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1、1/6 高中数学必背公式立体几何与空间向量 知识点复习：1.空间几何体的三视图“长对正、高平齐、宽相等”的规律。2.在计算空间几何体体积时注意割补法的应用。3.空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化：线线平行线面平行面面平行，线线垂直线面垂直面面垂直。4求角：（1）异面直线所成的角：可平移至同一平面；也可利用空间向量：cos|cos,|a br r=12121 2222222111222|x xy yz za babxyzxyzr rrr（其中（090oo）为异面直线a b,所成角，,a br r分别表示异面直线a b,的方向向量）。（2）直线与平面所成的角：在斜线上找到任意一点，过该点向平
2、面作垂线，找到斜线在该平面上的射影，则斜线和射影所成的角便是直线与平面所成的角；也可利用空间向量，直线AB与平面所成角sin|AB mAB muuur uruuurur(mur为平面的法向量).（3）二面角：方法一：常见的方法有三垂线定理法和垂面法；方法二：向量法：二面角l 的平面角cos|m narcm nur rurr或cos|m narcm nur rurr（mur，nr为平面，的法向量）.5.求空间距离：（1）点与点的距离、点到直线的距离，一般用三垂线定理“定性”；（2）两条异面直线的距离：|AB ndnuuur uurr（nr同时垂直于两直线，A、B分别在两直线上）；（3）求点面距：
3、|AB ndnuuur uurr（nr为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）；（3）线面距、面面距都转化为点面距。2/6 题型一：空间几何体的三视图、体积与表面积 例 1：已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如右，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰 长为5，则该几何体的体积是（）A.43 B.2 C.83 D.103 例 2：某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积 为（）A.180 B.200 C.220 D.240 例 3：右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A10 B11 C12 D13 题型二：空间点、线、面位置关系的判断 例 4
4、：已知m、n是不重合的直线，和是不重合的平面，有下列命题：（1）若m，n，则mn；（2）若m，m，则；（3）若n，mn，则m且m；（4）若m，m，则.其中真命题的个数是（）A0 B1 C2 D3 例 5：给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直；其中真命题的个数是()A4 B3 C2 D1 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 2 3 2 2
5、3/6 例 6：给出下列命题 过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行；过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直；其中正确命题的个数为（）.A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 题型三：空间线面位置关系的证明和角的计算 例 7：空间四边形ABCD中，CDAB 且成060的角，点M、N分别为BC、AD的中点，求异面直线AB和MN成的角 例 8：已知三棱锥ABCP中，PA平面ABC，ACAB，ABACPA21，N为AB上一点，ANAB4，M，S分别为PB，BC的中点.（1）证明：SNCM；（2）求SN与平
6、面CMN所成角的大小.4/6 例 9：如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PCAD 底面ABCD为梯形，/ABDC，ABBCPAABBC，点E在棱PB上，且2PEEB（1）求证：平面PAB平面PCB；（2）求证：PD平面EAC；（3）求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值 例 10：已知四棱锥ABCDP的底面为直角梯形，DCAB/，PADAB,90底面ABCD，且121ABDCADPA，M是PB的中点。（1）证明：面PAD面PCD；（2）求AC与PB所成的角余弦值；（3）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值。5/6 题型四：空间距离的计算 例 11：点M是线段AB的中点，若A、
7、B到平面的距离分别为cm4和cm6，则点M到平面的距离为 .例 12：如图，在空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F 分别是 AB、CD 的中点.（1）求证：EF 是 AB 和 CD 的公垂线；（2）求 AB 和 CD 间的距离；例 13：如图，在长方体1111DCBAABCD 中，5AB，2BC，221AA，E在AD上，且1AE，F在AB上，且3AF，（1）求点1C到直线EF的距离；（2）求点C到平面EFC1的距离。例 14：如图，正方形ABCD与ABEF成60的二面角，且正方形的边长为a，M、N分别为BD，EF的中点，求异面直线BD与EF的距离。6/6 例 15：如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形，,PAABCD 底面 33PAABa，求异面直线 AB 与 PC 的距离。例 16：已知1111DCBAABCD 是底面边长为1的正四棱柱，1O为11CA与11DB的交点（1）设1AB与底面1111DCBA所成角的大小为，二面角111ADBA的大小为.求证：tan2tan；（2）若点C到平面11DAB的距离为34，求正四棱柱1111DCBAABCD 的高