《2022年高中数学空间向量与立体几何 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学空间向量与立体几何 .pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、名师整理优秀资源专题四：立体几何第三讲空间向量与立体几何【最新考纲透析】1空间向量及其运算（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。2空间向量的应用（1）理解直线的方向向量与平面的法向量。（2）能用向量语言表述直线与直线，直线与平面，平面与平面的垂直、平行关系。（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研
2、究立体几何问题中的应用。【核心要点突破】要点考向 1：利用空间向量证明空间位置关系考情聚焦： 1 平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。2题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。考向链接： 1 空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。2空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。例 1： （ 2010安徽高考理科18）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方
3、形，EFAB，EFFB，2ABEF，90BFC，BFFC，H为BC的中点。 (1)求证：FH平面EDB；(2) 求证：AC平面EDB；(3) 求二面角BDEC的大小。【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页名师整理优秀资源【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。【规范解答】,/,.ABCDABBCEFFB EFABABFBBCFBBABFBCABFHBFFC HBCFHBC
4、ABBCBFHABC四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面HHB GH HF如图，以为坐标原点，分别以、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系，1,(1, 2,0),(1,0,0),( 1,0,0),( 1, 2,0),(0, 1,1),(0,0,1).BHABCDEF令则(1) (0,0,1),(0,0,1),/HFHFGEHFHF设AC 与BD 的交点为 G，连接 GE 、GH,则G （0,-1,0）， GE又GE平面 EDB,平面 EDB,平面 EDB(2)( 2,2,0),(0,0,1),0,.ACACACACACGEGEGE又BD,且GE BD=G ，平面EBD.(3) 11
5、11111(1,),( 1, 1,1),( 2, 2,0).010,10,220011,0y zBEBDBEyzyzyBD1111设平面 BDE 的法向量为 nn由即，得，nn（，）2222222(1,),(0, 2,0),(1, 1,1).00,01,10010,-1yzCDCECDyyzyzCE2222设平面 CDE 的法向量为 nn由即，得，nn（，）1212121211cos,2|22,60 ,n nn nnnn n即二面角 B-DE-C为60 。【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行；2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；3、确定
6、二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进AEFBCDHGXYZ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页名师整理优秀资源行求解。4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解证明。应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用。要点考向 2：利用空间向量求线线角、线面角考情聚焦： 1线线角、线面角是高考命题的重点内容，几乎每年都考。2在各类题型中均可出现，特别以解答题为主，属于低、中档题。考向链接： 1利用空间向量求两异面直线所成的角, 直线与平面所成的
7、角的方法及公式为: （1）异面直线所成角设分别为异面直线的方向向量，则（2）线面角设是直线l的方向向量，n是平面的法向量，则2运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：（1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关点的坐标。（3）写出向量坐标。 （4）结合公式进行论证、计算。（5）转化为几何结论。例 2： （2010辽宁高考理科19）已知三棱锥PABC中， PA ABC ，AB AC ，PA=AC=12AB ，N 为AB上一点， AB=4AN,M,S分别 为 PB,BC的中点 . （）证明： CM SN ；（）求 SN与平面 CMN 所成角的大小 . 【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面
