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1、第三章LQG自校正器 最小方差自校正器：目标函数是系统的输出误差,需已知被控过程的时延，需对过程的极点或零点加以限定，适用范围有限线性二次高斯自校正器：可用于时变、开环不稳定以及逆不稳定过程，且可达到无条件均值最小，主要缺点是计算量较大，对阶次比较敏感 3.1 线性二次最优控制线性二次最优控制LQ的设计的设计线性二次最优控制：系统方程是线性的确定的，其性能指标是二次的，其控制目的为使性能指标为最小的条件下，使系统在任意初始条件下的状态转移到原点，它是LQG最优控制的基础3.1.1 状态调节器状态调节器的状态调节问题，就是使系统初始状态，在花费最小的控制能量下，转移到原点(或平衡点)上的控制问题
2、。系统方程：(3.1)假定初始条件已知，希望寻求一个线性状态反馈控制律：(3.2)使下列目标函数最小(3.3)式中,加权矩阵和Q为半正定矩阵，R为正定矩阵，它们由设计者选定中第一项表示与稳定有关的指标，第二项表示与过渡过程有关的指标。第三项表示与控制能量有关的指标图3.1 被控过程结构图 函数和等式约束条件的拉格朗日函数：用拉格朗日(Lagrange)乘子和变分法来求解LQ问题：将(3.1)式变为下列等式约束条件：(3.4)借助拉格朗日乘子，构造一个联系目标在等式约束条件(3.4)下，使式(3.3)最小的问题等价于求(3.5)式无条件下的极值问题，这个问题有解的必要条件为：(3.5)式中哈米尔
3、顿(Hamilton)算子序列为：(3.6)(3.7a)特别地对应于终值也应满足：(3.7b)由(3.7b)可得(3.8)由(3.7a)可得下列控制律和伴随律：(3.9)将(3.9)式代入(3.1)式可得：(3.10)(3.11)式(3.10)和(3.11)称为欧拉-拉格朗日(Euler-Lagrange)方程，这个方程状态空间表达式为：(3.12)假定和存在下列变换关系：(3.13)将(3.13)式代入(3.10)和(3.11)式中，消去，得：(3.14)和 将(3.15)式代入(3.14)式得：因为上式对一切X(k)均成立，所以可得对于有：(3.16)在终步时，考虑到(3.8)式和(3.1
4、3)式，得：此外，由(3.9)、（）和（）式和可得控制律为：即：(3.17)式(3.16)称为黎卡蒂(Riccati)差分方程，由后退递归，即可求出黎卡蒂方程中的到的每个值。(3.18)这就是所需要的状态调节器将此式与(3.2)式相比较可得反馈增益：(3.19)图3.2 状态调节器结构图状态调节器的设计步骤状态调节器的设计步骤1）已知，A、B，选定Q0、R和Q值2）读取状态3）根据(3.17)和(3.16)式计算：4）根据(3.19)式计算：6）输出U(k)，转2)LQ调节器的优点：能应用于时变多变量系统,且只要改变加权矩阵中的数值，就能兼顾初始状态的恢复速度和所需控制信号幅值的要求 5）计算
5、控制律：3.1.3 输出调节器输出调节器考察系统(3.20)的输出调节问题，即寻求一个容许控制律，使目标函数(3.21)最小的问题式中的J3就转化成为J4，可见，输出调节器问题实质上是状态调节器问题的一个特殊情况。因此状态调节器的结论也适用于输出调节器。如果在(3.3)式中选用，则(3.3)3.2 状态观测器状态观测器带状态观测器的系统将此值乘上一个权矩阵H项，即产生一个状态的校正项 状态观测器：重构过程中不可直接测量的状态变量X(k)过程和观测器之间的输出差为：状态的预期估计值(3.22)引入状态预测估计误差(3.23)结合和(3.22)式，可得：(3.24)只要合理选择H,使(A-HC)稳
6、定，可使此状态估计为无偏估计3.3 LQG自校正器 一个实际的动态系统通常都具有一定程度的不确定性，最常见的有以下三类：1）随机扰动的输入 2）传感器测量噪声的影响 3）系统模型参数的不确定性线性、二次、高斯LQG：研究对具有高斯分布的随机扰动和噪声的系统，采用二次性能指标对于随机系统,控制器设计任务分为两步：第一，通过采用滤波器将随机扰动和测量噪声消 除，进行状态预测和估计 第二，根据所估计的状态进行最优控制器的设计3.3.1 卡尔曼滤波器卡尔曼滤波器考虑系统方程和量测方程：(3.25)其中，是零均值高斯白噪声序列，并有：其中：和之间线性无关。被干扰的被控过程卡尔曼滤波器：基于测量输出信号，
7、在消除干扰和扰动的同时，估计状态变量，被估计的状态用表示，被估计状态的协方差定义为：(3.26)即状态变量的估计值是在使此协方差为最小的名义下获得的。下面假定已知：a）过程系数A、B和Cb）输入随机扰动矩阵L，以及噪声互相关矩阵V和Nc）估计状态变量和协方差矩阵的初始值和状态变量X(k)的循环估计的算法如下：1）基于最后一次估计的状态，确定系统在无干扰和噪声情况下状态的预测值：(3.27)2）计算预测状态的误差的方差：而3）计算估计状态值。估计状态由它的预测值(不含扰动和噪声)加上在k时刻测量的过程输出所决定的校正矩阵来确定：结合(3.26)式，可得：(3.28)预测状态的方差与干扰和噪声有关
