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1、2.1 2.1 曲线和方程曲线和方程导入新课导入新课观察与分析观察与分析 我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，如果改变平面与圆锥的交线）是一个圆，如果改变平面与圆锥曲线的夹角，会得到什么呢？曲线的夹角，会得到什么呢？如图：以上三个不垂直于圆锥轴的平面如图：以上三个不垂直于圆锥轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，他们分别是得到不同的截口曲线，他们分别是抛物线，双抛物线，双曲线，和椭圆曲线，和椭圆.因此我们通常
2、把因此我们通常把抛物线抛物线，双曲线双曲线和和椭圆椭圆统统称为称为圆锥曲线圆锥曲线.抛物线抛物线双曲线双曲线椭圆椭圆 圆锥曲线与科研、生活、以及圆锥曲线与科研、生活、以及人类生活有着密切的关系人类生活有着密切的关系.早在早在16，17世纪之交，开普勒就世纪之交，开普勒就发现行星绕太阳运行是一个椭圆发现行星绕太阳运行是一个椭圆.喷泉喷出喷泉喷出美丽的抛物线美丽的抛物线 发电厂冷却塔发电厂冷却塔的外形是双曲线的外形是双曲线1.1.曲线和方程曲线和方程1.曲曲线线的方程的方程和和方程的曲方程的曲线线的概念的概念 课堂新授课堂新授课堂新授课堂新授yxoM(x0,y0)X-y=0M(x0,y0)xyo曲
3、线的方程曲线的方程与与方程的曲线方程的曲线：课堂新授课堂新授课堂新授课堂新授2.以这个方程的解为坐标的点都是曲线以这个方程的解为坐标的点都是曲线1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解曲线上的点的坐标都是这个方程的解（在合）（在合）上的点。上的点。（合在）（合在）这个方程叫做这个这个方程叫做这个曲线的方程曲线的方程这个曲线叫做这个这个曲线叫做这个方程的曲线方程的曲线课堂新授课堂新授课堂新授课堂新授2.如果曲线C的方程是F(x,y)=0,那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充分必要条件是F(x0,y0)=0.例1 证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是并判断点并判断点M2是否在这个圆上。是否在这
4、个圆上。M1(3,-4)、M1M2oyx2.2.求曲线的方程求曲线的方程课堂新授课堂新授课堂新授课堂新授坐标法坐标法：把借助坐标系研究几何图形的方法叫做：把借助坐标系研究几何图形的方法叫做解析几何解析几何：是用代数方法研究几何问题的一门：是用代数方法研究几何问题的一门数学学科。数学学科。坐标法。坐标法。平面解析几何研究的平面解析几何研究的主要问题主要问题是：是：（1）根据已知条件，）根据已知条件，求求出表示平面曲线的出表示平面曲线的方程方程；（2）通过方程，）通过方程，研究研究平面曲线的平面曲线的性质性质。例1.设A、B两点的坐标是A（1，1），B（3,7），求线段AB的垂直平分线的方程。ox
5、yB(3,7)A(-1,-1)M解：解：设设M(x,y)是线段是线段AB的垂直平分线的垂直平分线上任意一点，也就是点上任意一点，也就是点M属于集合属于集合P=M|MA|=|MB|,将上式两边平方，整理得将上式两边平方，整理得x+2y-7=0（证明略）（证明略）例2.点M与两条互相垂直的直线的距离的积是常数k(k0),求点M的轨迹方程。oyx解：取已知的两条互相垂直的直线为坐标轴，建立坐标系如右设点M的坐标为（x,y),点M的轨迹就是与坐标轴距离的积等于常数 k的点的集合 P=M|MR|.|MQ|=k因为|MR|=|x|,|MQ|=|y|，所以|x|.|y|=k QRM（证明略）（证明略）其中
6、Q,R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足。求曲求曲线线的方程的一般步的方程的一般步骤骤：设（建系设点）写（写等量关系）列（列方程）化（化简方程）证（以方程的解为坐标的点都是曲线上的点）课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结1 1-M(x,y)-P=M|M满足的条件 建立坐标系的一般规律建立坐标系的一般规律:1.两条垂直的直线 2.对称图形3.已知长度的线段以该二直线为坐标轴.以对称图形的对称轴为坐标轴.以线段所在直线为对称轴，端点或中点为原点.课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结2 2关于关于化简方程化简方程 使得化简前后的方程同解.在求轨迹方程的问题中，如果化简方程过程是同解变形.则由此所得的最简方程
7、就是所求曲线的方程，可以省略“证明”;如果化简过程不是同解变形，所求得的方程就不一定是所求曲线的方程.此时，应该通过限制x，y的取值范围来去掉增根，课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结3 3例3.已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2。一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。yoxMFB分析：建立坐标系的时候，一般应当充分利用已知条件中的定点，定直线等，这样可以使问题中的集合特征得到更好的表示从而使曲线方程得到更好的表示，从而使曲线方程的形式简单一些.l解：如右图，取直线 l为x轴，过点F且垂直于直线l的直线为y轴，
8、建立直角坐标系xOy.设点M(x,y)是曲线上的任意一点，作MB垂直于x轴，垂足为B，那么点M属于集合 P=M|MF|-|MB|=2.由两点的距离公式，点M适合的条件可表示为根号将上式移项后两边平方，得 x2+(y-2)2=(y+2)2化简得y=x2yoxMFBl所以曲线的方程应是课堂课堂课堂课堂练习练习平方，化简得:课本P37 练习1、2、3求曲求曲线线的方程的一般步的方程的一般步骤骤：1 1.建立适当的坐建立适当的坐标标系，用有序系，用有序实实数数对对（x,yx,y）表示）表示 曲曲线线上任意一点上任意一点M M的坐的坐标标；（；（建系建系设设点点）2.2.写出适合条件写出适合条件p p的点的点M M的集合；（的集合；（找等量关系找等量关系）3.3.用坐用坐标标表示条件表示条件p p（M M），列出方程），列出方程f(x,y)=0;f(x,y)=0;（列方程列方程）4.4.化化简简方程方程f(x,y)=0f(x,y)=0；5.5.证证明以化明以化简简后的方程的解后的方程的解为为坐坐标标的点都是曲的点都是曲线线上的点。上的点。（一般情况下可省略一般情况下可省略）课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结再再 见见