8、垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】建系，写出有关点坐标、向量的坐标，（ I ）计算CM SN、的数量积，写出答案；（ II ）求平面 CMN 的法向量，求线面角的余弦，求线面角，写出答案。【规范解答】设 PA 1，以 A为原点，射线AB 、AC 、AP分别为 x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图。则 P(0,0,1)，C(0,1,0)， B(2,0,0)，M(1,0, 12)，N(12,0,0) ，S(1,12,0) （I ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
9、 3 页，共 22 页名师整理优秀资源111(1, 1,),(,0),2221100221(II)(,1,0),2( , )CMN022,(2,1, 2)1021-1-22|cos|=2232SNCMNCMSNCM SNCMSNNCax y zzxyxaxya SN因为所以设为平面的一个法向量，则令得因为所与平面所成的o45角为【方法技巧】 （1）空间中证明线线，线面垂直，经常用向量法。（2）求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。（3）线面角的范围是0 90，因此直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦是非负的，要取绝对值。要点考向3：利用空间向量求二面角考情聚焦： 1
10、二面角是高考命题的重点内容，是年年必考的知识点。2常以解答题的形式出现，属中档题或高档题。考向链接： 求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。其计算公式为：设分别为平面的法向量，则与互补或相等，例 3： （2010天津高考理科9）如图，在长方体1111ABCDAB C D中，E、F分别是 棱BC,1CC上的点，2CFABCE,1:1: 2: 4AB AD AA（1）求异面直线EF与1AD所成角的余弦值；（2）证明AF平面1AED精选学习资料 - - - - - - - - -
11、名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页名师整理优秀资源（3）求二面角1AEDF的正弦值。【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。【思路点拨】建立空间直角坐标系或常规方法处理问题。【规范解答】 方法一： 以 A为坐标原点， AB所在直线为X轴，AD所在直线为Y轴建立空间直角坐标系（如图所示），设1AB, 依题意得(0,2,0)D,(1,2,1)F,1(0,0,4)A,31,02E（1）易得10,12EF,1(0,2, 4)AD，于是1113cos,5EF
12、 A DEF A DEFA D，所以异面直线EF与1AD所成角的余弦值为35。（2）证明：已知(1,2,1)AF,131,42EA,11,02ED于是AF1EA=0，AFED=0.因此，1AFEA,AFED, 又1EAEDE所以AF平面1AED(3) 解：设平面EFD的法向量( , , )ux y z，则00u EFu ED, 即102102yzxy不妨令 X=1,可得(1,2 1u）。由（ 2）可知，AF为平面1A ED的一个法向量。于是2cos,=3| |AFAF|AF|uuu，从而5sin,=3AFu所以二面角1A -ED-F的正弦值为53精选学习资料 - - - - - - - - -
13、 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页名师整理优秀资源要点考向4：利用空间向量解决探索性问题考情聚焦： 立体几何中已知结论寻求结论成立的条件（或是否存在问题），能较好地考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力，是今后考查的重点，也能很好地体现新课标高考的特点。例 4：（2010 福建高考理科 18） 如图，圆柱 OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆 O的直径。（I ）证明：平面A1ACC1平面 B1BCC1；（II ）设 AB AA1,在圆柱 OO1内随机选取一点，记该点取自三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为p。（i
14、 ）当点 C在圆周上运动时，求p 的最大值；（ii ）记平面 A1ACC1与平面 B1OC所成的角为（00090） 。当 p取最大值时，求cos的值。【命题立意】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。【思路点拨】第一步先由线线垂直得到线面垂直，再由线面垂直得到面面垂直；第二步首先求出长方体的体积，并求解三棱柱的体积的最大值，利用体积比计算出几何概率。立体几何中我们可以利用向量处理角度问题，立体几何中涉及的角：有异面直线所成的角、直线与平面所
15、成的角、二面角等。关于角的计算，均可归结为两个向量的夹角。对于空间向量ba,，有|,cosbababa，利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中的角的问题。【规范解答】（I ）1A A平面ABC，BC平面ABC，1A ABC，又AB是O的直径，BCAB，又1ACA AA，BC平面11A ACC，而BC平面11B BCC，所以平面11A ACC平面11B BCC；（II ） （i ）设圆柱的底面半径为r，则12ABAAr，故圆柱的体积为2322Vrrr，设三棱柱ABC-A1B1C1, 的体积为1V，所以1VPV，所以当1V取得最大值时P取得最大值。又因为点C在圆周上运动，所以当OCAB时，A
