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1、概率论与数理统计基础概率论与数理统计基础（一）（一）概率和概率分布概率和概率分布1一、随机事件和概率一、随机事件和概率1 1、随机实验、随机实验在相同条件下可以重复进行，有两种以上可能结果，但事先不能确定哪一种结果会发生的试验。如：抛一枚硬币、掷一颗骰子、从一副扑克牌里抽取一张。2 2、样本空间（又称、样本空间（又称“总体总体”）随机试验所有可能结果的集合叫样本空间。样本空间的每种可能结果称为样本点样本点。如：抛两枚硬币，考察向上的一面，所有结果为“正正”、“正反”、“反反”、“反正”，样本空间有个元素。2、随机事件、随机事件随机试验的某些结果组成的一个集合，也即 样本空间的一个子集。单个样本
2、点构成的子集 称为基本事件。事件可用A、B、C等字母来表示。例子：先后抛两枚硬币，观察朝上的一面。一、实验结果有哪些？正正、正反、反正、反反 二、若令=“一枚正面朝上，一枚正面朝下”，那些结果对应于事件A？“正反”、“反正”三、若令=“第一枚正面朝上，第二枚正面朝下”，那些结果对应事件？“正反”3事件的关系及运算事件的关系及运算 事件的包含事件的包含样本空间A B4样本空间A=B5（3 3）事件的和）事件的和 “事件事件A A与事件与事件B B至少有一个发生至少有一个发生”、“事件事件A A发生或者事发生或者事件件B B发生发生”；记作；记作 或或A+BA+B6（4）事件的积）事件的积“事件事
3、件A与事件与事件B同时发生同时发生”；“事件事件A发生并且（而发生并且（而且）事件且）事件B也发生也发生”；记作；记作7 互斥事件互斥事件样本空间A B8事件的差事件的差(事件事件A A发生而事件发生而事件B B不发生）不发生）A B样本空间9样本空间逆事件10必然事件、完备事件组必然事件、完备事件组 样本空间不可能事件114、随机变量(Random Variables)l定定义义：把取值由实验结果决定的变量称为随机变量。如抛两枚硬币，“正面朝上的个数”为一随机变量。l通俗地说，随机变量就是使每一个可能的试验结果对应一个数，就是说为每一个试验的结果赋予一个实数值。例如在抛硬币的试验中，出现正面
4、时取值1，出现反面取值0。l我们还要求知道随机变量取某个或某些值的的概率是多少，即要求随机变量是一个可测函数。l引入随机变量旨在把实验结果数量化，便于描述和研究。12l离散型随机变量离散型随机变量可取有限个数值，或无限可列个数值。比如：投掷两颗骰子，各有点数至，若令随机变量表示“两颗骰子出现的点数之和”，则的取值为2、3、4、510、11或12。l连续型随机变量连续型随机变量可取某一区间的任何值。比如：身高、体重、温度等。13、概率的定义、概率的定义度量随机事件发生的可能性。若表示 一个随机事件，则P(A)表示事件发生的概率。（）（）古典概率（先验概率：概率纯粹源自推理）古典概率（先验概率：概
5、率纯粹源自推理）等可能性、互斥性等可能性、互斥性表示随机实验的结果总个数表示属于事件的结果个数条件一：实验结果互斥条件二：实验结果等可能发生 （）（）应用缺陷14古典概率的计数法则古典概率的计数法则乘法原理：乘法原理：如果一个事件的完成要经过K个步骤，每一步骤分别有n1，n2，nk种方法，则完成该事件共有n1n2n(k-1)nk种方法。加法原理：加法原理：如果一个事件的完成有K种方式，每种方式分别有n1，n2，nk种方法，则完成该事件共有n1+n2+nk种方法。15例子例子1：掷一颗骰子，有六种可能的结果：1，2，3，4，5，6.这些结果互斥，因为不可能出现两个或更多个数字同时朝上的情形。而且
6、，这六种可能结果等可能发生。因此，根据古典概率的定义，任何一个数字朝上的概率为1/6因为共有六种可能结果，每种结果等可能发生。这里，n=6,m=1.16例子2：考虑一个游戏，先后投掷两颗骰子，求投掷 结果为“先单后双”的概率。解：令事件表示“先单后双”这一投掷结果，即需求P(A)。该随机实验的所有结果个数为6*6=36，则n=36。完成事件需要两个步骤，第一个步骤为“投掷结果为单”，第二个步骤为“投掷结果为双”。每个步骤均可由3种结果（1、3、5和2、4、6）实现。那么完成事件共有3*3=9种结果可以实现，从而m=9。P(A)=m/n17（）（）统计概率统计概率概率的统计定义（或频率定义、经验
