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1、精品名师归纳总结其次章 直线与平面的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示1平面的画法： 水平放置的平面通常画成一个平行四边形，0锐角画成 45 ，且横边画成邻边的2 倍长如图DC2平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对AB的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面 ABCD等。3 三个公理：1公理 1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为A LB L= LAA B公理 1 作用：判定直线是否在平面内2公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只
2、有一个平面。AB符号表示为： A、B、C三点不共线 =有且只有一个平面， C使 A、 B、 C。公理 2 作用：确定一个平面的依据。3公理 3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线。符号表示为： P = =L，且 P L公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点。PL可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
3、总结异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线相互平行。符号表示为：设a、b、c 是三条直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a b c b=a c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判定空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 留意点： a与 b 所成的角的大小只由a、b 的相互位置来确定，与O 的挑选无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上。 两条异面直线所成的角0 ， 。2
4、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线相互垂直，记作两条直线相互垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形。运算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。ab。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：1直线在平面内 有很多个公共点2直线与平面相交 有且只有一个公共点3直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情形统称为直线在平面外，可用a来表示aa =Aa2.2. 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平
5、面外一条直线与此平面内的一条直线平行，就该直线与此平面平行。简记为：线线平行，就线面平行。符号表示：a b = aa b2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，就这两个平面平行。符号表示：aba b = Pa b2、判定两平面平行的方法有三种：1用定义。2判定定理。3垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，就过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行就线线平行。符号表示：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaa b =
6、 b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：假如两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示： = aab = b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义假如直线 L 与平面内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线 L 与平面相互垂直， 记作 L， 直线 L 叫做平面的垂线， 平面叫做直线 L 的垂面。 如图， 直线与平面垂直时 , 它们唯独公共点 P 叫做垂足。Lp2、判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，就该直线与此平面垂直。留意点： a定理中的“两条相交直线”这一条件不行
7、无视。b 定理表达了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间始终线动身的两个半平面所组成的图形A梭 lB2、二面角的记法：二面角-l-或 -AB- 3、两个平面相互垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，就这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2 性质定理： 两个平面垂直，就一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次章 点、直线、平面之间的位置关系A 组一、挑选题1设，为两个不同的平面
8、， l ， m为两条不同的直线，且l，m.，有如下的两个命题：假设 ，就 l m。假设 l m，就 那么 A是真命题，是假命题B是假命题，是真命题C都是真命题D都是假命题2如图， ABCD A1B1C1D1 为正方体，下面结论错误的选项是 A BD平面 CB1D1B. AC1 BDC. AC1平面 CB1D1D. 异面直线 AD与 CB1 角为 60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3关于直线 m， n 与平面， ，有以下四个命题： 第 2 题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 m， n且，就 m n。 m，n且，就 m n。 m， n且，就 m n。 m，n且，就
