3 三式相乘： 81a2 b2 c2S1S2S3， abc23212SSS 三侧棱两两垂直， V31abc21313212SSS12外，垂，内，中，BC
17、边的垂直平分解析： (1) 由三角形全等可证得O 为ABC 的外心；(2) 由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为ABC 的垂心；(3) 由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为ABC 的内心；(4) 由三角形全等可证得，O 为AB 边的中点；(5) 由(1) 知，O 在BC 边的垂直平分线上，或说O 在BAC 的平分线上1360解析：将ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为601430 ，90 解析：直线l与平面所成的 30的角为m与l所成角的最小值，当m在内适当旋转就可以得到lm，即m与l所成角的的最大值为901536解析：作等积变换：4331(d1d2d3d4
18、) 4331h，而h361660或 120解析：不妨固定AB，则AC有两种可能三、解答题17证明： (1) 取BC中点O，连结AO，DOABC，BCD都是边长为4 的正三角形，AOBC，DOBC，且AODOO ，BC平面AOD又AD平面AOD，BCAD (第 17 题) 解：(2) 由(1) 知AOD为二面角ABCD的平面角， 设AOD则过点D作DEAD，第 11 页 共 12 页垂足为EBC平面ADO，且BC平面ABC，平面ADO平面ABC又平面ADO平面ABCAO，DE平面ABC线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE 3又DO23BD23 ，在 RtDEO中， sinDODE23，故
19、二面角ABCD的正弦值为23(3) 当90时，四面体ABCD的体积最大18证明： (1) 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E为D1C1的中点DD1E为等腰直角三角形，D1ED45同理C1EC4590DEC，即DEEC在长方体ABCD1111DCBA中，BC平面11DCCD，又DE平面11DCCD，BCDE 又CBCEC， DE平面EBC 平面DEB过DE， 平面DEB平面EBC (2) 解：如图，过E在平面11DCCD中作EODC于O 在长方体ABCD1111DCBA中， 面 ABCD 面11DCCD，EO面ABCD过O在平面 DBC中作OFDB于F，连结EF，EFB
20、DEFO为二面角EDBC的平面角利用平面几何知识可得OF51， (第 18 题) 又OE1，所以， tanEFO5 19* 解： (1) 直角梯形ABCD的面积是M底面ABADBC)(214312211，四棱锥SABCD的体积是V31SAM底面3114341(2) 如图，延长BA，CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱ADBC，BC2AD，EA AB SA，SESBSA面ABCD，得面SEB面EBC，EB是交线第 12 页 共 12 页又BCEB，BC面SEB，故SB是SC在面SEB 上的射影，CSSE，BSC是所求二面角的平面角SB22ABSA2 ，BC1，BCSB，tan BSC22SBBC，( 第 19 题) 即所求二面角的正切值为2220*解：如图， 设斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面BB1C1C的面积为 10，A1A和面BB1C1C的距离为6，在AA1上取一点P作截面PQR，使AA1截面PQR，AA1CC1，截面PQR侧面BB1C1C，过P作POQR于O，则PO侧面BB1C1C，且PO6V斜SPQRAA121QRPOAA1 21POQRBB1 2110630(第 20 题)