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1、电气工程学院自适应控制稳定性理论一 李雅普洛夫稳定性理论二 动态系统的正实性三 超稳定性理论School of Electrical Engineering电气工程学院一 李雅普洛夫稳定性理论1.李雅普洛夫意义下的稳定性2.李雅普洛夫第一法3.李雅普洛夫第二法4.线性定常系统李雅普洛夫稳定性分析School of Electrical Engineering电气工程学院1.李雅普洛夫意义下的稳定性n n平衡状态平衡状态 满足 即 x不再随时间变化n 对线性定常系统：其平衡状态满足当A 非奇异，只有唯一零解（即零状态）；当A 奇异，有无穷多个平衡点。n 对非线性系统，可能有一个或多个平衡状态。S
2、chool of Electrical Engineering电气工程学院李雅普洛夫意义下的稳定性n n李雅普洛夫意义下的稳定性李雅普洛夫意义下的稳定性n 对平衡状态xe，初始状态 x0，若对任意规定，在 t 0过程中，满足：则平衡点 xe 是在李雅普洛夫意义下是 稳定的 稳定的。n 与 有关，通常也与 t0有关。n 如果 与t0无关，则为 一致稳定 一致稳定。School of Electrical Engineering电气工程学院School of Electrical Engineering电气工程学院李雅普洛夫意义下的稳定性n n大范围（全局）渐近稳定大范围（全局）渐近稳定n 当初始
3、条件扩展至整个状态空间，平衡状态均具有渐近稳定性，称为大范围（全局）渐近稳定。n 对线性系统，如果是渐近稳定的，则必定是大范围渐近稳定的。n 非线性系统的稳定性往往与初始条件有关。School of Electrical Engineering电气工程学院李雅普洛夫意义下的稳定性n n不稳定性不稳定性n 如果对于某个实数 0 和任一实数 0，不管其多么小，在S()内总存在一个状态x0，使得由该状态出发的轨迹超出S()，则平衡状态xe称为是不稳定的。School of Electrical Engineering电气工程学院2.李雅普洛夫第一法 利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性，即 间接法
4、 间接法。n n定理定理11 对线性定常系统 有：n 系统的每一平衡状态是在李雅普洛夫意义下稳定的充要条件为：A A 的所有特征值均具有 非正实部 非正实部，且具有零实部的特征值为单根；n 系统的唯一平衡状态 x xe e=0=0 是渐近稳定的充要条件为：A A 的所有特征值均具有 负实部 负实部。School of Electrical Engineering电气工程学院School of Electrical Engineering电气工程学院李雅普洛夫第二法n n定理定理22 对连续时间非线性时变自由系统 其中f(0,t)=0 为系统的平衡状态。如果存在一个对x 和 t 具有连续一阶偏导
5、数的标量函数V(x,t),V(0,t)=0,且满足如下条件：n n V V(x x,t t)正定且有界 正定且有界，即有n n V V(x x,t t)对时间 对时间 t t 的导数负定且有界 的导数负定且有界，即有n 则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。School of Electrical Engineering电气工程学院李雅普洛夫第二法n n定理定理33 对定常系统 其中f(0)=0，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x),V(0)=0,对于状态空间的一切非零x 满足：n V(x)为正定的；n V(x)的导数为负定的；n 当则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。Sc
6、hool of Electrical Engineering电气工程学院School of Electrical Engineering电气工程学院李雅普洛夫第二法n n定理定理 55（系统不稳定判定系统不稳定判定）对时变或定常系统，如果存在一个具有连续一阶（偏）导数的标量函数V(x,t),或V(x),（其中V(0,t)=0,V(0)=0），对于状态空间中围绕原点的某个域的一切 x和一切 t t0 满足：n V(x,t)正定且有界，或V(x)为正定的；n V(x,t)对时间 t 的导数正定且有界，V(x)的导数为正定的；则系统平衡状态为不稳定。School of Electrical Engi
7、neering电气工程学院School of Electrical Engineering电气工程学院李雅普洛夫第二法举例【例 例2 2】设系统状态方程为【解 解】显然，原点为系统的唯一平衡状态n 选一正定的标量函数 n V(x)对时间的导数为 半负定 半负定 n 检验 是否不恒为0 n 当 故系统在原点处是大范围渐近稳定的。School of Electrical Engineering电气工程学院4.线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析n n线性定常连续系统渐近稳定性的判定线性定常连续系统渐近稳定性的判定n 对系统 选择一正定二次型函数 P 为 正定对称矩阵 正定对称矩阵 n 只要矩阵 Q