16、BC的面积最大，进而，三棱柱ABC-A1B1C1, 的体积1V最大，且其最大值为312222r rrr，故P的最大值为1；（ii ）由（ i ）知，P取最大值时，OCAB，于是，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则1,0,0 ,0, ,0 ,0, ,2,C rBrBrrBC平面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页名师整理优秀资源11A ACC，,0BCrr是平面11A ACC的一个法向量，设平面1BOC的法向量为, ,nx y z，由于1nOCnOB，020rxryrz，所以平面1B OC的一个法向量为0,
17、 2,1n，00090，10coscos,5n BC。【方法技巧】立体几何中我们可以利用空间向量处理常见的问题，本题的（II ） （i ）也可以采用向量法进行证明： 以O为坐标原点， 建立空间直角坐标系Oxyz，设圆柱的底面半径为r，cos , sin ,0C rr，则12ABAAr， 故圆柱的体积为2322Vrrr，设三棱柱 ABC-A1B1C1, 的体积为1V，所以1VPV，所以当1V取得最大值时P取得最大值。212coscos2ABCSr rr，所以当cos1时的ABC的面积最大， 进而，三棱柱 ABC-A1B1C1, 的体积1V最大，且其最大值为312222r rrr， 故P的最大值为
18、1；【高考真题探究】1.（2010 广东高考理科 0） 若向量ar= （1,1,x ） , br=(1,2,1), cr=(1,1,1),满足条件() (2 )cabrrr=-2,则x= . 【命题立意】本题考察空间向量的坐标运算及向量的数量积运算. 【思路点拨】先算出ca、2b，再由向量的数量积列出方程，从而求出. x【规范解答】ca(0,0,1)x，2(2 ,4 , 2)b，由() (2 )cabrrr2得(0,0,1) (2, 4,2)2x，即2(1)2x，解得2.x【答案】 22. （2010浙江高考理科20）如图，在矩形ABCD中，点,E F分别在线段,AB AD上 ，243A EE
19、 BA FF D. 沿 直 线EF将AEFV翻 折 成A E FV， 使 平 面A E FB E F平面.（）求二面角AFDC的余弦值；（）点,M N分别在线段,FD BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A重合，求线段FM的长。【命题立意】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。【思路点拨】方法一利用相应的垂直关系建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题；方法二利用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页名师整理优秀资源几何法解决求二面
20、角问题和翻折问题。【规范解答】方法一： （）取线段EF的中点 H，连结A H，因为A E=A F及 H是 EF的中点，所以A HEF, 又因为平面A EF平面BEF. 如图建立空间直角坐标系A-xyz ，则A（2，2，2 2） ，C（10，8，0） ，F（4，0，0） ，D（10，0， 0）. 故FA=（-2 ，2，22） ，FD=（6，0，0） . 设n=（x,y,z ）为平面A FD的一个法向量，所以2222060 xyzx。取2z，则(0, 2, 2)n。又平面BEF的一个法向量(0,0,1)m，故3cos,3n mn mn m。所以二面角的余弦值为33（）设,FMx BNa，则(4,0
21、,0)Mx，( ,8,0)N a，因为翻折后，C与A重合，所以CMA M，CNA N，故，2222222222(6)80 =2222(10)(2)6(22)xxaa（）（），得214x，134a，所以214FM。3. （2010陕西高考理科 8） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB=2，BC=2 2，E，F分别是AD,PC的中点 . （）证明：PC平面BEF；（）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。【命题立意】本题考查了空间几何体的的线线、线面垂直、以及二面角的求解问题，考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力以及利用空间向量解决立体几何问题的方法与技
22、巧。【思路点拨】思路一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；思路二：利用几何法求解 . 【规范解答】解法一（）如图，以A为坐标原点， AB ，AD ， AP所在的直线分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页名师整理优秀资源别为 x，y， z 轴建立空间直角坐标系. AP=AB=2， BC=2 2，四边形ABCD是矩形 . A， B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 2,0) ，D(0，2 2，0) ，P(0,0,2) 又 E，F 分别是 AD，PC的中点， E(0，2，0),F(1 ，2
23、，1). PC=（2，2 2，-2）BF=（ -1 ，2，1）EF=（ 1,0, 1） ，PCBF=-2+4-2=0 ，PCEF=2+0-2=0 ，PCBF，PCEF， PCBF,PCEF,BFEFF , PC 平面 BEF （ II） 由 （ I） 知 平 面BEF的 法 向 量1(2,22, 2),nPC平 面BAP 的 法 向 量2(0,2 2,0),nAD128,n n设平面 BEF与平面 BAP的夹角为，则12121282coscos,24 2 2n nn nn n045， 平面 BEF与平面 BAP的夹角为0454. （2010重庆高考文科20）如题图，四棱锥PABCD中，底面AB