7、定义）概率的统计定义（或频率定义、经验定义）无等可能性、无互斥性 表示随机实验的总次数或是观测样本的总个数。表示实验结果属于事件的次数或是观测样本属于事件的个数，通常称为事件发生的频数。（）（）18统计概率的例子统计概率的例子l抛一枚质地不均匀的硬币，求正面朝上的概率。l射击手中靶的概率l寿命超过一百岁的概率l200个学生微观经济学考试分数的分布（见教材P21)19、概率的性质、概率的性质(1)0P(A)(2)必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为零。(3)若A、B、C为互斥的完备事件组 则P(A+B+C+)=1(4)若A、B、C为互斥事件 则P(A+B+C+)=P(A)+P(B)+P
8、(C)+(5)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)注：如果A,B互斥，则P(AB)=0207 7、条件概率、条件概率8 8、独立事件、独立事件21条件概率例子条件概率例子例子1：随机抛一个骰子，如果朝上一面的点数为偶数，求点数为2的概率。A=“点数为2”B=“点数为偶数”22条件概率例子条件概率例子例子2：（1）一个盒子里装10个球，有1个写“生”，并且其它9个写“死”，要某人去抓球。此人抓到“生”球的概率是1/10。（2）将那个生球上具体标明为“生1号”，如果某人抓到的是“生”球，问他抓到的是“生1”号球的概率是多大。A=“抓到生1号球”B=“抓到生球”23例子例子3：从一副扑克中抽
9、取一张，是红桃或者是皇后的概率是多少？（注：四张皇后中有一张是红桃，抽红桃与抽皇后不是互斥事件）P（红桃或者是皇后）=P(红桃）+P（皇后）-P（红桃皇后）=13/52+4/52-1/52=4/1324二、随机变量的概率分布二、随机变量的概率分布、离散型随机变量的概率分布、离散型随机变量的概率分布l概率分布表 设离散型随机变量X取值为x1,x2,xn，而取得这些值的概率分别为p(x1),p(x2),p(xn),则可用“概率分布表”详细列出其概率分布。Xx1x2.xnP(X=xi)p(x1)P(x2)P(xn)25概率分布表举例l设随机变量代表抛两次硬币正面朝上的次数，求的概率分布。（HH,HT
10、,TH,TT）（H：正面；T:反面）l打靶规定打中域得3分，打中域得2分，打中域得1分，域外得0分。一射手每100次射击，平均有30次中域，55次中域，10次中域。该射手射击得分的概率分布为：X012P(x)1/42/41/4X0123P(x)0.050.100.550.3026l概率密度函数 272 2、连续型随机变量的概率分布、连续型随机变量的概率分布可取某一区间的任何值。（无穷取值）。（无穷取值）比如：身高、体重、温度等。连续型随机变量的概率分布度量的是随机变量在连续型随机变量的概率分布度量的是随机变量在某一个特定范围或区间内的概率。某一个特定范围或区间内的概率。28l连续型随机变量概率
11、表达常用形式连续型随机变量概率表达常用形式P(x1Xx2)、P(x1Xx2)、P(x1Xx2)l概率分布函数（累积分布函数概率分布函数（累积分布函数,概率值）概率值）29连续型随机变量及其密度函数连续型随机变量及其密度函数设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(x),使得对于任意实数x,有则，称X为连续型随机变量，f(x)称为X的密度函数（或概率密度）30概率密度函数概率密度函数f(x)的性质：的性质：31l概率密度函数的几何意义概率密度函数的几何意义连续型随机变量落入某一区间的概率等于该区间内概率密度曲线下方的面积!x1x2Xf(X)323 3、多元概率分布、多元概率分布两个以上
12、随机变量描述随机实验结果。两个以上随机变量描述随机实验结果。l在一个矩形平面上随机定位一点，其坐标在一个矩形平面上随机定位一点，其坐标(X,Y)(X,Y)是一个二元随机变量。是一个二元随机变量。l电脑公司每天售出的个人电脑数量和打印机数量。电脑公司每天售出的个人电脑数量和打印机数量。（1 1）离散型：联合概率密度函数离散型：联合概率密度函数 33一个计算机店出售个人电脑和打印机。每天出售的电脑和打印机一个计算机店出售个人电脑和打印机。每天出售的电脑和打印机数量不同。店主记录了过去数量不同。店主记录了过去200天每天的销售状况，如下表。天每天的销售状况，如下表。出售个人电脑的数量（X)合计012