8、正定，则系统是大范围渐近稳定的。School of Electrical Engineering电气工程学院School of Electrical Engineering电气工程学院线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析【例 例2 2】设系统状态方程为：求系统的Liyapunov 函数【解 解】设 则由 ATP+PA=Q 可解得School of Electrical Engineering电气工程学院线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析显然，为正定矩阵验证：故系统渐近稳定School of Electrical Engineering电气工程学院线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析n n线性定常离
9、散系统渐近稳定性的判定线性定常离散系统渐近稳定性的判定设线性定常离散系统状态方程为：取正定二次型函数School of Electrical Engineering电气工程学院线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析定理定理 88 对上述线性定常离散系统，其渐近稳定的充要条件为：对于任意给定的正定矩阵 QQ，存在唯一的正定对称矩阵PP，使 TTP P P P=QQ 成立。n 相关概念及分析求解方法同连续系统School of Electrical Engineering电气工程学院二 动态系统的正实性1.正实函数与正实矩阵2.正定积分核3.线性定常连续系统的正实性4.线性定常离散系统的正实性Scho
10、ol of Electrical Engineering电气工程学院School of Electrical Engineering电气工程学院正实函数与正实矩阵n n定义定义22(正实函数 正实函数)复变量 s=+j 的有理函数h h(s s)若满足：n 当s s 为实数时，h(s)h(s)是实的；n n h(s)h(s)在右半开平面 Re Re s s 0 0 上没有极点；n n h(s)h(s)在虚轴上如果存在极点，则是相异的（即无重极点），且其留数为正或零；n 对于任意实数,当s=j 不是 h(s)h(s)的极点时，有Re Reh h(j j)=0)=0;则h(s)h(s)称为正实函数
11、。School of Electrical Engineering电气工程学院正实函数与正实矩阵n n 定义3(严格正实函数严格正实函数)复变量 s=+j 的有理函数hh(ss)若满足：n 当s s 为实数时，h(s)h(s)是实的；n n h(s)h(s)在右半闭平面 Re Re s s 0 0 上没有极点；n 对于任意实数,均有Re Reh h(j j)=0)=0;则h(s)h(s)称为严格正实函数。n 严格正实函数在虚轴上无极点。School of Electrical Engineering电气工程学院正实函数举例【例例11】W(s)极点为s a，a 0，且故W(s)为严格正实的。Sc
12、hool of Electrical Engineering电气工程学院School of Electrical Engineering电气工程学院正实函数举例【例例33】同【例2】，W(s)在右半平面无极点，当b b1 1=b b0 0/a a1 1时，Reh(j)0，W(s)为严格正实函数当b1 b0/a1时，W(s)不是正实函数School of Electrical Engineering电气工程学院正实函数判定引理n n定理定理 11 设h h(s s)=)=M M(s s)/)/N N(s s),如满足：n M M(s s)与N N(s s)都具有实系数；n n M M(s s)与
13、N N(s s)都是 古尔维茨多项式 古尔维茨多项式；n n M M(s s)与N N(s s)的阶数之差不超过1；n n 1/1/h h(s s)仍为正实函数；则h h(s s)为正实函数。School of Electrical Engineering电气工程学院School of Electrical Engineering电气工程学院正实函数矩阵定义定义55(正实函数矩阵正实函数矩阵)复变量 m m 维实有理函数矩阵HH(ss)为正实函数矩阵，则应满足：n n H H(s s)的所有元在右半开平面上都是解析的，即在Re Re s s 0 0 上H H(s s)没有极点；n n H H(
14、s s)的任何元在虚轴上如存在极点，则是相异的，其留数矩阵为 半正定 半正定Hermite Hermite 矩阵 矩阵；n 对于非H H(s s)的任何元的极点的所有实 值，矩阵H(j)+H T(-j)为 半正定 半正定Hermite Hermite 矩阵 矩阵；School of Electrical Engineering电气工程学院正实函数矩阵定义定义66(严格正实函数矩阵正实函数矩阵)复变量 m m 维实有理函数矩阵HH(ss)为严格正实函数矩阵，则应满足：n n H H(s s)的所有元在右半开平面上都是解析的，即在Re Re s s 0 0 上H H(s s)没有极点；n 对于所有