9、 m n其中真命题的序号是 ABCD 4给出以下四个命题：垂直于同始终线的两条直线相互平行垂直于同一平面的两个平面相互平行假设直线 l 1，l 2 与同一平面所成的角相等，就l 1， l 2 相互平行假设直线 l 1，l 2 是异面直线，就与l 1， l 2 都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是 A 1B 2C 3D 4 5以下命题中正确的个数是假设直线 l 上有很多个点不在平面内，就 l 假设直线 l 与平面平行，就 l 与平面内的任意一条直线都平行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行假设直线 l
10、与平面平行，就 l 与平面内的任意一条直线都没有公共点A 0 个B 1 个C 2 个D 3 个6 两直线 l 1 与 l 2 异面，过 l 1 作平面与 l 2 平行，这样的平面A不存在B有唯独的一个C有很多个D只有两个 7把正方形 ABCD沿对角线 AC折起， 当以 A，B，C，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD和平面 ABC所成的角的大小为A 90B 60C 45D 308. 以下说法中不正确的选项是 A空间中，一组对边平行且相等的四边形肯定是平行四边形 B同一平面的两条垂线肯定共面 C过直线上一点可以作很多条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D过一条直线有且只有一个
11、平面与已知平面垂直9. 给出以下四个命题：假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面假如两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面相互垂直其中真命题的个数是 A 4B 3C 2D 110. 异面直线 a，b 所成的角 60，直线 ac，就直线 b 与 c 所成的角的范畴为 A30 ， 90B60 ， 90C30 ， 60D30 ，120二、填空题11. 已知三棱锥 PABC的三条侧棱 PA，PB，PC两两相互垂直，且三个
12、侧面的面积分别为 S1， S2， S3，就这个三棱锥的体积为12. P是 ABC所在平面外一点，过 P 作 PO平面，垂足是 O，连 PA， PB，PC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 假设 PA PB PC，就 O为 ABC的心。(2) PA PB， PA PC， PC PB，就 O是 ABC的心。(3) 假设点 P 到三边 AB，BC， CA的距离相等，就 O是 ABC的心。(4) 假设 PA PB PC， C 90o，就 O是 AB边的点。(5) 假设 PA PB PC， AB AC，就点 O在 ABC的线上13. 如图，在正三角形ABC中， D， E，F 分别为各
13、边的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中点， G，H，I ，J 分别为 AF，AD，BE，DE的中点，将 ABC 沿 DE， EF， DF 折成三棱锥以后， GH与 IJ所成角的度数 为J 第 13 题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14. 直线 l 与平面所成角为 30， l A，直线 m ，就 m与 l 所成角的取值范畴是15. 棱长为 1 的正四周体内有一点P，由点 P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2， d3， d4，就 d1d2 d3 d4 的值为16. 直二面角 l 的棱上有一点A，在平面，内各有一条射线 AB，AC与 l 成 45， AB，
14、AC，就 BAC三、解答题17. 在四周体 ABCD中， ABC与 DBC都是边长为 4 的正三角形(1) 求证： BCAD。(2) 假设点 D到平面 ABC的距离等于 3，求二面角 A BC D的正弦值。(3) 设二面角 A BC D的大小为，猜想为何值时，四周体 A BCD的体积最大 不要求证明 第 17 题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结18 如图，在长方体ABCD A1B1C1D1 中， AB 2，BB1 BC 1， E 为 D1C1 的中点，连结 ED， EC， EB和 DB(1) 求证：平面 EDB平面 EBC。(2) 求二面角 E DB C的正切值 . 第 18
15、题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结19* 如图，在底面是直角梯形的四棱锥 ABCD中， ADBC， ABC 90，SA面 ABCD， SAAB BC， AD 1 21 求四棱锥 S ABCD的体积。2 求面 SCD与面 SBA所成的二面角的正切值 提示：延长 BA， CD相交于点 E，就直线 SE 是所求二面角的棱 . 第 19 题20* 斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积 提示：在 AA1 上取一点 P，过 P 作棱柱的截面，使AA1 垂直于这个截面 . 第 20 题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次章点、直线、
16、平面之间的位置关系参考答案一、挑选题1 D 解析：命题有反例，如图中平面平面直线n，l .， m.，且 l n，m n，就 m l ，明显平面不垂直平面， 第 1 题故是假命题。命题明显也是假命题，2 D解析：异面直线AD与 CB1 角为 453 D解析：在、的条件下，m， n 的位置关系不确定4 D解析：利用特别图形正方体我们不难发觉均不正确，故挑选答案D5B 解析：学会用长方体模型分析问题，A1A 有很多点在平面 ABCD外，但 AA1 与平面 ABCD相交， 不正确。 A1B1平面 ABCD，明显 A1B1 不平行于 BD，不正确。 A1B1 AB，A1B1平面 ABCD，但 AB. 平
17、面 ABCD内，不正确。 l 与平面 平行，就 l 与无公共点， l 与平面内的全部直线都没有公共点，正确，应选6B 解析：设平面B过 l 1，且 l 2，就 l第 5 题1 上肯定点 P 与 l 2 确定一平面与的交线 l 3 l 2，且 l 3 过点 P.又过点 P与 l 2 平行的直线只有一条， 即，l 3 有唯独性，所以经过 l 1 和 l 3 的平面是唯独的，即过 l 1 且平行于 l 2 的平面是唯独的 .7. C 解析：当三棱锥 D ABC体积最大时，平面 DAC ABC，取 AC的中点 O，就 DBO是等腰直角三角形，即 DBO 458. D 解析： A一组对边平行就打算了共面
18、。 B同一平面的两条垂线相互平行，因而共面。 C这些直线都在同一个平面内即直线的垂面。 D把书本的书脊垂直放在桌上就明确了9. B 解析：由于正确，应选 B10A 解析：异面直线 a ， b 所成的角为 60，直线 c a ，过空间任一点 P，作直线a a， b b， c c. 假设 a， b， c 共面就 b 与 c 成 30 角，否就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 与 c 所成的角的范畴为 30， 90 ，所以直线b 与 c 所成角的范畴为 30 ， 90 二、填空题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 12S S S解析：设三条侧棱长为a， b， c可
