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1、五 平面向量及其运用【考点聚焦】考点1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积；考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积； 考点3：向量的模与角的计算。【典型例题】【考型1】向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件。例1、已知是以点A(3,1)为起点，且与向量(3,4)平行的单位向量，则向量的终点坐标是.例2、已知,与的夹角为60,则与的夹角的余弦是多少？例3、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(1, 3)， 若点C满足，其中，R且+=1，求点C的
2、轨迹方程。.例4、已知平面向量(，1)，,(1) 若存在实数k和t，便得,且，试求函数的关系式kf(t)；(2) 根据(1)的结论，确定kf(t)的单调区间.例5、已知平面向量(，1)，(，)，若存在不为零的实数k和角，使向量，且，试求实数k 的取值范围.例6、已知向量，若正数k和t使得向量垂直，求k的最小值.【考型3】向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.例7、设函数其中向量, .（1）若1且，求；（2）若函数y2sin2x的图象按向量(m , n) ()平移后得到函数的图象，求实数m、n的值.例8、已知,（1
3、）求证：与互相垂直； （2）若与的模大小相等(kR且k0)，求.【考型4】向量运算的几何意义与解析几何由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，文科应重视由向量运算的几何意义求圆的方程和椭圆方程。例9、设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心，A(0，2)，B（0，2）且(R).（）求点C(x，y)的轨迹E的方程；（）过点P(2，0)作直线L与曲线E交于点M、N两点，设，是否存在这样的直线L，使四边形OMPN是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.例10、已知椭圆方程，过B（1，0）的直线l交随圆于C、D两点，交直线x4于
4、E点，B、E分的比分别为1、2求证：120例11、给定抛物线C:y24x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点.设l的斜率为1，求与夹角的余弦。【重点题型练习】1、已知向量 2、已知是非零向量且满足，则与的夹角是 3、已知向量=(2，0),向量=（2，2），向量=（），则向量与向量的夹角的范围为 4、设坐标原点为O，抛物线与过焦点的直线交于A，B两点，则= 5、点在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位）设开始时点的坐标为，则秒后点的坐标为 6、 已知向量，|1，对任意tR，恒有|t|，则下列垂直正确的是 （1) (2) () (3)() (
5、4)()()7、P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的 心。8、在ABC中，若，则C度数是 9、已知向量=()，向量=()，则|的最大值是 10、把函数的图像按向量平移，得到的图像，且，则 11、已知平面上三点A、B、C满足|=3,|=4，|=5,则的值等于.12、在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_.13、已知向量(sin，1)，(1，cos)，（1）若，求；（2）求的最大值14、已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP至点N，且.（1）求动点N的轨迹方程；（2）直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若且4，求直线l的斜率的取值范
6、围.15、已知两点(1，0)，(1 , 0)，且点使，成公差小于零的等差数列.（1）点的轨迹是什么曲线？（2）若点坐标为（x0、y0），记为与的夹角，求 。向量综合练习1、 设D,P为内的两点，且满足,则 2、 等边三角形ABC中，P在线段AB上，且,若,则实数的值为 3、 如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值为 4、已知正方形的边长为2，点P为对角线AC上一点，则的最大值为 5、 的外接圆的圆心为O，BCCAAB，则的大小关系为 6、 如图，在中，为BC边上的点，且,则 7、 在中，AB=4，BC=3，AC=5，D为AC中点，则 8、 已知平面向量满足，且与的夹角为，与的夹角为。则 9、 已知非零向量与满足,且，则的形状是 10、 已知O是内一点，满足,则 11、 已知的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，, 则实数 12、 设函数，为坐标原点，为函数图象上横坐标为的点，向量，向量，设为向量与向量的夹角，则满足的最大整数