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1、第 1 页 共 8 页第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角和斜率3.1 倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与 x 轴相交时 , 取 x 轴作为基准 , x轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角 . 特别地 , 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定 = 0 . 2、 倾斜角 的取值范围： 0 180. 当直线 l 与 x 轴垂直时 , = 90 . 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角( 90) 的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示, 也就是 k = tan当直线l 与 x 轴平行或重合时, =0 , k = tan0=0; 当直线l 与 x
2、轴垂直时 , = 90 , k 不存在 . 由此可知 , 一条直线l 的倾斜角 一定存在 , 但是斜率k 不一定存在 . 4、 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2, 用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式 : 3.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意 : 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提， 结论并不成立即如果k1=k2, 那么一定有L1L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反
3、之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即3.2.1 直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程：直线l经过点),(000yxP，且斜率为k)(00 xxkyy2、 、直线的斜截式方程：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为),0(b第 2 页 共 8 页bkxy3.2.2 直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点),(),(222211yxPxxP其中),(2121yyxx),(1212112121yyxxxxxxyyyy2、直线的截距式方程：已知直线l与x轴的交点为A)0 ,(a，与y轴的交点为B),0(b，其中0,0 ba3.2.3 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于yx
4、,的二元一次方程0CByAx（ A， B 不同时为 0）2、各种直线方程之间的互化。3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组34202220 xyxy得 x=-2， y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为M（-2，2）3.3.2两点间距离两点间的距离公式22122221PPxxyy3.3.3点到直线的距离公式1点到直线距离公式：点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为：2200BACByAxd2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为1l：01
5、CByAx，2l：02CByAx，则1l与2l的距离为2221BACCd第 3 页 共 8 页第三章直线与方程A 组一、选择题1若直线x1 的倾斜角为，则() A等于 0 B等于C等于2D不存在2图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 () A k1 k2 k3 Bk3k1k2Ck3 k2 k1Dk1k3k2 3已知直线l1经过两点 (1， 2)、 ( 1，4) ，直线 l2经过两点 ( 2，1) 、( x，6) ，且l1l2，则 x() A 2 B 2 C4 D1 4已知直线l 与过点 M( 3 ，2 ) ，N(2 ，3 ) 的直线垂直，则直线l 的倾斜角是 () A3B
6、32C4D435如果 AC 0，且 BC0，那么直线AxByC 0不通过 () A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6设 A，B 是 x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且 | PA| | PB| ，若直线 P A 的方程为xy 10，则直线PB 的方程是 () A xy50 B2xy10 C2yx40 D2xy70 7过两直线l1：x3y4 0 和 l2：2xy 50 的交点和原点的直线方程为() A 19x9y0 B9x19y 0 C19x3y 0 D3x19y0 8直线 l1：xa2y60 和直线 l2 : ( a2) x3ay2a0 没有公共点，则a 的值是()A 3 B 3 C1
