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1、1/7 第三章 直线与方程 1、直线倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定=0.2、倾斜角的取值范围：0180.当直线 l 与 x 轴垂直时,=90.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,常用小写字母 k 表示,也就是 k=tan。当直线 l 与 x 轴平行或重合时,=0,k=tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时,=90,k 不存在.当90,0时，0k，k 随着的增大而增大；当180,90时，0k，k 随着的增大而增大；当
2、90时，k不存在。由此可知,一条直线 l 的倾斜角一定存在,但是斜率 k 不一定存在.过两点),(),(222111yxPyxP、的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk 注意下面四点：(1)当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；(2)k 与21PP、的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率，再求倾斜角。三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的连线都有斜率且都相等，那么这三点共线；反之，三点共线，任意两点连线的斜率不一定相等。解决此类问题要先考虑斜率是否存在。4、直线方程（注意各种
3、直线方程之间的转化）直线的点斜式方程：)(00 xxkyy，k为直线的斜率，且过点00,yx，适用条件是不垂直 x 轴。注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是0yy。当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示 但因 l 上每一点的横坐标都等于 x0，所以它的方程是 x=x0。斜截式：bkxy，k 为直线的斜率，直线在 y 轴上的截距为 b 两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）直线两点11,yx，22,yx 截矩式：1xyab，其中直线l与x轴交于点(,0)a,与y轴交于点(0,)b,即l与x轴、y轴的截距分别为,a b。一般式：0CByAx
4、（A，B 不全为 0）注意：在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。各式的适用范围 特殊的方程如：平行于 x 轴的直线：by（b 为常数）；平行于 y 轴的直线：ax（a 为常数）；5、直线系方程：即具有某一共同性质的直线（1）平行直线系 平行于已知直线0000CyBxA（00,BA是不全为 0 的常数）的直线系：000CyBxA（C 为常数），所以平行于已知直线0000CyBxA的直线方程可2/7 设：000,0CCCyBxA 垂直于已知直线0000CyBxA（00,BA是不全为 0 的常数）的直线方程可设：000CyAxB（C 为常数）（2）过定点的直线系 斜
5、率为 k 的直线系：00 xxkyy，直线过定点00,yx；过两条直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为 0222111CyBxACyBxA（为参数），其中直线2l不在直线系中。6、两直线平行与垂直（1）当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,/bbkkll；12121kkll 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（2）当0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl时，0B0/1221122121CBCBABAll且；0212121BBAAll 例：设直线1l经过点 A(m，1)、B(3，4)，直线2l经过点
6、C(1，m)、D(1，m+1)，当(1)1l/2l(2)1l2l时，分别求出 m 的值 7、两条直线的交点 当0:1111CyBxAl 0:2222CyBxAl相交时，交点坐标是方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。方程组无解21/ll；方程组有无数解1l与2l重合。8.中点坐标公式：已知两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则线段的中点 M 坐标为(221xx，221yy)例：已知点 A(7，4)、B(5,6),求线段 AB 的垂直平分线的方程。9、两点间距离公式：设1122(,),A x yB xy，（）是平面直角坐标系中的两个点，则222121|()()ABxxyy
7、 10、点到直线距离公式：一点00,yxP到直线0:CByAxl的距离为2200BACByAxd 11、两平行直线距离公式（1）两平行直线距离转化为点到直线的距离进行求解，即：先在任一直线上任取一点，再利用点到直线的距离进行求解。（2）两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为l1：2221BACCd Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，则1l与2l的 距 离 为一、选择题 1若直线 x1 的倾斜角为，则()D不存在 A等于 0 B等于 C等于2 2图中的直线 l1，l2，l3的斜率分别为 k1，k2，k3，则()Ak1k2k3 Bk3k1k2 Ck3k2k
8、1 Dk1k3k2 3已知直线 l1经过两点(1，2)、(1，4)，直线 l2经过两点(2，1)、(x，6)，且 l1l2，则 x()(第23/7 A2 B2 C4 D1 4已知直线 l 与过点 M(3，2)，N(2，3)的直线垂直，则直线 l 的倾斜角是()A3 B32 C4 D43 5如果 AC0，且 BC0，那么直线 AxByC0 不通过()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 6设 A，B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 2，且|PA|PB|，若直线 PA 的方程为 xy10，则直线 PB 的方程是()Axy50 B2xy10 C2yx40 D2xy70 7过两直线
