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1、空间向量与立体几何一. 选择题 1.在下列命题中：若向量,a b共线，则向量,a b所在的直线平行；若向量,a b所在的直线为异面直线，则向量,a b一定不共面；若三个向量, ,a b c两两共面，则向量, ,a b c共面；已知是空间的三个向量, ,a b c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z 使得pxaybzc；其中正确的命题的个数是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 2.与向量（ -3，-4，5）共线的单位向量是（）（A） （3 2 2 22,1052）和（3 22 22,1052） ；（B） （322 22,1052） ；（C） （32 222,1052）和（32
2、222,1052） ；（D） （322 22,1052） ；3.已知 A、 B、C 三点不共线，点O 为平面 ABC 外的一点，则下列条件中，能得到M 平面 ABC 的充分条件是（）（A）111222OMOAOBOC；（B）1133OMOAOBOC；（C）OMOAOBOC；（D）2OMOAOBOC4. 已知点 B 是点 A（3，7， -4）在 xOz 平面上的射影，则2()OB等于（）（A） （9，0，16）（B）25 （C）5 （D）13 5.设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1） 、 （-1，1，2） ，则下列向量中是平面的法向量的是（）A（-1，-2，5） B（-1,1,-1） C（
3、1, 1,1） D（1，-1，-1）6.如图所示， 在正三棱柱ABC A1B1C1中，若 AB=2BB1，则 AB1与 C1B 所成的角的大小为（） （ A）60（B）90（C）105（D）757.到定点1,0,0的距离小于或等于1 的点集合为（）A.222, ,|11x y zxyzB.222, ,|11x y zxyzC., ,|11x y zxyzD.222,|1x y zxyz8.已知,a b均为单位向量 ,它们的夹角为60 ,那么3ab等于（）A7B10C13D4 9.在平面直角坐标系中, ( 2,3),(3, 2)AB,沿 x 轴把平面直角坐标系折成120 的二面角后 ,则线段 A
4、B 的长度为（）A2B2 11C3 2D4 210.已知 ， 表示两个不同的平面，m 为平面 内的一条直线， 则 “” 是 “m”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二填空题11.若空间三点A（ 1，5，-2） ，B（2，4，1） ，C（p,3,q+2）共线，则p=_,q=_ 。12. 设 M、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点， DE AB 于 E(如图 )现将 ADE 沿 DE 折起，使二面角ADEB 为 45 ，此时点A 在平面 BCDE 内的射影恰为点 B，则 M、N 的连线与 AE 所成角的大小等于_13.如 图 ， PA平 面ABC ，
5、 ACB=90 且PA=AC=BC=a 则异面直线PB 与 AC 所成角的余弦值等于 _；DCBAENMBNMDCA14.已知123Fijk，223Fijk，3345Fijk，若123,F F F共同作用于一物体上，使物体从点M （ 1， -2， 1）移动到N （ 3， 1， 2） ，则合力所作的功是 . 15.已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为2 6,则侧面与底面所成的二面角等于. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号题号11 12 13 14 15 题号三解答题16.设 向 量3,5, 4 ,2,1,832 ,abab a b，计算并 确 定,的 关 系 ， 使ab
6、z与轴垂直17. 如图， 正方体 ABCD-A1B1C1D1棱长为 1，P、Q 分别是线段AD1和 BD 上的点， 且 D1P：PA=DQ：QB=5：12，（1）求线段 PQ 的长度；（2）求证 PQAD ；（3）求证： PQ/平面 CDD1C1；18.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA 平面 ABCD,AP=AB=2,BC=22，E，F 分别是 AD ，PC 的中点（）证明： PC 平面 BEF ； （）求平面BEF 与平面 BAP 夹角的大小。19.如 图 ， 已 知 四 棱 锥P-ABCD的 底 面 为 等 腰 梯 形 ，ABCD,ACBD，垂足为H，PH 是四
7、棱锥的高，E 为 AD 中点（1）证明： PEBC （2）若APB=ADB=60 ，求直线PA 与平面 PEH 所成角的正弦值20.如图 ,四棱锥S-ABCD 的底面是矩形 ,AB=a,AD=2,SA=1, 且 SA底面 ABCD, 若边 BC 上存在异于 B,C 的一点 P,使得PSPD. (1)求 a 的最大值 ; (2)当 a 取最大值时 ,求异面直线AP 与 SD 所成角的大小; (3)当 a 取最大值时 ,求平面 SCD 的一个单位法向量n及点 P到平面 SCD 的距离 . 21.如图所示 ,矩形 ABCD 的边 AB=a,BC=2,PA 平面 ABCD,PA=2, 现有数据 :32
8、a; 1a;3a;2a;4a; (1)当在 BC 边上存在点Q,使 PQQD 时 ,a 可能取所给数据中的哪些值?请说明理由 ; (2)在满足 (1)的条件下 ,a取所给数据中的最大值时,求直线 PQ 与平面 ADP 所成角的正切值; (3)记满足 (1)的条件下的Q 点为 Qn(n=1,2,3, , ),若 a 取所给数据的最小值时,这样的点 Qn有几个 ?试求二面角Qn-PA-Qn+1的大小 ; 答案1-5 AABBB 6-10 BACBB 11. 3， 2 12. 213. 3314. 14 15. 3016.解：323(3,5,4)2(2,1,8)ab（9,15,-12）-(4,2,1