24、CD为矩形，PAABCD底面，2PAAB，点E是棱PB的中点 . （I ）证明：AEPBC平面；（II ）若1AD，求二面角BECD的平面角的余弦值. 【命题立意】本小题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，考查余弦定理及其应用，考查空间向量的基础知识和在立体几何中的应用，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合的思想，考查化归与转化的思想. 【思路点拨】（1）通过证明线线垂直证明结论：线面垂直，（II ）作出二面角的平面角，再利用三角函数、余弦定理等知识求余弦值. 或建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明垂直和求出有关角的三角函数值 . 【规范解答】 （I ）以A为
25、坐标原点，射线,AB AD AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Axyz. 如图所示 . 设 设(0 , 0 )Da， 则B,0,0)2(，C( 2, ,0)a，P)2(0,0,，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页名师整理优秀资源E)22,0,22(。于是22AE(,0,)22，BC(0, ,0)a，PC(2, ,2)a，则0 ,0A EB CA EP Cu u u ru u u ru u u ru u u r，所以,AEBC AEPCuu u ruu u r uuu ruuu r，故AEPBC平
26、面. （II ）设平面BEC的法向量为1n，由（）知，AEBEC平面，故可取122nEA022（，）. 设平面 DEC的法向量2222,nxyz（）， 则220,0nDCnDFu u r uuu ru u r uuu r， ， 由AD1， 得 D）,1,00（， G）,1,02（，从而）,0,02（DC，22DE, 1,22（-），故2222022022xxyz，所以20 x，222zy，可取21y，则2012n（ ， ， ），从而1212123cos,3n nn nn n. 【方法技巧】 （1）用几何法推理证明、计算求解；（2）空间向量坐标法，通过向量的坐标运算解题. 5. （2010江西高
27、考文科）如图，BCD与MCD都是边长为2 的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，2 3AB. （1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值. 【命题立意】本题主要考查空间几何体的线线、线面与面面垂直关系及平行关系，考查空间线面角、二面角的问题以及有关的计算问题，考查空间向量的坐标运算，考查数形结合思想，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、划归转化能力和运算求解能力。【思路点拨】本题主要有两种方法，法一：几何法（1）直接找出线面角，然后求解；（2）对二面角的求法思路，一般是分三步“作” ，“证”，“求” . 其中“作”是关键，“证”
28、是难点 . 法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量中的法向量求解. 【规范解答】 取CD中点O， 连OB，OM， 则OBCD，OMCD， 又平面MCD平面BCD, 则MO平面BCD. 以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标DMCBAyxMDCBOAz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页名师整理优秀资源系如图 .OB=OM=3，则各点坐标分别为O（0，0，0） ，C（1，0，0） ，M（0，0，3） ，B（0，-3， 0） ，A（0，-3，23） ，（1）设直线AM与平面BCD所成的角为
29、. 因AM（ 0，3，3） ，平面BCD的法向量为(0,0,1)n. 则有32sincos,26AM nAM nAMn，所以45. （2）( 1,0,3)CM，( 1,3,2 3)CA. 设平面ACM的法向量为1( , , )nx y z，由11nCMnCA得3032 30 xzxyz. 解得3xz，yz，取1( 3,1,1)n. 又平面BCD的法向量为(0,0,1)n，则1111cos,5n nn nnn设所求二面角为，则212 5sin1()55. 6. （2010四川高考理科18）已知正方体ABCDA B C D的棱长为1，点M是棱AA的中点，点O是对角线BD的中点 . （）求证：OM为
30、异面直线AA和BD的公垂线；（）求二面角MBCB的大小；（）求三棱锥MOBC的体积 . 【命题立意 】 本题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力，转化与化归的数学思想. 【思路点拨 】方 法一：几何法问题（），分别证明OMAA，OMBD即可 .问题（ II ）首先利用三垂线定理，作出二面角MBCB的平面角，然后通过平面角所在的直角三角形，求出平面角的一个三角函数值，便可解决问题. 问题（）选择便于计算的底面和高，观察图形可知，OBC和OA D都在平面BCD A内，且OBCOA DSS，故MO
31、BCMOA DOMA DVVV，利用三棱锥的体积公式很快求出OMA DV. 方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量中的法向量求解. 【规范解答 】 ( 方法一 ) ： （I ）连结AC. 取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页名师整理优秀资源点M是棱AA的中点，点O是BD的中点，由AAAK，得OMAA. ,AKBD AKBB，AKBDD B平面. AKBD. OMBD. 又OM与异面直线AA和BD都相交，故OM为异面直线AA和BD的公垂线，（II ）取BB的中点N，连结