19、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1233111就ab S1，bcS2，caS3 三式相乘：222 1 a2 b 2 c 2 S S S ，1 2 38 abc22S1S2 S3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 三侧棱两两垂直， V 1 abc 1 13232 S1S2 S3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12外，垂，内，中， BC边的垂直平分解析： 1 由三角形全等可证得O 为 ABC的外心。(2) 由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为 ABC的垂心。(3) 由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为 ABC的内心。(4) 由三角形全等可证得
20、，O 为 AB 边的中点。(5) 由1 知， O 在 BC 边的垂直平分线上，或说O 在 BAC的平分线上1360解析：将ABC沿 DE，EF， DF 折成三棱锥以后，GH与 IJ 所成角的度数为601430 ， 90 解析：直线l 与平面所成的 30的角为 m与 l 所成角的最小值，当 m在内适当旋转就可以得到l m，即 m与 l 所成角的的最大值为90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结156 解析：作等积变换：1333 d1 d2 d3d4 1433 h，而 h 6 43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16. 60或 120解析：不妨固定AB，就 AC有两种可
21、能 三、解答题17. 证明： 1 取 BC中点 O，连结 AO， DO ABC， BCD都是边长为 4 的正三角形， AOBC， DOBC，且 AO DOO， BC平面 AOD又 AD平面 AOD， BCAD第 17 题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：2 由1 知 AOD为二面角 A BC D的平面角， 设 AOD ，就过点 D作 DEAD，垂足为 E BC平面 ADO，且 BC平面 ABC，平面 ADO平面 ABC又平面 ADO平面 ABC AO， DE平面 ABC线段 DE的长为点 D到平面 ABC的距离，即 DE 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又
22、DO3 BD 23 ，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 Rt DEO中， sinDE 3 ，DO2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故二面角 A BC D的正弦值为3 23 当 90时，四周体ABCD的体积最大18. 证明： 1 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 2，BB1 BC 1，E为 D1C1 的中点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DD1E 为等腰直角三角形，D1ED 45同理 C1EC 45DEC90 ，即 DE EC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在长方体
23、 ABCDA1B1C1D1 中， BC平面D1DCC 1 ，又 DE平面D1DCC 1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BCDE又 ECBCC ， DE平面 EBC平面 DEB过 DE，平面 DEB平面 EBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解：如图，过 E在平面D1DCC 1 中作 EO DC于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结O在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，面 ABCD面D1DCC 1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 EO面 ABCD过 O在平面 DBC中作 OF DB于 F，连结 EF， EF BD EFO
24、为二面角 E DB C的平面角利可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用平面几何学问可得OF1，第 18 题5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 OE 1，所以， tanEFO 5 19* 解： 1 直角梯形 ABCD的面积是 M底面 1 BC AD2AB 1 1221 3 ，4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四棱锥 SABCD的体积是 V1 SA M底面31 1 3 1 344可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 如图，延长 BA， CD相交于点 E，连结 SE，就 SE是所求二面角的棱
25、ADBC， BC2AD， EAABSA， SE SB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 SA面 ABCD，得面 SEB面 EBC， EB是交线又 BC EB， BC面 SEB，故 SB是 SC在面 SEB上的射影， CSSE， BSC是所求二面角的平面角 SB SA2 AB2 2 ， BC1， BCSB， tan BSC BC SB2 ，2 第 19 题即所求二面角的正切值为20* 解： 如图， 设斜三棱柱2 2ABC A1B1C1 的侧面 BB1C1C 的面积为 10， A1A 和面 BB1C1C 的距离为 6，在 AA1 上取一点 P 作截面PQR，使 AA1截面 PQR， AA1CC1，截面 PQR侧面 BB1C1C，过 P 作 PO QR于 O，就 PO侧面 BB1C1 C，且 PO 6 V 斜 SPQR AA1 1 QR POAA12第 20 题 1 PO QR BB12 1 1062 30可编辑资料 - - - 欢迎下载