15、实 值，矩阵H(j)+HT(-j)为 正定 正定Hermite Hermite 矩阵 矩阵。School of Electrical Engineering电气工程学院2.正定积分核n n定义定义 如果对于每个区间t0,t1 及在区间上分段连续的所有向量函数 f(t)，方阵K(t,)使下式成立，即 则 K K(t t,)称为正定积分核。School of Electrical Engineering电气工程学院正定积分核n 正定积分核的物理解释n 可理解为系统脉冲传递函数为K(t,)、输入为f(t)的系统输出，故不等式（1）的左端可解释为系统输入输出内积的积分；n 当K(t,)正定时，该积分值
16、为正或零。n 正定积分核的充要条件n 对存在拉氏变换的一类核K K(t t)是正定核的充要条件为：其拉氏变换式是 s 的正实传递函数矩阵。School of Electrical Engineering电气工程学院3.线性定常连续系统的正实性n 对线性定常连续系统 其传递函数矩阵为 H H(s s)=)=C C(sI sI A A)1 1 B B D D 显然，H(s)为s 的实有理函数矩阵。如果H(s)为正实函数矩阵，则系统（1）称为 正实的 正实的。School of Electrical Engineering电气工程学院线性定常连续系统的正实性n n定理定理 22（Kalman-Yac
17、ubovic-PopovKalman-Yacubovic-Popov正实引理正实引理）对线性定常连续系统（1），系统为正实，即H H(s s)为正实函数矩阵的充要条件是：存在实矩阵K、L 和实正定对称矩阵P，满足：其中，当 PA+ATP=LLTQ,且Q=QT 0 时，则H(s)为 严格正实函数矩阵 严格正实函数矩阵，即系统（1）是严格正实的。School of Electrical Engineering电气工程学院线性定常连续系统的正实性n n定理定理 2 2 的的【说明】n 上述关系在D=0 时也同样成立。即在D=0 时，如上述关系满足，则连续系统的传函是正实的或严格正实的。n 因Q 0，
18、故即使 L=0，作为充分条件，上述关系式同样成立，并可简化为：ATP+PA=Q BTP=CSchool of Electrical Engineering电气工程学院线性定常连续系统的正实性举例n n【例例】求以下函数为严格正实的条件School of Electrical Engineering电气工程学院4.线性定常离散系统的正实性n n离散正实函数离散正实函数n 在离散系统中，脉冲传递函数为h(z)n z 与 s 的对应关系n n 离散正实函数定义 离散正实函数定义 如果对z=1 的所有z，有Re h(z)=0，则h(z)是正实的。并且，如果有使 h(z)为正实的 0 1 存在，则h(z
19、)是严格正实的。School of Electrical Engineering电气工程学院线性定常离散系统的正实性n n离散正实函数的判定离散正实函数的判定n n 定理 定理3 3 h(z)是正实的充要条件为：n h(z)在 z 平面单位圆外无极点；n 单位圆上的极点是单重的，且其留数为正；n 对除单位圆上的极点外的 z=ej的所有，均有Re h(ej)=0。n n 定理 定理4 4 h(z)是严格正实的充要条件为：n h(z)在 z 平面单位圆外和单位圆上均无极点；n 对于z=ej的所有，均有Re h(ej)=0。School of Electrical Engineering电气工程学院
20、线性定常离散系统的正实性n n关于关于hh(zz)正实性判定的说明正实性判定的说明n h(z)是s 的超越函数，要计算 Re h(ej)=0 一般非常复杂；n 考虑到s 与z 的一些基本对应关系，通过引入一个双线性变换 就可应用连续正实函数判定方法。n h(z)正实性判定举例（）School of Electrical Engineering电气工程学院线性定常离散系统的正实性n 对线性定常离散系统 其传递函数矩阵为 H H(z z)=)=C C(zI zI A A)1 1 B B D D 显然，H(z)为z 的实有理函数矩阵。如果H(z)为正实函数矩阵，则系统（2）称为 正实的 正实的。Sc
21、hool of Electrical Engineering电气工程学院线性定常离散系统的正实性n n离散正实矩阵离散正实矩阵n n 定义 定义1 1 称H(z)为正实的，如果n H(z)的所有元在单位圆外是解析的，即在单位圆外无极点；n 在单位圆上，H(z)的任何元均无重极点，相应的留数矩阵为半正定的Hermite Hermite 矩阵；n H(z)在除单位圆上的极点外的所有，矩阵是半正定的Hermite Hermite 矩阵。School of Electrical Engineering电气工程学院线性定常离散系统的正实性n n定义定义22 称H(z)为严格正实的，如果：n H(z)的所
22、有元在单位圆外是解析的；n 对所有，矩阵是正定的Hermite Hermite 矩阵。School of Electrical Engineering电气工程学院线性定常离散系统的正实性n n离散正定矩阵核离散正定矩阵核n n 定义 定义 设F F(k k,l l)是离散矩阵核，如果对于每个区间k0,k1，以及区间上有界的所有离散向量f(k)，均有 则称 F(k,l)为离散正定矩阵核。n 对于存在 z 变换的一类离散核F F(k k l l)，它是离散正定矩阵核的 充要条件 充要条件为其 z 变换是一个正实函数矩阵。School of Electrical Engineering电气工程学院线