32、MN，则MNBCC B平面，过点过点N作NHBC于H，连结MH，则由三垂线定理得，BCMH. MHN为二面角MBCB的平面角 . 1221,sin45224MNNHBN. 在Rt MNH中 .1tan2 224MNMHNNH故二面角MBCB的大小为arctan2 2. （ III）易知，OBCOA DSS, 且OBC和OA D都在平面BCD A内，点O到平面MA D的距离12h，11324MOBCMOA DO MA DMA DVVVSh. ( 方法二 ) ：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则(1,0,0)A，(1,1,0)B，(0,1,0)C，(1,0,1)A，(0,1
33、,1)C，(0,0,1)D（I ） 点M是棱AA的中点，点O是BD的中点，1(1,0,)2M, 1 1 1(,)2 2 2O，11(,0)22OM, (0,0,1)AA ,( 1, 1,1)BD. 0OMAA ,110022OMBD, OMAA,OMBD, 又MO与异面直线AA和BD都相交，故MO为异面直线AA和BD的公垂线，（II ）设平面BMC的一个法向量为1( , , )nx y z，1(0,1,)2BM，( 1,0,1)BC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页名师整理优秀资源110,0.nBMnBC即1
34、0,20.yzxz取2z，则2,1xy.1(2,1,2)n. 取平面BC B的一个法向量2(0,1,0)n. 12121211cos,391n nn nn n，由图可知，二面角MBCB的平面角为锐角，故二面角MBCB的大小为1arccos3. （III）易知，11212444OBCBCD ASS四边形，设平面OBC的一个法向量为3111(,)nx y z，1( 1, 1,1)BD,( 1,0,0)BC, 3130,0.nBDnBC即11110,0.xyzx取11z，则11y，从而3(0,1,1)n. 点M到平面OBC的距离3311222 2BM ndn.11211334242 2MOBCOBC
35、VSd. 【跟踪模拟训练】一、选择题 ( 每小题 6 分，共 36 分) 1. 已知点 A （-3,1,-4） ，则点 A关于 x 轴的对称点的坐标为( ) (A) （ -3,-1,4）(B)(-3,-1,-4)(C)(3,1,4)(D)(3,-1,-4) 2. 在正三棱柱ABC A1B1C1中， D是 AC的中点， AB1BC1，则平面 DBC1与平面 CBC1所成的角为 ( ) (A)30 (B)45 (C)60 (D)903. 设动直线xa与函数2( )2 sin ()4fxx和( )3cos2g xx的图象分别交于M、N两点，则|MN的最大值为（） A2 B3 C2 D3 4. 在直角
36、坐标系中，设(3,2)A，( 2, 3)B，沿y轴把坐标平面折成120o的二面角后，AB的长为（）A6B4 2C2 3D2 11精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页名师整理优秀资源5. 矩形 ABCD 中， AB=4 ，BC=3 ，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角B ACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A12125B9125C6125D31256. 如图：在平行六面体1111DCBAABCD中，M为11CA与11DB的交点。若aAB，bAD，cAA1则下列向量中与BM相等的向量是（）（A）cba
37、2121（B）cba2121（ C）cba2121（ D）cba2121二、填空题（每小题6 分，共 18 分）7OX，OY，OZ是空间交于同一点O的互相垂直的三条直线，点P到这三条直线的距离分别为10,a,b，则OP37,则22ab_ _。8平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2 ，AA1=2 ，AD=1 ，且 AB、AD 、AA1 两两之间夹角均为600，则1AC?1BD= 9将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后，有下列四个结论：（1）BDAC； （ 2）ACD是等边三角形； （3）AB与平面BCD成 60； （4）AB与CD所成的角为 60 其中正确结论的序号为_（填上所
38、有正确结论的序号）三、解答题（共46 分）10. 如图，在 四棱锥 P ABCD 中，底面是边长为2 的菱形， BAD=60 ，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页名师整理优秀资源3PO,E、F 分别是 BC、 AP 的中点（ 1）求证： EF平面 PCD；（ 2）求二面角ABPD 的余弦值11. 某组合体由直三棱柱111CBAABC与正三棱锥ACDB组成，如图所示，其中，BCAB它的正视图、侧视图、俯视图的面积分别为22+1，1，22+1（1）求直线1CA与平面ACD所成角的