7、 D 1 ( 第 2 题)第 4 页 共 8 页9将直线l 沿 y 轴的负方向平移a( a0) 个单位，再沿x 轴正方向平移a1 个单位得直线 l，此时直线l 与 l 重合，则直线l 的斜率为 () A1aaB1aaCaa1Daa110点 ( 4，0) 关于直线 5x 4y210 的对称点是 () A ( 6，8)B( 8， 6)C( 6，8)D ( 6， 8)二、填空题11已知直线l1的倾斜角115 ，直线 l1与 l2的交点为A，把直线 l2绕着点 A 按逆时针方向旋转到和直线l1重合时所转的最小正角为60 ， 则直线 l2的斜率 k2的值为12若三点A( 2，3) ，B( 3， 2) ，
8、C(21，m) 共线，则 m 的值为13已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A( 0，1) ，B( 1，0) ，C( 3，2) ，求第四个顶点D 的坐标为14求直线3xay1 的斜率15已知点A( 2，1) ，B( 1， 2) ，直线 y2 上一点 P，使 | AP| | BP| ，则 P 点坐标为16 与 直 线2x 3y 5 0 平 行 ， 且 在 两 坐 标 轴 上 截 距 的 和 为6 的 直 线 方 程是17若一束光线沿着直线x2y50 射到 x 轴上一点，经x 轴反射后其反射线所在直线的方程是三、解答题18设直线l 的方程为 (m22m3)x( 2m2m 1) y2m6( m
9、R，m 1) ，根据下列条件分别求m 的值：l 在 x 轴上的截距是3；斜率为 119已知 ABC 的三顶点是A( 1， 1) ，B( 3，1) ，C( 1，6) 直线 l 平行于 AB，交第 5 页 共 8 页AC，BC 分别于 E，F， CEF 的面积是 CAB 面积的41求直线 l 的方程20一直线被两直线l1：4xy60，l2：3x5y60 截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程. 21直线 l 过点 ( 1，2) 和第一、二、四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线 l 的方程第三章直线与方程( 第 19题)第 6 页 共 8 页参考答案A 组一、选择题1C 解析：直
10、线x1 垂直于 x轴，其倾斜角为90 2D 解析：直线l1的倾斜角1是钝角，故k10；直线 l2与 l3的倾斜角2，3 均为锐角且23，所以 k2k30，因此 k2k3k1，故应选D3A 解析：因为直线l1经过两点 ( 1， 2) 、( 1， 4) ，所以直线l1的倾斜角为2，而 l1 l2，所以，直线l2的倾斜角也为2，又直线 l2经过两点 ( 2，1) 、( x，6)，所以， x24C 解析：因为直线MN 的斜率为12332，而已知直线l 与直线 MN 垂直，所以直线 l 的斜率为1，故直线l 的倾斜角是45C 解析：直线Ax ByC0 的斜率 kBA 0，在 y 轴上的截距BCD0，所以
11、，直线不通过第三象限6A 解析：由已知得点A( 1，0) ，P( 2，3) ，B(5，0) ，可得直线PB 的方程是 xy507D 8D 9B 解析 : 结合图形，若直线l 先沿 y 轴的负方向平移，再沿x 轴正方向平移后，所得直线与 l 重合，这说明直线l 和 l的斜率均为负，倾斜角是钝角设l的倾斜角为，则tan 1aa10D 解析：这是考察两点关于直线的对称点问题直线5x4y210 是点 A( 4， 0)与所求点A( x，y) 连线的中垂线，列出关于x，y 的两个方程求解二、填空题11 1解析：设直线l2的倾斜角为2，则由题意知：180 215 60 ，2135 ，k2tan 2tan(
12、180 45 ) tan45 11221解： A，B，C 三点共线，( 第 11题)第 7 页 共 8 页kABkAC，22132332m解得 m2113(2，3) 解析：设第四个顶点D 的坐标为 ( x，y) ，ADCD，ADBC，kADkCD 1，且 kADkBC01xy32xy 1，01xy1解得10yx( 舍去 )32yx所以，第四个顶点D 的坐标为 ( 2，3) 14a3或不存在解析：若a0 时，倾角90 ，无斜率若 a0 时， ya3xa1直线的斜率为a315 P( 2， 2). 解析：设所求点 P( x， 2) ， 依题意：22) 12()2(x22)22() 1(x，解得 x
13、2，故所求P 点的坐标为 ( 2，2) 1610 x15y360解析：设所求的直线的方程为2x3yc0，横截距为2c，纵截距为3c，进而得c = 53617x 2y50解析：反射线所在直线与入射线所在的直线关于x 轴对称，故将直线方程中的y 换成y三、解答题18 m35； m34解析：由题意，得32622mmm 3，且 m2 2m30解得m35第 8 页 共 8 页由题意，得123222mmmm 1，且 2m2m10解得m3419x 2y50解析：由已知，直线AB 的斜率k131121因为 EFAB，所以直线EF 的斜率为21因为 CEF 的面积是 CAB 面积的41，所以 E 是 CA 的中
14、点点E 的坐标是 ( 0，25) 直线 EF 的方程是y2521x，即 x2y5020 x 6y0解析：设所求直线与l1，l2的交点分别是A，B，设 A( x0， y0) ，则 B 点坐标为( x0， y0) 因为 A，B 分别在 l1， l2上，所以06530640000yxyx得： x06y00，即点 A 在直线 x6y0 上，又直线x 6y0 过原点，所以直线 l 的方程为x6y0212xy40 和 xy30解析：设直线l 的横截距为a，由题意可得纵截距为6a直线 l 的方程为16ayax点 (1，2) 在直线 l 上，1621aa，a25a60，解得 a12，a23当 a2时， 直线的方程为142yx， 直线经过第一、 二、 四象限当 a3 时， 直线的方程为133yx，直线经过第一、二、四象限综上所述，所求直线方程为2xy 40 和 xy3 0