23、性定常离散系统的正实性n n定理定理 5 5（离散系统正实引理离散系统正实引理）对线性定常离散系统（2），系统为正实，即H H(z z)为正实函数矩阵的充要条件是：存在实矩阵K、L 和实正定对称矩阵P，满足 其中，Q=QT 0 时，则H(s)为严格正实函数矩，即系统（2）是严格正实的。School of Electrical Engineering电气工程学院线性定常离散系统的正实性n 关于定理定理 5 5 的说明n 在上述关系式中，一般均有BTPB 0，因而不允许D=0。故对于离散系统，如果D=0，则系统将不是正实的。n 因P 0、Q 0，故即使 K=0、L=0，作为充分条件，上述关系式同样
24、成立，并可简化为：ATPA P=Q BTPA=C BTPB=D+DT School of Electrical Engineering电气工程学院线性定常离散系统的正实性举例n n【例例】School of Electrical Engineering电气工程学院三 超稳定性理论1.1.绝对稳定性问题2.2.超稳定概念3.3.连续系统的超稳定性4.4.离散系统的超稳定性离散系统的超稳定性5.5.超稳定方块超稳定方块School of Electrical Engineering电气工程学院1.绝对稳定性问题n n绝对稳定性问题绝对稳定性问题（针对一类非线性反馈系统）n 前向通道（方块）：线性定
25、常系统n 反馈通道（方块）：无惯性（或时变的）非线性环节n 反馈通道的输出为：School of Electrical Engineering电气工程学院绝对稳定性问题n 上述系统要求反馈方块在 每一瞬间的输入与 每一瞬间的输入与输出的乘积均大于零 输出的乘积均大于零。n 研究这类系统的稳定性问题，称为 绝对稳定 绝对稳定性问题 性问题，即：当平衡点 当平衡点 x x=0=0 全局渐近稳定 全局渐近稳定 时，时，系统前向方块的线性部分应满足什么条件？系统前向方块的线性部分应满足什么条件？School of Electrical Engineering电气工程学院2.超稳定概念n n超稳定性问题
26、超稳定性问题n 将绝对稳定性中非线性部分的条件放宽，即输入输出特性用积分不等式（即Popov Popov 积分不等式 积分不等式）表示：n 将满足 Popov 积分不等式条件的稳定性问题称为 超 超稳定性问题 稳定性问题，超稳定性问题是绝对稳定性问题的推广。School of Electrical Engineering电气工程学院超稳定概念n 对于上述系统n 设线性前向方块为n 非线性时变反馈方块为：School of Electrical Engineering电气工程学院超稳定概念n n定义定义 11 对上述反馈系统，如果式（1）的解满足 则系统是 超稳定的 超稳定的。n n定义定义 2
27、2 对上述反馈系统，如果系统是超稳定的，且对有界w(t)，有 则系统是渐近超稳定的。School of Electrical Engineering电气工程学院3.连续系统的超稳定性n n定理定理 11 对上述由线性方块与满足Popov 积分不等式的非线性反馈方块组成的反馈系统，其（渐近）超稳定（渐近）超稳定的充要条件是其线性方块的传递函数矩阵：HH(ss)=)=CC(sIsI AA)11 BBDD 是（严格）正实的（严格）正实的。【证证】School of Electrical Engineering电气工程学院4.离散系统的超稳定性n 对离散系统n 前向线性方块：n 反馈方块为：Schoo
28、l of Electrical Engineering电气工程学院离散系统的超稳定性n n定理定理 22 对上述由线性方块与满足Popov 积分不等式的非线性反馈方块组成的反馈系统，其（渐近）超稳定（渐近）超稳定的充要条件是其线性方块的传递函数矩阵：HH(zz)=)=CC(zIzI AA)11 BBDD 是（严格）正实的（严格）正实的。School of Electrical Engineering电气工程学院5.超稳定方块n n超稳定方块超稳定方块n 不论线性或非线性方块，只要其输入输出的内积满足Popov 积分不等式：则该方块称为 超稳定方块 超稳定方块。School of Electri
29、cal Engineering电气工程学院超稳定方块n n传递函数矩阵为正实的线性系统方块是超稳定传递函数矩阵为正实的线性系统方块是超稳定方块。方块。【证】考虑线性连续系统（1），由正实定理，存在正定对称阵P，使下式成立School of Electrical Engineering电气工程学院超稳定方块n 对上式积分，得 故正实的线性系统方块是超稳定方块School of Electrical Engineering电气工程学院超稳定方块的组合n n两个超稳定方块两个超稳定方块 HH11、HH22的并联组合，也是超稳的并联组合，也是超稳定方块。定方块。School of Electrical Engineering电气工程学院超稳定方块n n两个超稳定方块两个超稳定方块 HH11、HH22的反馈并联组合，也是的反馈并联组合，也是超稳定方块。超稳定方块。