39、正弦；（2）在线段1AC上是否存在点P，使PB1平面ACD，若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由12. 如图，三棱柱111CBAABC中，1AA面ABC，ACBC,2ACBC，31AA，D为AC的中点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页名师整理优秀资源 (I)求证：/1AB面1BDC；( ) 求二面角CBDC1的余弦值参考答案1 【解析】 选 A.点 A关于 x 轴对称点的规律是在x 轴上的坐标不变，在y 轴， z 轴上的坐标分别变为相反数，点A（-3 ，1，-4 ）关于 x 轴的对称点的坐标为（-3,-1
40、,4）. 2 【解析】 选 B.以 A为坐标原点， AC 、AA1分别为 y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系. 设底面边长为2a. 侧棱长为 2b. 3D 4D 5 C 6A 764 83 9 （1） （2） （4）10解：（1）证明：取PD 的中点 G，连接 FG、CG FG 是 PAD 的中卫县，FGAD21，在菱形 ABCD 中， ADBC，又 E 为 BC 的中点， CEFG，四边形EFGC 是平行四边形，EF CG 又 EF面 PCD，CG面 PCD， EF面 PCD （ 2）法 1：以 O 为原点， OB，OC，OP 所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系。则 0（
41、0，0， 0） ，A（0，3， 0） ，B（1， 0，0）P（0，0，3）AB=（1，3，0）AP=（0，3，3）设面 ABP 的发向量为),(zyxn，则00APnABn，即03303zyyx即yzyx3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页名师整理优秀资源取) 1 , 1, 3(n又0OPOA，0OBOA， OA面 PBD，OA为面 PBD 的发向量，OA=（0，3，0）55353|,cosOAnOAnOAn.所以所求二面角的余弦值为55法 2：在菱形 ABCD 中， ACBD ，OP面 ABCD ，AC面 AB
42、CD ， AC OP， OPBD=0 ， AC面 PBD，AC BP，在面 PBD 中，过 O 作 ONPB，连 AN ，PB面 AON ，则 AN PB。即 ANO 为所求二面角的平面角AO=ABcos30 =3在 RtPOB 中，23BPOBOPON，21522ONOAANcos5521523ANONANO。所以所求二面角的余弦值为5511 【解析】122,1221221212BABCBDa BBbabaaba解：（ 1）设由条件111111(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0),(0, 2,0),(2,2,0),(0,2,2)222222,3333332 23(2, 2,2),c
43、os,2 2BBCBBBAxyzACDBCAACDGaBGACDCAa CA以点为原点，分别以、为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系, 则的重心=为平面的法向量 .又则666366所求角的正弦值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页名师整理优秀资源111(2)2 ,2 ,22 ,22,2222322232223.APmACmmmB PB AAPmmmammmP令无解不存在满足条件的点12解：（1）连接 B1C ，交 BC1于点 O，则 O为 B1C的中点，D为 AC中点OD B1A 又 B1A平面 BDC1 ，OD
44、平面 BDC1 B1A平面 BDC1（2） AA1 面 ABC ，BC AC ， AA1 CC1 CC1 面 ABC 则 BC 平面 AC1 ，CC1 AC 如图以 C 为坐标原点， CA所在直线为X轴， CB所在直线为Y轴，1CC所在直线为Z轴建立空间直角坐标系则 C1(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0) 设平面1C DB的法向量为)z,y, x(n由11,nC D nC B得30,230 xzyz，取2z，则n(6,3,2)又平面 BDC的法向量为1CC(0,0,3) cos72|n|CC|nCCn,CC111二面角 C1BD C 的余弦值为27【备课资源】
45、1. 已知两条异面直线a、b 所成的角为40，直线l与 a、b所成的角都等于，则的取值范围是( ) (A) 20,90 (B) 20 ,90 ) (C)(20,40 (D) 70 ,90 【解析】 选 A. 取空间任一点O ，将直线 a,b,l平移到过O点后分别为a,b ,l，则l与 a,b 所成的角即为l与a,b 所成的角 . 当l与 a,b 共面时 最小为 20. 当l与 a ,b 确定的平面垂直时， 最大为 90.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页名师整理优秀资源故的取值范围为20,90 . 3. 如图甲
46、, 直角梯形ABCD 中,ABCD, DAB=, 点 M 、 N分别在 AB ， CD上，且 MN AB ， MC CB， BC=2， MB=4 ，现将梯形ABCD 沿 MN 折起，使平面AMND 与平面 MNCB 垂直 ( 如图乙 ). (1) 求证： AB 平面 DNC ；(2) 当 DN的长为何值时，二面角D-BC-N的大小为30？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页名师整理优秀资源精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页名师整理优秀资源精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页名师整理优秀资源精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页