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1、 一一.极限存在的准则极限存在的准则ESC两个重要两个重要 极限极限 三三.无穷小量等价代换无穷小量等价代换 两个重要两个重要 极限极限 二二.两个重要极限两个重要极限 一一.极限存在的准则极限存在的准则且，那么存且，那么存在且等于在且等于 准则准则如果函数，如果函数，在同一变化过程中满足在同一变化过程中满足，准则准则如果数列如果数列 单调有界，则单调有界，则 一定存在一定存在ESCESC 二二.第一个重要第一个重要 极限极限1.1.(1.4.1)(1.4.1)证证因为，所以因为，所以只讨论由正值趋于零的情形只讨论由正值趋于零的情形作单位园作单位园O O，设圆心角设圆心角 ,延长延长 交过交过
2、 点的切线于于点的切线于于 ，则则 面积扇形面积扇形面积面积 面积即面积即ESC 一一.极限的四则运算法则极限的四则运算法则 二二.第一个重要第一个重要 极限极限因为因为 ，当，当 时，时，所以，在所以，在(1.4.2)(1.4.2)式中除以式中除以 ，得，得 ，三项都为正数，取它们三项都为正数，取它们的倒数，得的倒数，得(1.4.2)(1.4.2)即即 (1.4.3)(1.4.3)ESC 一一.极限的四则运算法则极限的四则运算法则 二二.第一个重要第一个重要 极限极限另一方面，于是有另一方面，于是有因为，由准则因为，由准则可得可得ESC 一一.极限的四则运算法则极限的四则运算法则 二二.第一
3、个重要第一个重要 极限极限例例1 1求求解解(1.4.4)(1.4.4)ESC 一一.极限的四则运算法则极限的四则运算法则 二二.第一个重要第一个重要 极限极限例例2 2求求解解即令则当时，即令则当时，于是于是(1.4.5)(1.4.5)ESC 一一.极限的四则运算法则极限的四则运算法则 二二.第一个重要第一个重要 极限极限例例3 3求求(1.4.6)(1.4.6)ESC 一一.极限的四则运算法则极限的四则运算法则 二二.第一个重要第一个重要 极限极限例例4 4求求.解解ESC 一一.极限的四则运算法则极限的四则运算法则 二二.第一个重要第一个重要 极限极限例例5 5求求解解ESC 一一.极限
4、的四则运算法则极限的四则运算法则 二二.第二个重要第二个重要 极限极限2.2.(1.4.7)(1.4.7)1 2 3 4 5 6 10 100 1 000 10 000 1 2 3 4 5 6 10 100 1 000 10 000 2 2.25 2.37 2.441 2.488 2.522 2.594 2.705 2.717 2.718 2 2.25 2.37 2.441 2.488 2.522 2.594 2.705 2.717 2.718 表表1 1 时之值的变化情况时之值的变化情况ESC 一一.极限的四则运算法则极限的四则运算法则 二二.第二个重要第二个重要 极限极限 从表从表1-41
5、-4中不难看出，当中不难看出，当 时，时，函数函数 的值是无限接近于的值是无限接近于e的的 如果令如果令 ，当，当 时，时，公式还可以写成公式还可以写成 (1.4.8)(1.4.8)ESC 一一.极限的四则运算法则极限的四则运算法则 二二.第二个重要第二个重要 极限极限 例例6 6求求 解解为了利用第二个重要极限的公式为了利用第二个重要极限的公式,我们我们需要作变量代换令需要作变量代换令 ，当，当 时，时，于是于是或或ESC 一一.极限的四则运算法则极限的四则运算法则 二二.第二个重要第二个重要 极限极限例例7 7求求 解解令令 ，则，则 ，当，当 时，时，于是，于是，ESC 一一.极限的四则
6、运算法则极限的四则运算法则 二二.第二个重要第二个重要 极限极限或或ESC 一一.极限的四则运算法则极限的四则运算法则 练习练习1 1 求求原式原式 二二.第二个重要第二个重要 极限极限ESC 一一.极限的四则运算法则极限的四则运算法则 练习练习2 2 求求二二.第二个重要第二个重要 极限极限解解ESC 一一.极限的四则运算法则极限的四则运算法则 二二.第二个重要第二个重要 极限极限一般地，可以有下面的结论：一般地，可以有下面的结论：(1.4.9)(1.4.9)例例8 8求求解解因为，所以因为，所以ESC 一一.极限的四则运算法则极限的四则运算法则 二二.第二个重要第二个重要 极限极限例例9
7、9求求解解法一法一因为，令因为，令，则，则 ，当时，当时，于是有于是有，ESC 一一.极限的四则运算法则极限的四则运算法则 二二.第二个重要第二个重要 极限极限因为因为 ，所以，所以练习：求练习：求（1）（2）(3)(4)解解法二法二 （以下学生自行解决）以下学生自行解决）ESC 一一.极限的四则运算法则极限的四则运算法则 二二.第二个重要第二个重要 极限极限(1)(2)(3)(4)ESC 三三.无穷小量的等价代换无穷小量的等价代换1.无穷小的比较（复习）无穷小的比较（复习）一般的一般的,设设 ，是同一极限过程中的两个无穷小，是同一极限过程中的两个无穷小，1）若若 ，则称，则称 是比是比 高阶
8、的无穷高阶的无穷小，也可以称小，也可以称 是比是比 低阶的无穷小；低阶的无穷小；2）若若 （c为非零常数），则称为非零常数），则称 与与 是同阶的无穷小；是同阶的无穷小；特殊地，若特殊地，若 ，则称，则称 与与 是等价的无是等价的无穷小，穷小，记为记为 .ESC三三.无穷小量的等价代换无穷小量的等价代换2.等价无穷小的传递和代换的性质等价无穷小的传递和代换的性质设在同一变化过程中设在同一变化过程中（1）若）若 则则 。（2）若）若 且且 存在存在 ，则则ESC三三.无穷小量的等价代换无穷小量的等价代换3.常用的等价无穷小常用的等价无穷小当当 时，有：时，有：ESC三三.无穷小量的等价代换无穷小
9、量的等价代换例例10 10 求下列极限（利用等价无穷小代换求极限）（1）解解（1）当当 时时（2）当）当 时时ESC三三.无穷小量的等价代换无穷小量的等价代换（3）（4）解（解（3）（4）原式）原式=注意：函数应为乘积形式时才可以用无穷小注意：函数应为乘积形式时才可以用无穷小替换，若是和差形式是不能用的替换，若是和差形式是不能用的.ESC三三.无穷小量的等价代换无穷小量的等价代换解解（5）当当 时，时，原式原式=（6）当）当 时，时，原式原式=ESC内容小结内容小结推广公式推广公式一、第一个重要极限一、第一个重要极限该极限的特征是极限的特征是（1）未定式（未定式（2）无）无穷小的小的正弦与自身的比。正弦与自身的比。二、二、第二个重要极限第二个重要极限推广形式推广形式ESC内容小结内容小结第二个重要极限的特征第二个重要极限的特征（1）型未定式型未定式。（2）三三 无无穷小的等价代小的等价代换当当 时，有：，有：ESC课堂练习课堂练习求下列极限求下列极限ESC布置作业布置作业P17 3(1)(2)(3)(4)(5)(8)