9、6)=(5,13,-28) a b(3,5,-4) (2,1,8)=6+5-32=-21 由() (0,0,1)(32 ,5, 48 )ab(0,0,1)480即当,满足480 即使ab与 z 轴垂直 . 17. 解：以 D 为坐标原点。 DA 、DC、DD1分别为 x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系。由于正方体的棱长为1，所以 D（0，0，0） ，D1（0，0， 1） ，B（1，1，0） ，A（ 1，0，0） ，P、Q 分别是线段AD1和 BD 上的点，且D1P： PA=DQ：QB=5 ：12， P512(,0,)1717，Q（55,017 17） ，512(0,)1717PQ，所以
10、（1）13|17PQPQ；（2）(1 ,0,0)DA，0PQ DA， PQ AD ；（3）(0,1,0)DC，1(0,0,1)DD，15121717PQDCDD，又1,DDDC平面CDD1C1，PQ平面 CDD1C1， PQ/平面 CDD1C1；18. 解法一（）如图，以A 为坐标原点， AB ，AD ，AP 算在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系。AP=AB=2,BC=AD=2 2,四边形 ABCD 是矩形。A，B，C ， D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 2,0) ，D(0， 2 2，0) ，P(0,0,2) 又 E，F 分别是 AD，PC的中点， E(0
11、， 2，0),F(1 ， 2，1) 。PC=（2，2 2，-2）BF=（-1， 2，1）EF=（1,0, 1） ，PCBF=-2+4-2=0 ，PCEF=2+0-2=0，PCBF，PCEF， PC BF,PCEF,BF EF=F,来源:Zxxk.ComPC平面 BEF （II ）由（ I）知平面BEF 的法向量平面 BAP 的法向量设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为，则 =45， 平面 BEF与平面 BAP的夹角为45 解法二（I）连接 PE，EC 在PA=AB=CD, AE=DE, PE= CE, 即 PEC 是等腰 三角形，又 F 是 PC 的中点， EFPC, 又，F 是 PC 的
12、中点，BFPC. 来源: 学科网 Z X X K又19. 解： 以H为原点，,HA HB HP分别为, ,x y z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则(1,0,0),(0,1,0)AB（）设(,0,0),(0,0,)(0,0)C mPn mn则1( 0 , 0 ) ,(, 0 ).2 2mDmE可得1(,) ,(,1, 0 ).2 2mPEnBCm因为0022mmPE BC所以P EB C（）由已知条件可得33,1,33mnC故(,0,0)313(0,0),(,0),(0,0,1)326DEP设( , )nx y x为平面PEH的法向量则,nH EonH Po即130260
13、xyz因此可以取(1, 3,0)n，由(1,0, 1)PA，可得2c o s,4P A n所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为2420. 解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为: A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设P(a,x,0). (0 x2) (1),1 ,PSax,2,0PDax由 PSPD 得: 2(2)0axx即: 2(2) (02)axxx当且仅当 x=1 时,a有最大值为 1.此时 P 为 BC 中点; (2) 由(1)知: (1,1,0),(0,2, 1),APSD210cos,525AP SDAP SD
14、APSD异面直线 AP 与 SD 所成角的大小为10cos.5arc(3) 设1, ,nx y z 是平面 SCD的一个法向量 ,(1,0,0),(0,2, 1),SDDC由1111000201021xxnDCn DCyzynSDn SDzy取得1(0,1,2),n平面 SCD 的一个单位法向量1115 2 50,1,2(0,),555nnn又(0, 1,0),CP在n方向上的投影为555,15nnCP点 P 到平面 SCD 的距离为5.521. 解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为: A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),
15、设 Q(a,x,0).(0 x2) (1) , , 2 ,2,0 ,PQa xQDax由 PQQD 得22(2)0(2)PQQDaxxaxx20,2 ,(2)0,1xaxx在所给数据中 ,a可取32a和1a两个值 .(2) 由(1)知1a,此时 x=1,即 Q 为 BC 中点 ,点 Q 的坐标为 (1,1,0) 从而1,1, 2 ,PQ又1,0,0AB为平面 ADP 的一个法向量 , 16cos,661PQ ABPQ ABPQAB, 直线 PQ 与平面 ADP 所成角的正切值为5.5(3) 由(1)知32a,此时13,22xx或,即满足条件的点Q 有两个 ,其坐标为123 13 3,0,02222QQ和PA平面 ABCD, PAAQ1,PAAQ2, Q1AQ2就是二面角 Q1-PA-Q2的平面角 . 由12121233344cos,213AQAQAQ AQAQAQ,得Q1AQ2=30 , 二面角 Q1-PA-Q2的大小为 30 .