9、l1：x3y40 和 l2：2xy50 的交点和原点的直线方程为()A19x9y0 B9x19y0 C19x3y 0 D3x19y0 8直线 l1：xa2y60 和直线 l2:(a2)x3ay2a0 没有公共点，则 a 的值 是()A3 B3 C1 D1 9将直线 l 沿 y 轴的负方向平移 a(a0)个单位，再沿 x 轴正方向平移 a1 个单位得直线 l，此时直线 l 与 l 重合，则直线 l 的斜率为()A1aa B1aa Caa1 Daa1 10点(4，0)关于直线 5x4y210 的对称点是()A(6，8)B(8，6)C(6，8)D(6，8)二、填空题 11已知直线 l1的倾斜角 11
10、5，直线 l1与 l2的交点为 A，把直线 l2绕着点 A按逆时针方向旋转到和直线 l1重合时所转的最小正角为 60，则直线 l2的斜率 k2的值为 12若三点 A(2，3)，B(3，2)，C(21，m)共线，则 m 的值为 13已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点 D 的坐标为 14求直线 3xay1 的斜率 15已知点 A(2，1)，B(1，2)，直线 y2 上一点 P，使|AP|BP|，则 P点坐标为 16与直线 2x3y50 平行，且在两坐标轴上截距的和为 6 的直线方程是 17若一束光线沿着直线 x2y50 射到 x 轴
11、上一点，经 x 轴反射后其反射线所在直线的方程是 三、解答题 4/7 18 设直线 l 的方程为(m22m3)x(2m2m1)y2m6(mR，m1)，根据下列条件分别求 m 的值：l 在 x 轴上的截距是3；斜率为 1 19已知ABC 的三顶点是 A(1，1)，B(3，1)，C(1，6)直线 l 平行于AB，交 AC，BC 分别于 E，F，CEF 的面积是CAB 面积的41求直线 l 的方程 20一直线被两直线 l1：4xy60，l2：3x5y60 截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程 .21直线 l 过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线 l 的横截距与纵截距之和为6，求直线 l
12、的方程 第三章 直线与方程 参考答案 A 组(第 19 题)5/7 一、选择题 1C 解析：直线 x1 垂直于 x 轴，其倾斜角为 90 2D 解析：直线 l1的倾斜角1是钝角，故 k10；直线 l2与 l3的倾斜角2，3 均为锐角且23，所以 k2k30，因此 k2k3k1，故应选 D 3A 解析：因为直线 l1经过两点(1，2)、(1，4)，所以直线 l1的倾斜角为2，而 l1l2，所以，直线 l2的倾斜角也为2，又直线 l2经过两点(2，1)、(x，6)，所以，x2 4C 解析：因为直线 MN 的斜率为12332，而已知直线 l 与直线 MN 垂直，所以直线 l 的斜率为 1，故直线 l
13、 的倾斜角是4 5C 解析：直线 AxByC0 的斜率 kBA0，在 y 轴上的截距BCD0，所以，直线不通过第三象限 6A 解析：由已知得点 A(1，0)，P(2，3)，B(5，0)，可得直线 PB 的方程是 xy50 7D 8D 9B 解析:结合图形，若直线 l 先沿 y 轴的负方向平移，再沿 x 轴正方向平移后，所得直线与 l 重合，这说明直线 l 和 l 的斜率均为负，倾斜角是钝角设 l 的倾斜角为，则 tan 1aa 10D 解析：这是考察两点关于直线的对称点问题直线 5x4y210 是点 A(4，0)与所求点 A(x，y)连线的中垂线，列出关于 x，y 的两个方程求解 二、填空题
14、111 解析：设直线 l2的倾斜角为2，则由题意知：18021560，2135，k2tan 2tan(18045)tan451 1221 解：A，B，C 三点共线，(第 11 题)6/7 kABkAC，22132332m解得 m21 13(2，3)解析：设第四个顶点 D 的坐标为(x，y)，ADCD，ADBC，kADkCD1，且 kADkBC 01xy32xy1，01xy1 解得10yx(舍去)32yx 所以，第四个顶点 D 的坐标为(2，3)14a3或不存在 解析：若 a0 时，倾角 90，无斜率 若 a0 时，ya3xa1 直线的斜率为a3 15P(2，2).解析：设所求点 P(x，2)，
15、依题意：22)12()2(x22)22()1(x，解得 x2，故所求 P 点的坐标为(2，2)1610 x15y360 解析：设所求的直线的方程为 2x3yc0，横截距为2c，纵截距为3c，进而得 c=536 17x2y50 解析：反射线所在直线与入射线所在的直线关于 x 轴对称，故将直线方程中的 y换成 y 三、解答题 18m35；m34 解析：由题意，得 32622mmm3，且 m22m30 解得 m35 由题意，得123222mmmm1，且 2m2m10 解得 m34 19x2y50 解析：由已知，直线 AB 的斜率 k131121 因为 EFAB，所以直线 EF 的斜率为21 因为 C
16、EF 的面积是CAB 面积的41，所以 E 是 CA 的中点点 E 的坐标是(0，25)直线 EF 的方程是 y2521x，即 x2y50 20 x6y0 7/7 解析：设所求直线与 l1，l2的交点分别是 A，B，设 A(x0，y0)，则 B 点坐标为(x0，y0)因为 A，B 分别在 l1，l2上，所以06530640000yxyx 得：x06y00，即点 A 在直线 x6y0 上，又直线 x6y0 过原点，所以直线 l 的方程为 x6y0 212xy40 和 xy30 解析：设直线 l 的横截距为 a，由题意可得纵截距为 6a 直线 l 的方程为16ayax 点(1，2)在直线 l 上，1621aa，a25a60，解得 a12，a23当 a2 时，直线的方程为142yx，直线经过第一、二、四象限当 a3 时，直线的方程为133yx，直线经过第一、二、四象限 综上所述，所求直线方程为 2xy40 和 xy30