13、34 出售打印机的台数（Y)06644222141012423222420101046322102020544222103046合计162448486420034 出售个人电脑的数量（X)合计01234出售打印机的台数（Y)00.030.03（联合概率）（联合概率）0.03 0.03 0.02 0.02 0.02 0.02 0.01 0.01 0.11（边缘概率）10.02 0.02 0.05 0.05 0.06 0.06 0.02 0.02 0.01 0.01 0.16 20.01 0.01 0.02 0.02 0.10 0.10 0.05 0.05 0.05 0.05 0.23 30.01
14、 0.01 0.01 0.01 0.05 0.05 0.10 0.10 0.10 0.10 0.27 40.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.05 0.05 0.15 0.15 0.23 合计0.08（边缘概率）0.12 0.24 0.24 0.32 1.00 把上表中的每个数值都除以把上表中的每个数值都除以200，就得到了频率，如下表。由于本例中的，就得到了频率，如下表。由于本例中的样本足够大，所以可以把这些（联合）频率作为联合概率的度量。样本足够大，所以可以把这些（联合）频率作为联合概率的度量。联合概率有如下性质：所有的概率不能为负；所有联合结果的概率和为联合概率
15、有如下性质：所有的概率不能为负；所有联合结果的概率和为1.注：注：X取取1，而不论，而不论Y取值如何时的概率为（边缘概率）取值如何时的概率为（边缘概率）.在已知售出在已知售出4台电脑的条件下，售出台电脑的条件下，售出4台打印机的概率为台打印机的概率为P(Y=4/X=4)=P(Y=4,X=4)/P(X=4)=0.47(条件概率）条件概率）35（2）连续型：联合概率密度函数连续型：联合概率密度函数 36、边缘概率分布及其边缘概率函数、边缘概率分布及其边缘概率函数对于二元随机变量（X,Y），对其任意一个变量 进行单独研究，而不考虑另外一个变量的取值。如此得到的X或Y的概率分布即为二元随机变量 (X,
16、Y)的边缘概率分布。l离散型随机变量离散型随机变量 边缘概率质量函数边缘概率质量函数l连续型随机变量连续型随机变量 边缘概率密度函数边缘概率密度函数 37、条件概率分布及其条件概率函数、条件概率分布及其条件概率函数对于二元随机变量（X,Y），对其任意一个变量进行 研究，同时考虑另外一个变量的特定取值。如此得到 的X或Y的概率分布即为二元随机变量(X,Y)的条件概率 分布。l离散型随机变量离散型随机变量 条件概率质量函数条件概率质量函数l连续型随机变量连续型随机变量 条件概率密度函数条件概率密度函数 38、随机变量的统计独立性、随机变量的统计独立性事件独立事件独立P(AB)=P(A)P(B)P(
17、AB)=P(A)P(B)随机变量（X,Y）l离散型随机变量离散型随机变量对于任意的和，事件“”和事件“”独立，则称随机变量和独立。l连续型随机变量连续型随机变量对于任意的和，事件“”和事件 “”独立，则称随机变量和独立。39例子：例子：一个袋子中放一个袋子中放3个球，标有个球，标有1，2，3.从袋子中有放回地抽取两从袋子中有放回地抽取两个球（即个球（即每次取一个，然后放回再抽取一个）。令变量每次取一个，然后放回再抽取一个）。令变量X代表第一次代表第一次抽取球的数抽取球的数字，字，Y代表第二次抽取球的数字。代表第二次抽取球的数字。f(X=1,Y=1)=1/9(联合概率）联合概率）f(X=1)=1/3（边缘概率）（边缘概率）f(Y=1)=1/3（边缘概率）（边缘概率）更一般地，两个变量更一般地，两个变量X和和Y称为统计独立的，当且仅当它们的称为统计独立的，当且仅当它们的联合概率等联合概率等于它们各自的边缘概率之积。于它们各自的边缘概率之积。40