8、，并与估计方差有关(3.29)4）滤波增益矩阵的算法由滤波估计误差：是通过令估计误差的方差为最小所得，即求为最小时的值。令：求得：(3.30)5）最后一步计算滤波估计误差的方差由步骤4）的推导过程，当代入所求的值后可得：(3.31)在实际应用中，常常采用卡尔曼滤波器的稳态结果，即用当 时，矩阵将变为常数的值：(3.32)由此可得带有滤波器的系统方程为：是黎卡蒂方程的定常矩阵：(3.33)图3.5 带有卡尔曼滤波器的系统方框图卡尔曼滤波器具有以下特点：5）卡尔曼滤波估计可以做到最小二乘估计1）滤波器估计状态的算法以“预测一校正”的方式进行递推，不要求储存任何观测数据，便于实时计算2）增益矩阵和误
9、差方差矩阵及与观测数据无关，可事先算好存贮起来，从而可加速实时处理 3）由 和可以获知有关滤波的性能4）估计误差方差及增益矩阵和N紧密相关 与V3.3.2 滤波器与状态观测器的关系分析滤波器与状态观测器的关系分析图3.6 带滤波器系统的另一种结构图和校正两部分组成，预测目的是为了滤掉(消 将图与图相比较，就输出而言，状态 观测器对应于具有预测状态的卡尔曼滤波器 稳态卡尔曼滤波器：基于观测量值来估计状态，称为现时估计器，由预测除)扰动和噪声的影响，而校正的目的是为了使状态估计能够收敛到真值，它是从系统的扰动和噪声中估计了系统的状态状态观测器中的反馈矩阵H，对应于卡尔曼滤波器中的AKf，即如果有H
10、=AKf，卡尔曼滤波器就等效于一个状态观测器对确定系统用卡尔曼滤波器进行状态估计的好处：所得到状态是用k时刻的观测值得到k时刻的状态估计，而不是k时刻的预测值，有利于对实时控制 3.3.3 LQG系统的分离特性系统的分离特性分离定理的涵义：对于具有干扰和噪声的系统的控制策略分成两步完成，即最优估计与最优控制最优估计只决定于系统方程和不确定性V、N及P（0），与控制无关最优控制只决定于系统方程和性能指标中的加权矩阵Q0、Q和R，与系统的扰动及噪声无关3.3.4 随机系统的最优控制律随机系统的最优控制律卡尔曼滤波器系统方程由预测状态组成，令，并将此式代入(3.9)和(3.10)式，整理后得状态调节
11、律反馈矩阵为中的其中：当时，与趋于常值：(3.34)(3.35)(3.36)因为中要用到求逆计算，所以必须保证图3.7 带有卡尔曼滤波器的最优控制系统方框图3.3.5 二次性原理二次性原理(双重效应双重效应)双重效应：首先直接控制系统的状态，其次，对影响状态的不确定因素也具有控制或消除作用卡尔曼滤波器具有双重效应的控制：1）状态估计；2）消除了随机干扰和扰动最优控制律设计中的黎卡蒂方程卡尔曼滤波器设计中的黎卡蒂方程表3.1 最优控制器与卡尔曼滤波器性能指标之间的关系 最优控制器卡尔曼滤波器 A AT B CT R N Q LVLT最优控制的目标卡尔曼滤波器同样可获得的目标为采用卡尔曼滤波器进行
12、状态估计的优点：理论上可以获得最小方差估计，但相应的噪声统计特性N与L必须已知，对于扰动和噪声协方差L与N未知的情况，包括系统其他参数A、B、C未知时，则应采用自校正LQG控制；根据系统输入输出的运行数据，在线地对参数进行估计，随着 改进。和的不断改进，也将不断地得到3.3.6 LQG自校正的调节器 1）系统状态方程与输入/输出特性之间的关系对于系统过程的输入/输出表达式：可将它转化为状态空间的可观标准型如下：(3.37a)式中：由(3.37a)式可得系统预测方程为：(3.38)由预测状态的误差：(3.39)采用状态估计器设计方法来求，即使预测状态趋于真值。将此式与(3.22)式进行比较，可以
13、看出根据分理原理，系统的最优控制律为：由（）式，取，可得的一个解为：(3.40)将值代入(3.38)式，可得这是一个带有状态观测器(3.41)的控制系统。图3.8 系统的控制结构图2)LQG自校正的调节器已知和R（1）设置初值输入初始数据（2）读取（3）用参数辨识法估计，即和，进而由(3.37b)式求得 和；（4）由(3.40)式求出（5）由(3.34)和(3.35)式求出（6）由(3.36)式求出控制律（7）返回（2）上式中的Ku计算量最大，在计算机运算中，如果我们令：根据二元性原理，经过下列替代：Kf的3种求法根据定义：令估计误差的方差为最小情况下的Kf;对于可观标准型方程：L0 AKf=
14、0;采用求Ku的方法。3.3.7 LQG自校正的控制器自校正的控制器考虑输入/输出的模型：跟踪控制的目标函数选为：在过程中引入参数信号，将下列差分方程：令：由此可得过程方程为：(3.43)目标函数重写为：将过程(3.43)转化为观测标准型：(3.44)式中：的设计的方法，得控制律为：按前面的卡尔曼滤波增益的设计方法，以及最优反馈矩阵此时，预测状态的误差为：其中由(3.42)求出，式中预测系统方程为：此时所获得的预测状态是无偏估计同样有：本章掌握重点Kalman 滤波器的功效Kalman 滤波器的求法Kalman 滤波器与状态观测器之间的关系作业：作业：根据参数辨识所得被控系统参数A，B和C，采用LQG控制器，当 时的参数设计方法，求系统跟踪参考输入时的响应及响应误差。